Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Поскольку напряжение на всех параллельно соединённых элементах одинаково, то

Отсюда, в частности, следует, что амплитуда тока, текущего через ак­ тивное сопротивление, равна

(•ЛгоХих =-V Это значит, что весь ток от источника течёт только через

активное сопротивление. Дело в том, что на резонансной частоте сопро­ тивление блока, состоящего из параллельно соединённых конденсатора и катушки индуктивности, обращается в бесконечность, и ток через этот блок не течёт.

Запишем также выражения для амплитуд токов через катушку ин­ дуктивности и конденсатор. Поскольку согласно (17.3.20)

то с учётом (17.3.21) и (17.3,22) получим следующие выражения:

331

Когда частота колебаний тока совпадает с ю0, находим

или, введя добротность Q =<в/2у,

•^LO=J СО~Jfs/Q-

Таким образом, на резонансной частоте по замкнутому ХС-контуру цир­ кулирует ненулевой ток. Этот ток возникает на начальной стадии при включении внешнего источника и оказывается тем меньше, чем выше добротность цепи (меньше сопротивление К).

Отметим, что если бы вместо источника тока использовался источ­ ник ЭДС, то во внешней цепи присутствовал бы ток

Л=£о/|2|

Согласно (17.3.16) модуль импеданса цепи равен

R

На частоте а> =а>0 эта величина достигает максимума jZ[ =R. Следова­

тельно, при наличии источника ЭДС мы имели бы во внешней цепи на данной частоте минимум тока, а не максимум, как в последовательном контуре. Такое явление называют антирезонансом.

17.3.5. П равила К ирх гоф а дл я п ер ем ен н ы х т оков

Расчёт произвольных квазистационарных цепей (как неразветвлённых, так и разветвлённых) при наличии переменных ЭДС может осуще­ ствляться по правилам Кирхгофа, аналогичных тем, что имеют место в случае постоянных токов и напряжений. Разница состоит лишь в замене сопротивлений R на импедансы Z.

Правила таковы.

1) Сумма токов, входящих в узел (с учётом знаков), равна нулю ние. 17.3.5):

Данное правило есть следствие закона сохранения заряда и утвер­ ждает, что в узле заряды не могут накапливаться.

2) Для любого замкнутого контура в квазистационарной электри­ ческой цепи выполняется равенство

332

.5> *Z* = I £ '

где £t — ЭДС, входящие в выбранный контур, Л — токи через элемен­

ты контура, имеющие импедансы Z,.

J3

Это правило непосредственно вытекает из закона индукции (тео­ ремы о циркуляции для электрического поля в интегральной форме):

E,dl =— Ф =Ы .

*

17.3.6. С л о ж ен и е и м п ед а н сов

Правила Кирхгофа позволяют установить правила сложения импе­

Для применения второго правила выберем два контура, в которых присутствуют ЭДС и один из импедансов. Это даёт два равенства:

Используя равенства (17.3.23) и (17.3.24), перепишем равенство

(17.3.25) в виде

333

Z Z1 V

Отсюда получаем правило сложения параллельно соединённых импедансов:

2) П оследовательно соединённы е импедансы (рис. 17.3.7).

Для всей цепи с полным импедансом Z имеем

£=JZ.

Сдругой стороны, поскольку во всех участках неразветвлённой цепи ток один и тот же, то по второму правилу Кирхгофа находим

£—./Zj +JZ2.

Сравнивая два равенства, получаем

Z =Z1+Z2. (17.3.27)

Правила сложения импедансов единообразно описывают сложение ёмкостей, индуктивностей и активных сопротивлений. Пусть, например, два импеданса включают только ёмкости:

z ,= — , z 2=—!—. iaC x ia)C2

Тогда ёмкость системы двух параллельно соединённых конденсаторов вычисляется с помощью правила (17.3.26):

Подобным же образом в случае последовательно соединённых конден­ саторов, используя правило (17.3.27), находим:

Z =— , Z ^ Z ^ — +—!— => —=— +— . (17.3.29) icoC 1 iaCx icoC2 С Cx C2

В обоих случаях мы пришли к известным из электростатики правилам сложения ёмкостей.

334

17.3.7.М о щ н о ст ь п ер ем ен н о го т ока

Всоответствии с законом Джоуля-Ленца (в интегральной форме) мощность, рассеиваемая током в проводящей среде, равна Q =£J. В

случае переменных периодически меняющихся токов и напряжений интерес представляет среднее значение мощности за период колебаний:

t

В эту формулу входят действительные величины. Поэтому пользоваться комплексным представлением следует более осторожно. Положим

£(t) =±(£(t)+£*(t)), J ( 0 = ~ ( j( 0 ^ ( 0 ) -

Отсюда находим

£ (ty(0 =± ( w + ? w ) ( X 0 + f ( 0 ) =

(амплитуды £0и J 0здесь считаются действительными величинами). Это

значит, что слагаемое £ (t)J(t) осцтишрует с частотой 2® и его среднее значение по периоду Т = 2тс/со равно нулю:

И2

Сучётом сдвига фаз между током и ЭДС отсюда находим

Введём эффективные значения амплитуд напряжения и тока:

33.5

Эта формула показывает, что чем больше сдвиг фаз между током и на­ пряжением, тем меньше рассеиваемая в сопротивлении мощность. В случае резонанса, когда tg<p0 = 0, потребляемая мощность максималь­

на: Q =£,sj cs -

Перепишем соотношение (17.3.32), учитывая закон Ома: £ =JZ, а

также равенства ReZ =R, I JЛ ! 2 = 9 :

Q =iR e p (0 J* (0 ) =^Re(z|J|2) =~ R J2=A7e2ff. (17.3.35)

Последняя формула показывает, что в отсутствие активного сопротив­ ления переменный ток работы не совершает.

17.4.Ряд и интеграл Фурье

17.4.1.Т еорем а Ф урье. Р я д Ф ур ье

Пусть функцияfit) — непрерывная и периодическая с периодом Т, т.е. f ( t +Т) =f( t) , то эта функция может быть представлена в виде ря­

да

комплексной формой ряда Фурье). В отдельных случаях в этой сумме может содержаться конечное число слагаемых.

Величина со =2л/Т есть основная частота, определяющая период функции.

Коэффициенты Ск в сумме (17.4.1) могут быть найдены по форму­

336

Эти величины называются коэффициентами Ф уръе функцииДОВслед­ ствие периодичности функцииДО и множителей

exp(ia>kt) =exp^2m~ k

подынтегральное выражение в (17.4.2) периодично с периодом Т, так что пределы интегрирования можно одновременно сдвинуть на произ­ вольное число, т.е. записать (17.4.2) в эквивалентной форме:

*

(■'* - у { f ( t ) e i,!«dt.

*0

Во многих случаях удобно положить Ц --Т / 2 , так что интеграл ока­

зывается в симметричных пределах:

Г/2

Отсюда вследствие тождества е 2т =1 получаем {ек, еп) =0 .

Базисные векторы являются также нормированными, т.е. (ек, е к) - \ для всех к. Действительно,

337

(17.4.6)

О, к ф п

—единичный символ Кронекера.

Сучётом сказанного ряд Фурье функцииДО может быть записан в виде разложения вектораДг) по базису {ек} :

Коэффициенты Фурье Ск Представляют собой проекции вектора f на направления, задаваемые векторами базиса ек, и могут быть найдены как скалярные произведения вектора/ и базисных векторов ек:

f i t ) =/0 cos a>0t . В данном случае задача прямо решается применением формулы Эйлера el<p =cos <p +i sin <р:

cos(®00 = y e - ^ + ^ e ifttf.

Аналогично, ряд Фурье функции /(/) =/0 sin(fi>0£) содержит всего два члена:

sin(ф01 ) Л е - ^ ~ ^ е 1^ .

2) Найдём ряд Фурье для периодической функции, показанной на рис. 17.4.1 и представляющей собой последовательность прямоуголь­ ных импульсов длительностью г каждый, следующих с периодом Г.

Коэффициенты Фурье для этой функции определяются по формуле

(17.4.3):

338

Рис. 17.4.1. Функция J{t), описывающая периодическую последовательность прямоугольных импульсов длительностью т каждый

На рис. 17.4.2 приведён график зависимости фурье-компонент Ск от частоты <х>к- Штриховой линией показана огибающая спектра

г sin (шт/2)

<*(“>) =Л :Т ют/2 (17.4.8)

Стрелками показаны фурье-компоненты для случая Т =4т — они обра-

Рис. 17.4.2. Фурье-спектр (коэффициенты ряда Фурье) функции на рис. 17.4.1 для случая Т=4т. Штриховая линия - - огибающая спектра (17.4.8)

Как видно из рис. 17.4.2 и формулы (17.4.8), гармоники с наиболь­ шей амплитудой сосредоточены в главном лепестке, т.е. на интервале

- я < сот/2 < я или

-2я/т <со<2тс/т.

Иными словами, полуширина главного максимума составляет Ао) =2я/т (взята полуширина, поскольку вследствие (17.4.4) отрица­

339

тельные частоты не вносят новых гармоник — новых периодов — в спектр Фурье). Это означает, что длительность отдельного импульса и характерная ширина спектра связаны соотношением г • Аса ~ 2ж.

17.4.4. Д ей ст ви т ел ь н а я ф орм а р я д а Ф ур ь е

Наряду с комплексной формой ряда Фурье используется действи­ тельная форма, которая строится следующим образом. Запишем ряд Фурье:

Считаем функциюfit) действительной. Тогда коэффициенты Ск удовле­ творяют условию

С =С*

непосредственно вытекающему из выражения для них. С учётом этого перепишем ряд Фурье:

= c 0+ t ( Q ^ + Q V ^ ) =

к~1

со г

= с 0+ LL {Ck+Cl ) c o s a kt+i{c k- c l) s m a kt\.

k=\

Введём обозначения

«о = С0,

Это — действительные числа. Таким образом, приходим к действитель­ ной форме ряда Фурье, применяемой для разложения действительных функций:

340