Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Найдём разложение Фурье для сигнала, гармонически модулиро­ ванного по амплитуде. Запишем сигнал в комплексной форме:

S(f) = Aq(l +т cos Ш) е 1Щ>*.

Таким образом, спектр состоит из трёх гармоник: несущей частоты и двух смещённых (комбинационных) частот:

17.6.2. Ч а ст от н а я и ф азова я м одул я ц и я

Сигнал называется модулированным по частоте, или частотно-

модулированным (ЧМ), если его можно представить в виде t

x(t) =А0c o s (pit), <p{t) =J co{tx)dtl, 0 '

в котором амплитуда сигнала Aqпостоянна, a co(t) — медленно меняю­ щаяся функция, называемая мгновенной частотой:

Используется следующая терминология: (щ — несущая частота, Асо— девиация частоты, £1— частота модуляции,

351

J3 =-Ao}/Q. —индекс модуляции или девиация фазы.

Обычно предполагается, что Асо <ё:со0.

Пример частотно-модулированного сигнала показан на рис. 17.6.3.

Если сигнал можно представить в виде

х(t) =Ад cos(cOgt +т ■y/(t)), |y/(t) < l|,

где y/(t) — медленно меняющаяся функция, то он называется фазово-

модулированным (ФМ). Коэффициент т, называемый индексом фазовой модуляции, как правило, мал: т. <к1.

Отличие фазово- и частотно-модулированных сигналов состоит в следующем. В случае ФМ-сигнала мгновенная частота co(t) ~ dcpjdt

может принимать любые значения. При этом девиация фазы ограничена параметром т, показывающим максимальное фазовое отклонение мо­ дулированного сигнала относительно несущего колебания (с частотой еоо). В случае ЧМ-сигнала колебания мгновенной частоты имеют место только в ограниченном диапазоне а>0—Асо < со <сой+Асо, тогда как пол­

ные отклонения фазы сигнала (o)at +m-i//(t)) от фазы несущей (co0t) не

ограничены.

Далее мы рассматриваем только гармонически модулированные сигналы. При этом для определённости будем говорить о фазовой моду­ ляции, хотя многие выводы переносятся и на случай частотной модуля­ ции.

Найдём разложение Фурье фазово-модулированного сигнала. Пе­ реходя к комплексному представлению, записываем

S(t) =Aqехр[г'(й)0?+ /?sinQ?)].

Учитывая неравенство /? <к 1, разлагаем x(t) по степеням этого малого параметра:

S(t) =A tfh* (1+iJ3sin Qt).

352

Таким образом, при /? «: 1 спектр состоит из трёх гармоник: несущей

частоты и двух смещённых (комбинационных) частот:

й)0, б)0—Ц, Щ) +Q.

Этот спектр показан на рис. 17.6.4.

Рис. 17.6.4. Фурье-спектр сигнала, модулированного по фазе

17.6.3. Векторные диаграммы модулированных сигналов

А мплитудно-модулированный сигнал

Амплитудно-модулированный сигнал в комплексной форме даётся формулой (17.6.1). Пусть вектор А0, описывающий комплексную ампли­ туду сигнала на несущей частоте, направлен вдоль оси абсцисс. Тогда векторы, описывающие модуляцию:

совершают относительно него вращение с угловой скоростью £2 в про­ тивоположных направлениях. Результирующее колебание описывается вектором амплитуды, направленным вдоль исходного (немодулированного) сигнала А0. Это значит, что меняется лишь длина (амплитуда) сиг­ нала, но не его направление. Соответствующая диаграмма показана на рис. 17.6.5.

Ф азово-м одулированный сигнал

Фазово-модулированный сигнал даётся формулой (17.6.2). Пусть вектор Ло, описывающий комплексную амплитуду сигнала на несущей частоте, направлен вдоль оси абсцисс. Тогда относительно него векто­ ры, описывающие модуляцию:

353

2 2

совершают вращение с угловыми скоростями £2 в противоположных направлениях. Знак «—» указывает на то, что в начальный момент (t =0) эта векторы повёрнуты друг относительно друга на угол к (и

направлены вдоль оси абсцисс). Однако их сумма постоянно направлена перпендикулярно вектору несущего сигнала Ад.

Рис. 17.6.5. Векторная диаграмма амплитудно-модулированного сигнала. Сверху — сложение колебаний, снизу — диапазон изменений вектора амплитуды модулированного сигнала

A0+ij8A0

i/M0

An -i/M0

A0~i/3A0

Рис. 17.6.6. Векторная диаграмма фазово-модулированного сигнала. Сверху — сложение колебаний, снизу — колебания вектора комплексной амплитуды модулированного сигнала

Результирующее колебание описывается вектором, совершающим колебания перпендикулярно вектору несущего (немодулированного) сигнала А0. Это значит, что меняется лишь длина (амплитуда) сигнала,

354

но не его направление. Соответствующая диаграмма показана на рис. 17.6.6.

Строго говоря, в использованном приближении, в котором учтены лишь слагаемые ~ Д длина вектора амплитуды (17.6.2) меняется на

величину ~ р 2Аа. Однако при учёте поправок в S(t) более высокого

порядка по j} длина окажется неизменной, что прямо следует из исход­ ного выражения для сигнала:

S(t) = Af) ехр[г (<э0£+Р sin Qf)J, |S(f)| = Ад = const.

17.7. Детектирование сигнала

Детектированием называется преобразование электрических ко­ лебаний, в результате которого получаются колебания другой частоты. Наиболее важным случаем детектирования, используемого в радиопри­ емных устройствах, является демодуляция — выделение модулирующе­ го низкочастотного сигнала из модулированных высокочастотных коле­ баний.

В устройствах, осуществляющих детектирование, используются линейные и нелинейные преобразователи.

17.7.1. Ф ил ьт ра ц и я си гн ал а

Фильтром называют устройство, предназначенное для выделения из исходного сложного сигнала колебаний определённых частот (полос спектра) или подавления нежелательных частот.

В более общей трактовке фильтром называют систему L, преобра­ зующую по определённым правилам входной сигнал f[t) в выходной g(t), как схематически показано на рис. 17.7.1. Действие фильтра фор­ мально записывают в виде

g{i) = L[f(t)].

Линейным называется такой фильтр, что для любой пары входных сигналов /,(?) и f 2(t) и произвольных констант с у и с2 имеет место ра­

венство

l \c j x(о+с2/2( 0 ] = ( 0 ] + c2l [ /2 т

Для нелинейных фильтров такое равенство не выполняется.

355

В качестве примера линейного фильтра можно указать колебатель­ ный ХС/?-контур, преобразующий сигнал ЭДС в напряжение на конден­ саторе:

'![£(*)] = ГСО-

Данная связь устанавливается из решения дифференциального уравне­ ния

V +2yV +a}lV =a>l£{t).

Схема этого фильтра показана на рис. ПЛ.2. Если контур обладает вы­ сокой добротностью, то в выходном сигнале остаются только частоты,

близкие к резонансной: а>0 =l/л/LC .

Примером нелинейного фильтра является квадратичный преобра­ зователь

g (0 =f 2(0 -

17.7.2. В ы п р ям л яю щ и е п р ео бр а зов а т ел и

Наряду с линейными фильтрами используют нелинейные преобра­ зователи сигналов. В частности, применяют выпрямляющее преобразо­ вание, схема которого показана на рис. 17.7.3. В схеме присутствует диод — устройство, обладающее малым сопротивлением для тока в од­ ном (прямом) направлении и большим сопротивлением для тока в про­ тивоположном (обратном) направлении. Наличие диода D в схеме при­ водит к тому, что «отсекается» половина сигнала (рис. 17.7.4).

~Ч<Р-

Диод заперт

Диод открыт

Рис. 17.7.3. Слева —диод и его пропускание; справа —нелинейный преобразо­ ватель сигнала, содержащийдиод. Выходной сигнал Квых подаётсяна динамик

356

Рис. 17.7.4. «Половина» синусоиды, оставшаяся после выпрямления с помощью диода

Конденсатор С в схеме на рис. 17.7.3 отсеивает высокочастотный сигнал, поскольку на таких частотах его сопротивление мало ( Zc =1/icoC ). Динамик же реагирует на звуковые (низкие) частоты.

После «отсечения» половины сигнала возникает преимуществен­ ное направление тока в цепи. Однако высокочастотные колебания сиг­ нала сохраняются. Высокочастотные примеси возникают и в других ситуациях. Для их устранения применяют специальные схемы сглажи­ вания, осуществляющие преобразование усреднения:

Для удаления высокочастотных колебаний с частотами ~ со усред­ нение должно проводиться за времена At» I n f со . Пример электриче­ ской схемы, осуществляющей сглаживание сигнала, показан на рис. 17.7.5.

Рис. 17.7.5. Линейный преобразователь, осуществляющий сглаживание

на временах At ~ г = RC

Выделение модулирующего сигнала с помощью последовательно­ го применения выпрямляющего и сглаживающего преобразований про­ иллюстрировано на рис. 17.7.6.

17.7.3. Квадратичное детектирование

Кроме схем с использованием выпрямителей для детектирования можно использовать различные нелинейные преобразователи. К их чис­ лу относятся квадратичные детекторы. Таковыми являются, например, преобразователи, осуществляющие квадратичное сглаживание:

357

Блок-схема квадратичного детектора изображена на рис. 17.7.7.

Рис. 17.7.6. Выделение модулирующего сигнала с помощью выпрямления и последующего сглаживания. Последовательно: исходный (модулированный высокочастотный), выпрямленный и сглаженный сигналы. На первом и втором графиках модулирующая функции показана штриховой линией

АО D

Рис. 17.7.7. Квадратичный детектор, осуществляющий сглаживание выпрямленного сигнала с временем усреднения At

17.7.4. Квадратичное детектирование амплитудно-модулированного сигнала

- A ft ) .

2

358

Здесь учтено, что на интервале интегрирования функция А2(?) меняется

незначительно вследствие второго неравенства в (17.7.4). Использовано равенство cos2 o\t =1/2. Таким образом, получаем

где предполагается малость глубины модуляции (т <sc 1).

Результат (17.7.5) означает, что после квадратичного детектирова­ ния возникает сигнал на частоте модуляции А^тcosfit на фоне посто­

янного сигнала 4/2 - Сформулируем алгоритм детектирования в комплексной форме.

Тогда результат (17.7.5) можно представить через функцию S(t') сле­ дующим образом:

является общим для расчёта квадратичного детектирования произволь­ ных слабомодулированных сигналов — как амплитудно-, так и фазовомодулированных.

Тогда по формуле (17.7.8) находим результат квадратичного детектиро­ вания:

Следовательно, после преобразования остаётся постоянный сигнал; практически все следы модуляции уничтожены детектором.

359

17.7.6. П рием б е з н есу щ ей

Пусть имеется фазово-модулированный сигнал. Для того чтобы воспользоваться квадратичным детектором для обнаружения модуля­ ции, можно использовать предварительную фильтрацию сигнала. Одна из возможностей состоит в удалении сигнала на несущей частоте o)q. Действительно, пусть комплексный фазово-модулированный сигнал до

Теперь квадратичное детектирование (17.7.2) даёт:

g(t) = ^ S 'S =^ ( P \ ) 2sin2 Qt =^ - (M )2 (1 - cos2D.t). (17.7.14)

Таким образом, мы выявили наличие модуляции в исходном фазо-

во-модулированном сигнале: g (t) Ф const. Однако выходной сигнал g(t)

рующего сигнала (2Q).

Пример электрической схемы , осуществляющей удаление несу­ щей, показан на рис. 17.7.7. Параметры ZC-цепочки подбираются таким образом, чтобы её сопротивление на несущей частоте было минималь­ ным, а полоса пропускания Асо = ca^jQ была достаточно узкой.

17.7.7. П риём с и зм ен ен и ем ф азы н есу щ ей

Качество детектирования можно повысить, если применить другой метод — изменить фазу несущего сигнала на тг/2. Такое преобразова­

ние даёт

360