Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

со

Рис. 17.2.1. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней ЭДС для нескольких значений коэффициента затухания:

У\ <Гг <Уъ <Г4>гДе П =0, ул > c o j 4 l

Если затухание отсутствует: у =0, то резонансная частота совпа­ дает с собственной частотой осциллятора: сот =ю0. При этом

Если же у Ф 0, то резонансную частоту можно найти из (17.2.9), полагая dV jdco =0 :

Если у >ю0/л/2, то с ростом частоты ЭДС амплитуда колебаний моно-

тонно убывает при всех частотах.

Как видно из (17.2.8), (17.2.9), колебания напряжения Vf (t) сдви­ нуты по фазе относительно колебаний ЭДС £(t). На рис. 17.2.2 показа­ на зависимость фазового сдвига (рй от частоты ЭДС, называемая- фазо­

во-частотной (или фазовой) характеристикой.

Во многих практически важных случаях затухание в колебатель­ ных системах мало, f « ® 0. Найдём для этого случая характеристики резонансной кривой (рис. 17.2.3).

Согласно (17.2.9) резонансная частота сот ~ о\ . Максимум ампли­ туды достигается при ®»<w0 и составляет

(17.2.10)

321

т

Рис. 17.2.2.' Зависимость сдвига фазыколебаний заряда на конденсаторе от час­ тотыколебаний ЭДСдля значений коэффициентазатухания: yt < у2 < Уз < У4

Рис. 17.2.3. Характеристики резонансной кривой

Найдём отношение V^/V^ . Согласно (17.2.10), (17.2.11) имеем

Это отношение совпадает с добротностью Q рассматриваемой системы. Таким образом, в резонансе амплитуда колебаний в Q раз больше, чем

статическое отклонение: V„„ =QV„.

С 1ЯХ с г

Амплитуда вынужденных колебаний убывает по мере удаления от резонансной частоты. Найдём ширину резонанса Л<»= а>2 - <ях, где щ и

a>i — частоты ниже и выше резонансной, при которых она убывает в л/2 раз:

322

Будем считать затухание слабым. Поскольку при этом сот =а>0,

Кшх =(фа/2у)£0, то согласно (17.2.9) для нахождения требуемых час­

=> [col - со2)2 =4 / (2®2-® 2)~ 4у2®2.

Здесь учтено, что в правой части этого равенства при малых у можно положить со * о)0. Таким образом, получаем

/ „ \

с»1 ~а>2 ~ ±2усо0 => со2 =о)£

откуда следует:

Следовательно, ширина резонансной кривой по уровню 1Д/2 состав­

ляет

А® =о2 - со2 =2у.

Этот результат можно переписать в другом виде, используя понятие добротности:

Л г о - 3 .

Q

Следовательно, чем выше добротность системы, тем уже резонансная кривая.

17.2.2. П р о ц есс у ст а н о в л ен и я в ы н уж ден н ы х к ол еб а н и й

Рассмотрим ZC-контур (с малым затуханием), подключённый к ис­ точнику периодической ЭДС (рис. 17.2.4). Пусть при t < 0 ток в конту­ ре отсутствовал. После замыкания ключа в момент времени t = 0 в кон­ туре благодаря ЭДС появляется ток. Уравнение для напряжения на конденсаторе имеет вид

Решение этого уравнения запишем, как и выше, в виде суммы двух сла­ гаемых

323

v(tj=vr(t)+r,w,

отвечающих соответственно свободным и вынужденным Колебаниям. В явном виде имеем

' vf W

Рис. 17.2.4. Контур, содержащий конденсатор, индуктивность и стороннюю ЭДС. Контур замыкается ключом К

Подберём константы интегрирования а и Ь так, чтобы удовлетво­ рить начальным условиям

Второе условие связано с тем, что наличие индуктивности в цепи не позволяет мгновенно создать ток конечной величины вследствие воз­ никновения ЭДС индукции, препятствующей изменениям тока в катуш­ ке индуктивности. Полагая t =0, из (17.2.14) находим

324

Если |Асу] « со, то найденное решение представляет собой быстро

медленно меняется по гармоническому закону. Такие колебания назы­ ваются биениями. График биений показан на рис. 17.2.6.

Период высокочастотных колебаний определяется периодом функ­

В качестве периода огибающей (периода биений) следует взять, как видно из рис. 17.2.6, промежуток времени

соответствующий половине периода колебаний амплитуды A(t).

Рис.17.2.6. Биения приустановлении колебаний в контуре без потерь

Если коэффициент затухания ненулевой, то свободные колебания

со временем затухнут: V(t) 0, и в контуре установятся гармониче-

t->со

ские вынужденные колебания Vf (t). График, иллюстрирующий уста­ новление колебаний, показан на рис. 17.2.7.

17.3.Метод комплексных амплитуд. Импеданс

17.3.1.Комплексная амплитуда

Во многих случаях исследование колебательных процессов удобно проводить, используя комплексное представление. Пусть, например, действительная величина x(i) совершает гармонические колебания:

x(t) =х0 cos(cot +<рй).

325

Рис. 17.2.7. Установление вынужденных колебаний при наличии затухания. Горизонтальные штриховые линии показывают амплитуду в ы н у ж д е н н ы х колебаний, устанавливающихся при t —>оо

Можно ввести такую комплексную функцию z(t)= z0e iM,

что x(t) =Rez(f). Коэффициент z0 в этой формуле называется ком­ плексной амплитудой величины х. В рассматриваемом примере

z —х в1"^0 ^0 о

Таким образом, комплексная амплитуда несёт информацию как об ам­ плитуде х0, так и о начальной фазе <р0 колебания x(t).

17.3.2. Закон Ома в комплексной форме. Импеданс

Рассмотрим последовательный ХСй-колебательный контур, содер­ жащий периодическую ЭДС (рис. 17.3.1). Рассматривая комплексное представление колебаний, запишем уравнение (17.1.1):

Мы будем рассматривать только вынужденные колебания. Тогда

Ч = д0е ш . (17.3.2)

Соответственно для тока в цепи имеем

Составим дифференциальное уравнение непосредственно для тока. Для этого продифференцируем почленно уравнение (17.3.1) и учгём,

326

R

Рис. 17.3.1. Контур, включающий конденсатор, индуктивность, +9 сопротивление и стороннюю ЭДС.

Стрелка рядом с током указывает положительное направление обхода контура

Полагая, как в (17.3.3), J =J 0e w t, перепишем это уравнение в виде

получим окончательно

. ■ JZ = £. (17.3.6)

Введённая в (17.3.5) величина Z называется импедансом1, или ком­ плексным сопротивлением, электрической цепи. Величину

ReZ - R

называют активным (или омическим) сопротивлением, а величину

— реактивным сопротивлением. Активное сопротивление приводит к потерям энергии в контуре, тогда как реактивное не меняет энергию, но может менять Динамику изменения тока. Сказанное следует из закона сохранения энергии для контура, показанного на рис. 17.3.1:

Здесь в правой части уравнения учтены поступления энергии от внеш­ ней ЭДС (J £), производящей работу над токами по закону Джоуля-

Ленца, а также потери энергии в активном сопротивлении (-it/2).

1 Импеданс —от англ. impede —мешать, препятствовать.

327

Импеданс единообразно учитывает все элементы цепи: индуктив­ ность, ёмкость и активное сопротивление.

Если конденсатор в цепи отсутствует, то реактивное сопротивле­ ние определяется только индуктивностью: JmZ = cob. Если требуется в каких-либо формулах перейти к случаю, когда ёмкостные элементы от­ сутствуют, то это можно сделать, формально перейдя к пределу 1/С—»0 или С —>а>. Оправданность такого предельного перехода свя­ зана с тем, что каждый из элементов цепи определяет некоторое изме­ нение потенциала. И поэтому, чтобы конденсатор не менял разность потенциалов на участке, где он находится, т.е. чтобы напряжение на его обкладках

J E,dl = V —qjC

{по конден­ сатору)

всегда равнялось нулю, достаточно положить С = со. 17.3.3. В ек т о р н ы е диаграм м ы

Запишем закон Ома для контура, показанного на рис. 17.3.1:

Представим это соотношение на комплексной плоскости, рассматривая комплексные амплитуды входящих сюда величин. Нас будет интересо­ вать относительное расположение векторов, представляющих слагае­ мые в (17.3.8). Поэтому условно выберем направление вектора J вдоль действительной оси. Тогда слагаемое R J представляется вектором, на­ правленным вдоль той же оси, а слагаемые (icoL)J и (-i/<»C) J — век­

торами вдоль мнимой оси (рис. 17.3.2 справа).

Сумма трёх векторов в левой части уравнения (17.3.8) даёт вектор £. Из диаграммы видно, что длина этого вектора (амплитуда колебаний ЭДС) связана с длиной вектора тока (амплитудой колебаний тока) соот­

Н ^ У

328

Положительное

направление

Рис. 17.3.2. Слева — положительное направление вращения вектора, представляющего общий фазовый множитель ехр(г'юг) слагаемых в (17.3.8);

справа — векторная диаграмма для iCK -контура, показанного на рис. 17.3.1, для случая coL > \jcoC

Кроме того, сдвиг фаз % между током и ЭДС определяется из формулы

бания тока отстают по фазе от колебаний ЭДС.

С учётом сказанного решение уравнения (17.3.4), описывающее

Зависимость амплитуды колебаний тока в последовательном LCR- контуре от частоты колебаний ЭДС показана на рис. 17.3.3.

Рис. 17.3.3. Зависимость амплитуды колебаний тока от частоты колебаний ЭДС — резонанс напряжения на конденсаторе и ЭДС в iC R -контуре

(рис. 17.3.1)

Как следует из (17.3.10), максимум амплитуды тока J a(a>) всегда

достигается на частоте

329

В результате импеданс контура сводится к активному сопротивлению R. 17.3.4. Р езо н а н с н а п р я ж ен и й и т о к о в

Резонансом напряжений называют резонанс в последовательном ZCtf-контуре (рис. 17.3.1) при изменении частоты колебаний ЭДС. В частности, резонансным образом ведёт себя амплитуда колебаний на­ пряжения на конденсаторе V0. Эта зависимость показана на рис. 17.3.3.

Рассмотрим контур, в котором элементы L, С, R соединены парал­ лельно и подключены к источнику переменного тока (рис. 17.3.4). Пред­ полагается, что амплитуда колебаний тока, создаваемого источником, неизменна, т.е. не зависит от значений индуктивности, ёмкости и сопро­ тивления элементов контура. Резонанс в таком параллельном контуре (рис. 17.3.4) называют резонансом токов. Рассмотрим это явление под­ робнее.

Поскольку элементы контура соединены параллельно, то импеданс цепи Z определяется из равенств

Ток во внешней части цепи равен сумме токов через отдельные элемен­ ты:

Обозначим напряжение, создаваемое источником тока как U. Тогда

330