Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

J =О при x = L;

если провода соединены (замкнуты), то

V - 0 при x -L .

13.1.3.Стоячие и бегущие волны в линии передач

Внеограниченной однородной линии могут распространяться бе­ гущие волны

Соотношение между амплитудами тока (Jo) и напряжения (F0) можно получить подставив эти равенства в уравнения (13.1.4):

^ о = ~ Ы0, kV0 = \a> J0 .

Если длина линии конечна, могут появляться отражённые волны. Складываясь с волнами, бегущими в прямом направлении, они могут приводить к появлению стоячих волн.

Если в линии нет потерь, то в случае полного отражения прямой волны формируется встречная волна гой же амплитуды. В результате на линии устанавливается стоячая волна. Её выражение в соответствии с

Соотношение между амплитудами колебаний тока и напряжения даётся по-прежнему формулой (13.1.8).

Согласно (13.1.9) в пучностях волны тока, т.е. в тех точках,' в кото­ рых ток максимален (cosкх =1), напряжение обращается в нуль

( sin кх =0). В этих точках амплитуда колебаний тока максимальна. По­

этому пучности волны можно регистрировать с помощью индукцион­ ных пробников (например, лампочкой с витком провода).

В узлах волны тока (cos кх —0) максимальна амплитуда колебаний напряжения (sin Ах=1). Поэтому эти точки можно регистрировать с помощью ёмкостных пробников, регистрирующих напряжение.

231

13.1.4. С кор ост ь р а сп р о ст р а н ен и я вол ны в к оа к си а л ь н о й двух п р ов одн ой л и н и и

Найдём скорость распространения волны в коаксиальной линии передач. Рассмотрим фрагмент кабеля (рис. 13.1.5).

11itifi?i11ilfiSiiiiiiiiHBtiитдй

Таким образом, по формуле (13.1.6) находим скорость сигнала в двухпроводной линии:

Эта величина совпадает со скоростью света в среде, заполняющей про­ странство между проводниками системы.

13.1.5. Скорость распространения волны в открытой двухпроводной линии

Рассмотрим линию, состоящую из двух тонких параллельных про­ водов радиуса а каждый, находящихся на расстоянии d » а друг от друга (рис. 13.1.6). Приведём расчёт для этого случая.

+Q

2а

(начало координат выбрано на оси левого провода). Разность потенциа­ лов проводов равна

A(p = d~\ Edr =—^]a{—

1s l a

ах

(учтено, что каждый проводник является эквипотенциальным, поэтому интеграл вычисляется только от поверхности одного проводника до по­ верхности второго проводника). Отсюда

233

Магнитный поток

В последнем равенстве учтено, что a <§: d .

Таким образом, в рассматриваемом случае находим

( 1 3 Л ' 1 5 )

Это значит, что скорость волны в двухпроводной линш такая же, как в кабеле (формула (13.1.12)).

13.1.6. В о л н о в о е со п р о т и в л ен и е

Волновое сопротивление определяется, как и обычное сопротивле­ ние, формулой

Его иногда называют волновым, или характеристическим, импедансом

длинной линии.

Рассмотрим бегущую волну в двухпроводной линии:

LyCy

234

V =(1- p)V0 cos(kx - cat) +pV0[cos(foc- cot) +cos(foe+cot)] = =(1- p)V0cos(/bc- at) +2pV0 coskxcos cot = V5er + FCT..

Найдём максимальное и минимальное значения амплитуды волны. Воспользуемся комплексным представлением:

V = Vnei(kx- m) + рУйе 1{кх+<01) - У0е - Ш ( е ,Ъс +ре~гЪс).

Отсюда находим

\V - V()^ e ikx+pe~ihc) ( e - i!a +p e iix) =ф +р 2 +2/7cos2fo.

Максимумы амплитуды достигаются в точках, где cos 2kx = 1, а мини­ мумы-— в точках, где cos2fcc =-1. При этом

+Р\ Гтт =V0( l - p ) .

Первые реализуются в пучностях, а вторые — в узлах стоячей волны. Соответственно КСВ и КБВ оказываются равными

13.1.8. К оэф ф и ц и ен т о т р а ж ен и я

Найдём коэффициент отражения. Пусть сопротивление нагрузки равно Zg, а волновое сопротивление линии — Z. Обозначая ток и на­

zz ~zH;

Сдругой стороны, напряжение на нагрузке складьшается из напряжений падающей и отражённой волн:

vH=v(+)+vH.

Следовательно,

236

Введём коэффициент согласования сопротивлений подводящей линии и нагрузки: ' - •

k= z jz .

Тогда коэффициент отражения огфеделится формулой k - 1

Р ~ к - \

Случай к = 1 отвечает отсутствию неоднородности сопротивления ли­ нии, и отражённая волна отсутствует. Если же ZH-> °о, то р =1, и в линии возникает чисто стоячая волна.

13.2. Электромагнитные волны в волноводах

13.2.1.В ол н оводы

Волновод — это искусственный (или естественный) канал, способ­ ный поддерживать распространяющиеся в нём волны.

Экранированный волновод имеет стенки, которые хорошо отража:- ют волны, в результате чего энергия поля направляется и передаётся от входа в волновод к выходу из него с минимальными потерями. Такие волноводы изготавливают из металлов с высокой проводимостью

(рис. 13.2.1).

Волноводы относятся к линиям передачи, т.е. к системам, предна­ значенным для передачи по ним электромагнитной энергии.

Рис. 13.2.1. Волновод прямоугольного сечения, открытый вдоль осиz

237

Электромагнитная волна в. волноводе отличается от волны в сво­ бодном пространстве, поскольку в формировании поля теперь участвует не только исходная волна, но также заряды и токи, индуцированные этой волной на стенках волновода. В результате суммарная волна уже не является поперечной.

Будем предполагать, что стенки волновода сделаны из вещества с очень большой проводимостью Я. Это означает, что поле в стенках практически отсутствует. Действительно, согласно закону Ома Е =j//L

Поэтому только очень сильные токи могли бы создавать заметные поля. Будем также считать, что волновод заполнен средой с е = 1 и // =1, в которой, кроме того, отсутствуют свободные заряды и токи

проводимости.

При расчёте поля в волноводе нужно использовать граничные ус­ ловия на стенках:

Эти условия следуют из того, что в металлических стенках электриче­ ское и магнитное поля равны нулю, а на границе раздела сред выполня­ ются условия Е„ =Е2;, Вы =В2л. И кроме того, внутри волновода мы

полагаем В =Н (считая, что /л=1).

Наличие переменных индуцированных токов и зарядов на стенках волновода приводит к тому, что волна не является поперечной. Пусть волновод передаёт сигнал вдоль оси z. Соответственно выделяют два основных типа волн:

1) .Е-волна, или ГМ-волна: H ± z, Е2 ф 0,

2) if-волна, или Ш-волна: Е ± z, Hz Ф 0.

Символ «Г» в обозначении волны (от англ. transverse — поперечный) указывает, какой из векторов (электрический или магнитный) является поперечным по отношению к направлению распространения волны.

13.2.2.У равн ен и е Г ел ьм гол ьца

Всреде, в которой отсутствуют свободные заряды и токи проводи­ мости, распространение электромагнитного поля описывается волно­ вым уравнением:

где о =с j — фазовая скорость волны. В соответствии с принятыми допущениями и =с.

238

т м т ш м т йш пм ш й

Если волна зависит от времени по гармоническому закону:

13.2.3. ТЕВй-волна

Для установления основных закономерностей распространения волн в волноводе рассмотрим случай IE’-волны, бегущей вдоль оси z (т.е. волны, у которой Е ± z, Hz ф 0):

Исследование решений полученного уравнения начнём со случая, когда вектор Е направлен параллельно оси у. Тогда поле не зависит от координаты у , т.е. Е =Е(х, z, t). Действительно, согласнотеореме Гаус­

са (divE =0)это означает, что в рассматриваемомслучае дЕу /ду = 0.

откуда и следует сделанное утверждение. Соответственно уравнение (13.2.6) упрощается:

выполнение которых связано с тем, что рассматриваемое поле парал­ лельно стенкам волновода х = 0 и х =а. Первое условие даёт В =0, а

(значение п = 0 исключается, т.к. в этом случае окажется Еу =0).

239

Таким образом, поле описывается функцией

Такое поле обозначают символом ТЕп0, явно указывая значение числа и в виде индекса.

Волна ТЕ1й проиллюстрирована на рис. 13.2.2.

13.2.4. К р и т и ч еск а я ч а ст от а

Подстановка значения л:из (13.2.11) в соотношение (13.2.7) даёт

Следовательно, минимальная частота волны, которая может распро­ страняться в волноводе, равна

частотой. Волны с меньшими частотами в волноводе распространяться не могут. Действительно, перепишем (13.2.14) в виде

что означает экспоненциальное затухание волны по мере её продвиже­ ния в волноводе.

240