Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Тогда из (13.4.2) следует

Отсюда согласно (13.4.1) находим соотношение между амплитудами электрического поля падающей и отражённой волн:

Еох=-Е'ох. (13.4.6)

Для нахождения соотношения между амплитудами магнитного по­ ля этих волн воспользуемся уравнением Максвелла:

Для плоской волны с волновым вектором к и частотой со это уравнение принимает вид к х Е =<иВ/с . Соответственно для падающей и отражён­

ной волн (13.4.1) это равенство записывается следующим образом:

Сс

Ввакууме к = со/с. Поэтому для падающей волны kz =к, а для отра­

жённой волны k'z =-к . Отсюда находим соотношение между амплиту­ дами:

Наконец, с учётом (13.4.6) получаем

Взаимная ориентация векторов В и Е в падающей и отражённой волнах проиллюстрирована на рис. 13.4.2.

Г '

)Е —(Х)Е'

Н' ^

На рис. 13.4.2 и далее используется символика для изображения векторов, направленных перпендикулярно к плоскости рисунка, пока­ занная на рис. 13.4.3.

251

®стрелы

Вектор «смотрит от нас» — видно опере­ ние стрелыВектор «смотрит на нас» — видно остриё

Рис. 13.4.3. Изображение направления векторов

С учётом (13.4.6) и (13.4.9), получаем из (13.4.1) — (13.4.3) выра­ жения для полей Е и В волны в пространстве над металлом:

=2iE0e щ sinfe,

='2B0e4at co s kz.

Остальные компоненты полей равны нулю. При этом согласно (13.4.8), (13.4.9) Е0 =В0

Таким образом, в пространстве над металлом электромагнитная волна — стоячая, причём фазы колебаний электрического и магнитного полей отличаются на тг/2. Формально этот сдвиг учитывается множи-

телем i =e'^ 2 в выражении (13.4.10).

13.5. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела диэлектриков

13.5.1. О т р а ж ен и е и п р ел ом л ен и е вол н

Пусть на плоскую границу раздела двух диэлектриков падает пло­ ская волна, волновой вектор которой образует угол в с нормалью к плоскости. Угол ^называется углом падения волны.

Будем обозначать величины, относящиеся к отражённой волне од­ ним штрихом, к прошедшей через границу раздела волне — двумя штрихами, а к падающей волне — без штрихов, (как показано на рис. 13.5.1 применительно к волновым векторам и соответствующим углам).

Плоскостью падения называется плоскость, образованная норма­ лью к поверхности раздела сред и волновым вектором падающей волны.

252

Предполагаем, что в диэлектриках нет свободных зарядов и токов проводимости. Поэтому на границе раздела сред выполняются условия непрерывности касательных к поверхности компонент электрического и магнитного полей:

Падакмцая Отражённая

E0t exp [i(kxx +куУ - а*)] +E’0t exp\i(k'xx +к’у у - fflV)] =

=E”t exp[i(k"xx + k”y - o ft )\.

Аналогичное равенство выполняется и для вектора напряжённости маг­ нитного поля.

Это равенство должно выполняться тождественно в любой момент времени и в любой точке {х, у} границы раздела. Следовательно,

253

В среде с показателем преломления п волновое число связано с частотой соотношением & = &w/c. Поскольку

kx=ksm6, к'х=к'sin#', кх = к"sin #",

есть известный закон преломления света — закон Снеллиуса (1621 г.).

Если ввести относительный показатель преломления среды 2 (по от­ ношению к среде 1) n2i= n 2/nl , то закон Снеллиуса переписывается в виде

sin#

-------- = и71.

/%П *-1 sin#

13.5.2. Э ф ф ект п о л н ого в н ут р ен н его о т р а ж ен и я

Пусть среда 1 имеет показатель преломления пх, а среда 2 — пока­

затель преломления щ , причём и2 <nv Иными словами, волна, распро­ страняясь в среде 1, попадает на границу раздела со средой 2, являю­ щейся оптически м енее плотной (рис. 13.5.2).

Рис. 13.5.2. Волна падает из оптически более плотной среды 1 на границу со средой 2 , являющейся оптически менее плотной

Преломлённая волна направлена под таким углом в ” к нормали, что щ sin# = п2sin#”. По мере роста угла падения #растёт и угол пре­

ломления в", причём волна сильно отклоняется от нормали к границе раздела сред. Когда угол падения достигает такого значения, что щ sin в = п2, преломлённая волНа «скользит» вдоль границы раздела:

в ’ =ж/2. Это означает, что при

254

в ^ въ.0 . =arcsin«2i, п21 =п2/щ <1,

преломлённая волна в среде 2 отсутствует, т.е. падающая волна полно­ стью отражается назад, в среду 1. Иными словами, при падении под уг­ лами в > въо волна полностью отражается от границы со средой опти­

13.5.3. Ф орм улы Ф р ен ел я

Электромагнитная волна, распространяющаяся в изотропном пространстве1, свободном от токов и зарядов, является поперечной:

E-Lk, H ± k, E-LH.

При наличии границы раздела сред в зависимости от ориентации векто­ ра Е по отношению к плоскости падения волны различают два типа по­ ляризации (рис. 13.5.3):

1)s-поляризация, когда вектор Е перпендикулярен плоскости па­

дения,

2)^-поляризация, когда вектор Е лежит в плоскости падения.

Впервом случае при всех углах падения вектор Е остаётся параллель­ ным границе раздела сред, а во втором случае угол между вектором Е и границей раздела меняется. .

©

0

I Л

Рис. 13.5.3. Векторы Е и Н в падающей волне: слева - - s-поляризованная волна, справа - - ^-поляризованная волна

Формулы Френеля устанавливают соотношения между амплитуда­ ми падающей, отражённой и преломлённой волн в зависимости от угла падения й поляризации падающей волны.

Введём амплитудные коэффициенты от раж ения (г) и прохож де­ ния (d) волны:

1 Распространение волн в анизотропных средах рассмотрено в Приложении 1.

где E0, Eq и Eq — амплитуды соответственно падающей (исходной),

отражённой и преломлённой (прошедшей через границу раздела) волн.

s-поляризованная волна

Выберем условно направление вектора напряжённости электриче­ ского поля «нам навстречу» во всех трёх волнах — падающей, отражён­ ной и прошедшей (рис. 13.5.4 слева). Вектор напряжённости магнитно­ го поля Н лежит в плоскости рисунка, а его направление определяется правилом винта, показанным на рис. 13.5.4 справа.

Н

Е

Рис. 13.5.4. Слева — отражение и преломление s-поляризованной волны на границе раздела двух диэлектриков: вектор Е перпендикулярен плоскости рисунка, а вектор Н лежит в плоскости рисунка; справа правая тройка векторов {Е, Н, к}

На границе раздела диэлектриков 1 и 2 выполняются условия не­ прерывности касательных к границе компонент напряжённостей полей Е и Н. С учётом направлений векторов, указанных на рис. 13.5.5, имеем

Eq+E'q =Eq,

(13.5.8)

—Hq c o s 0+Hq c o s 9' = —H§ cos 9".

Ограничиваясь случаем немагнитных сред, т.е. сред с /л= 1, используем связь амплитуд электрического и магнитного полей плоских волн:

Подставив эти соотношения в (13.5.8), получим систему двух линейных уравнений для амплитуд отражённой и прошедшей волн:

Еа +Еа’ =Е1

(13.5.10)

- n rEn cos 9 +щЕъ’ cos 9' =- п 2Ед cos в'.

256

Разделив почленно уравнения (13.5.10) на Ео и воспользовавшись опре­ делениями амплитудных коэффициентов отражения и прохождения (13.5.7), получим следующую систему уравнений:

1+r = d,

—щ cos#+ nxr cos в' =- n 2d cos #".

Учитывая законы отражения-преломления

(1

щsin#

перепишем систему уравнений для г и d в виде

Здесь индекс «±» указьшает на s-поляризацйю падающей волны, когда вектор Е перпендикулярен плоскости падения.

Формулу (13.5.12) можно переписать в ином виде, если исключить угол преломления в" с помощью закона Снеллиуса и, sin в - п 2 sin 9” и

2 cos#

d± =

cos#+^/«|] -sin 2 #

р-поляризованная волна

Вэтом случае плоскости падения перпендикулярен вектор напря­ жённости магнитного поля Н. Примем условно, что векторы напряжён­ ности электрического поля во всех волнах лежат в плоскости рисунка и направлены вправо, как показано на рис. 13.5.5 слева. Направление же вектора Н определяется правилом буравчика (рис. 13.5.5 справа), так что в падающей и преломлённой волнах вектор Н направлен «на нас», а

вотражённой волне -— «от нас».

Условия непрерывности (El)t = (E2)t, (H^)t =(H2)t теперь запи­

сываются в виде

257

E0c o s 0 + Eq c o s в ' —Eq c o s в",

Щ -Щ - к

Исключив отсюда магнитное поле с помощью соотношений (13.5.9), получим

Е0cos 9+E'q c o s в ' =Eq c o s в ”,

щЕ^-ПуЕц =h2Eq.

Н

Е

Рис. 13.5.5. Слева — отражение и преломление^-поляризованной волны на гра­ нице раздела двух диэлектриков;: вектор Н перпендикулярен плоскости рисунка,

Вводя амплитудные коэффициенты отражения и прохождения (13.5.7), перепишем эту систему в виде

Здесь индекс «||» указывает на ^-поляризацию, когда вектор Е паралле­

лен плоскости падения волны.

Исключив угол преломления в" с помощью закона Снеллиуса и введя относительный показатель преломления п21 =п2/п1, перепишем

258

Соотношения (13.5.12) — (13.5.15) определяют амплитуды отра­ жённой и преломлённой волн для двух случаев поляризации. В общем случае волну можно представить в виде суперпозиции .s'- поляризованной и/^-поляризованной компонент и для каждой из компо­ нент следует использовать соответствующие формулы Френеля.

Заметим, что при скользящем падении волны, т.е. при 0 —>я/2, из

формул Френеля следует, что независимо от поляризации d —> 0. Это значит, что волна практически полностью остаётся в первой среде. Кроме того, в этом пределе -» -1, /j|—>1.

13.5.4. С лучай н орм а л ьн ого п а д ен и я волны н а гр а н и ц у р а зд ел а с р е д

В этом частном случае исчезает различие между поляризациями волны, поскольку оба вектора — Е и Н — параллельны границе раздела сред (рис. 13.5.6). Граничные условия в соответствии с рис. 13.5.6 при­ нимают вид

EQ+ E '^ E l —H0 +Hq =-Щ .

Падающая Отражённая

Полагая Н0 =п:Е0, Щ =щЕ'0, Щ =п2Е$ и вводя амплитудные коэф-

фициенты отражения и прохождения, имеем

1+r =d, nl ( l - r ) =n2d,

откуда следует

(13.5.16)

Эти же формулы можно получить и из общих формул Френеля, положив в них 9 =в" = 0.

259

13.5.5. К оэф ф иц и ен т ы о т р а ж ен и я и п р о х о ж д ен и я п о эн ер ги и

Выберем малый объём F, ограничивающий элемент границы раз­

где (/шд)2, (i0lp)z и (/пр0Ш)г — соответственно компоненты интенсив­

ности падающей, отражённой и прошедшей волн, нормальные к границе раздела.

Найдём связь введённых коэффициентов отражения и прохожде­ ния с соответствующими амплитудными коэффициентами. В соответст­ вии с определением вектора Пойнтинга

260