Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

жительном направлении связан с зарядом q соотношением J =dqjdt и

отвечает зарядке верхней пластины конденсатора. По определению на­ пряжение на конденсаторе есть V=(ръ —(р^. С учетом этого имеем

j Е^1 =<р3-<рА=У =^ ,

(34) С

где введена ёмкость конденсатора С =q/V.

Сучётом сказанного получаем

-£ +JR +-^ = - — .

Сdt

Перепишем это уравнение, имея в виду связь магнитного потока и тока

Ф = Ы :

17.1.3. У равн ен и е св обо дн ы х к ол еб а н и й

Пусть в замкнутой цепи, показанной на рис. 17.1.1, отсутствует ис­

Это уравнение описывает поведение заряда на конденсаторе в от­ сутствие сторонних источников энергии и называется уравнением сво ­ бодных колебаний.

17.1.4. Г а р м о н и ч еск и е к ол еб а н и я

Пусть сопротивление цепи равно нулю: R = 0. Тогда у =0, и мы приходим к уравнению гармонического осциллятора:

311

-q +mlq^Q .

Решение этого уравнения имеет вид

q(t) =q0cos(a)(lt +(p0).

Значения амплитуды q0 и начальной фазы <р0 колебаний определяются

из начальных условий. Частота колебаний есть

а,^ 7 1 с '

Соответственно период колебаний равен

Т= — =2 я Л с .

со0

Это соотношение называется формулой Томсона.

Система, совершающая колебания, называется осциллятором. Ос­ циллятор называется гармоническим, если совершаемые им колебания являются гармоническими, т.е. описываются формулой

q(t)^ q ^ cos(oil +(pQ).

Величина qo в этом соотношении называется амплитудой, а аргумент косинуса (р =cot+ (рц — фазой колебаний.

17.1.5. З ат ух аю щ ие к ол еб а н и я

Рассмотрим общий случай уравнения свободных колебаний q +2yq +a%q =0.

Введём комплекснозначную функцию q(t), такую, что R eq(t) =q(t), и

Соответственно общее решение дифференциального уравнения (17.1.3) есть линейная комбинация частных решений, отвечающих двум корням этого квадратного уравнения:

312

q(t) =qwe n'‘ +q2Qe ^ ‘.

Коэффициенты qi0 и q2о определяются из начальных условий. Решение исходного уравнения (17.L2) есть q(t) =R eq(t).

Приведём частные случаи.

писать в виде

q(t) =e ^ [ q we ^ +q2de - ^ ] .

Имея в виду формулу Эйлера

е,,р = cos(p +ism<p

иотделяя действительную часть q(t) = R eq(t), получим

q(t) = e~r‘ (a coseot+ b sincot) =q0e~r>cos(erf+<p0).

Решение содержит две произвольные постоянные (а,Ъ) или (qg, <ра).

Эти пары констант связаны соотношениями

q0 = Ja 2+b2, tg<pg

а

2) Сильное затухание: а>0 < у.

Обозначим Г = 4'/2 ~0)1■Тогда О =i(y± T ), и решение принимает вид

q(t) =e~rt [q10eTt + qwe~r‘].

3)Если о\ =у, то П, =П2, и решение вырождается:

q{l)^e-?‘ ( C +C2t)

(Q и Сг — произвольные константы).

На рис. 17.1.2 показан график затухающих колебаний. Такие коле­ бания можно представлять как периодические (гармонические) колеба­

На этом рисунке временная зависимость амплитуды затухающих коле­ баний показана штриховой линией.

Величина ^показывает, с какой скоростью убывает амплитуда ко­ лебаний A(t) = q^eTrl, и называется коэффициентом затухания. Для

ZCif-контура коэффициент затухания равен y -R l2L . Обратная вели­

313

чина т =1/у называется временем затухания, и показывает, за какое

Рис. 17.1.2. Свободные затухающие колебания в колебательном ХСй-контуре

Введём фазовую плоскость как плоскость, по осям координат ко­ торой откладываются значения q и q. Точка {q, q} на этой плоскости

представляет состояние системы и называется фазовой точкой. С тече­ нием времени данная точка перемещается, описывая некоторую кри­ вую, называемую фазовой траекторией.

На рис. 17.1.3а показан фазовый портрет незатухающих колебаний (у =0). Различным начальным условиям отвечают различные фазовые траектории. На рис. 17.1.36 показана одна из фазовых траекторий {q(t), q(t)} для затухающих колебаний (aft >у > 0). Положению равно­ весия {q =0, q =0} отвечает начало координат.

Рис. 17.1.3: а — фазовьш портрет незатухающих гармонических колебаний; б — фазовая траектория затухающих колебаний

314

Остановимся на случае колебаний без затухания. Все фазовые тра­ ектории в рассматриваемом случае представляют собой эллипсы, урав­ нения которых можно установить следующим образом. Решение урав­ нения колебаний в отсутствие омических потерь (R =0, f =0) имеет вид

q =q0cos(cji +щ ).

Для тока J - q отсюда находим

q =—coq0sin(otf +<pQ).

Это есть уравнение эллипса с полуосями q0n со q0.

17.1.6. З акон сох р а н ен и я эн ер ги и

Запишем дифференциальное уравнение затухающих колебаний в следующей форме:

L q+ ^ =-Rq.

есть полная энергия контура, запасённая в катушке индуктивности (W l) и в конденсаторе (Wc)- Слагаемое в правой части равенства

гу

( -N =—R J ) описывает, согласно закону Джоуля-Ленца, потери энер­ гии. Таким образом, получаем

dW

-N.

dt

315

17.1.7. П р евр а щ ен и я эн ер ги и в к о н т ур е б е з п от ер ь

Если сопротивление контура равно нулю, то потери отсутствуют, N =0, и энергия сохраняется. При этом заряд на конденсаторе и ток в цепи меняются по закону

q(t) =q0 cosOv), J{i) =q(i) =- J 0 sin(fi»0f) =J 0 cosI( a>0t +—

где введена амплитуда тока /0 = a>0q0. Отсюда видно, что фазы q(t) и J (t) сдвинуты на я/2. Соответственно для слагаемых в энергии нахо­

=il= i- c o s W ) ,3 il± £ 2 !e £ V ) .

Таким образом, запасы энергии в катушке индуктивности и в конденса­ торе совершают колебания с одинаковой амплитудой, но в нротивофазе, причём периодически происходит полная перекачка энергии из индук­ тивности в ёмкость и обратно.

Если контур неидеальный (R ф О), то энергия теряется. Макси­

мальная скорость потерь достигается в те моменты, когда ток в цепи максимален, поскольку в эти моменты максимальны джоулевы потери

(N----RJ2).

17.1.8. Л ога ри ф м и чески й дек р ем ен т

Рассмотрим затухающие колебания (рис. 17.1.4):

q(t) =A(t)cos(a)t +фо), A(t) =q0e~rt. (17.1.7)

Выберем два последовательных максимума: qn, qn+\- Величина

s =to(qn/qn+l)

316

называется логарифмическим декрементом. Найдём явное выражение для 8.

Рис. 17.1.4. Затухающие колебания. К определению логарифмического декремента

Максимумы функции q(t) определяются из условия q =0. Из вы­

ражения (17.1.7) находим

Ч=Ч0е Г‘ [: ycos(cot +<p0)~ cos,m{G>t +(p0)] =

(1 /.1.о)

=' Чо C0S((0t +tp0 + фу).

Дополнительное слагаемое щ в фазе таково, что

Учтено также, что в соответствии с определением величины со оказыва­

ется ^ у2 +£02 - (О0.

Положим q - 0. Как видно из (17.1.8), промежуток времени между

двумя соседними максимумами составляет

откуда следует выражение для логарифмического декремента:

317

В случае слабого затухания (/ <к со0) для £Сй-контура находим:

Смысл логарифмического декремента следующий. За характерное время затухания колебаний г =1/у осциллятор соверншт

П~ Т~ уТ ~ 8

колебаний. Следовательно, <5 =1/и.

17.1.9. Добротность колебательной системы

Как было сказано, за характерное время затухания осциллятор со­ вершает

17.1.10. Энергетический смысл добротности

За период колебаний амплитуда колебаний заряда и тока убывает в

е уТ раз. При этом согласно (17.1.6) энергия системы убывает как квад­ рат амплитуды, т.е. в е 1гТ раз. Это значит,чтоесли в начале какоголибо периода колебаний в контуре запасенаэнергия W(t), то к началу следующего цикла в системе остаётся энергия W(t +T) =e~2rTW(t). По­ тери энергии за цикл составляют

AW =Wit) - W(t +Т) = (l - е гуТ ) W(t).

Считая затухание слабым: 2уТ <к 1, получаем AW =2yT-W (t). Отсюда следует

318

Г _ 1 1 со 1 ^

AW ~ 2уТ ~ 2л 2 у ~ 2л

что и определяет энергетический смысл добротности Q. Последнюю формулу обычно записывают в виде

Эту формулу иногда принимают в качестве определения добротности.

17.2. Вынужденные колебания под действием гармонической ЭДС

17.2.1.Р езо н а н с

Запишем уравнение (17.1.1) для £СК-котура при наличии ЭДС £,

где слагаемое Vs(t) описывает свободные колебания («s» ~ selj), а сла­ гаемое Vf ( t ) — вьшужденные колебания (<ф>=forced)'.

Vf+2yVf +4Vf =£0elM.

319

Если коэффициент затухания ненулевой (/ Ф 0), то свободные колеба­ ния со временем затухнут: Vs( t ) —>0, и останутся только вынужденные

Поскольку такое равенство должно вьшолняться в любой момент вре­

Полученная зависимость называется частотной характеристикой кон­

С учётом этого решение, описывающее вынужденные колебания на­ пряжения, принимает вид

На рис. 17.2.1 показана зависимость амплитуды вынужденных ко­ лебаний от частоты со внешней ЭДС, называемая амплитудно-

частотной (или амплитудной) характеристикой.

Как видно из рис. 17.2.1, при не слишком большом затухании на­ блюдается сильное возрастание амплитуды при приближении частоты внешней силы (ЭДС) к некоторой характерной частоте. Это явление называетсярезонансом , а частота а т , при которой амплитуда достигает максимума, —резонансной частотой.

320