Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Напряжение же на сопротивлении оказывается равным

В заключение этого раздела упомянем о методе гет еродинирования для обнаружения фазовой модуляции принимаемого сигнала. Суть метода в том, что на вход квадратичного детектора подаётся, наряду с принимаемым Ag cos (a>0t + , также сигнал на несущей частоте (сиг­

нал гет еродина) Ag cos(<»„/). Тогда суммарный сигнал равен

S(t) = А0е ‘Ы+т) + А / * =е v (л е 9<,) +Ag ),

g(t) =±S’S = | [ 4 + A2g + 2A0Ag cos (у#))]-

Квадратичное детектирование и в этом методе позволяет обнаружить сигнал фазовой модуляции.

17.8. Параметрические колебания

Параметрические колебательные системы — это системы с изме­ няющимися во времени параметрами, изменение которых связано с со­ вершением работы.

Если параметры меняются периодически с периодом, находящимся в определённом соотношении с периодом собственных колебании, то может происходить раскачка колебаний из-за накопления энергии в такт

сколебаниями.

Вэлектрических цепях раскачку колебаний можно осуществить, меняя периодически индуктивность (режим «вариометра») или ёмкость (режим «вариконда»).

362

Рассмотрим колебательный ZC-й-контур, содержащий переменную индуктивность (рис. 17.8.1). Если индуктивность не меняется со време­ нем, то в контуре реализуются затухающие колебания. В частности, заряд на конденсаторе меняется по закону

q(t) =q0e~r‘ cos(a)t +<pQ). (17.8.1)

Фазовый портрет этих колебаний показан на рис. 17.8.2. Будем считать, что затухание мало: / « а , . При этом частота со близка к щ :

Пусть теперь индуктивность в контуре меняется периодически, как показано на рис. 17.8.3, причём период изменений индуктивности TL составляет половину периода собственных колебаний колебательного контура:

Рис. 17.8.1. Колебательный LCft-контур с переменной индуктивностью L

Рис. 17.8.2. Фазовый портрет колебательного контура (рис. 17.8.1) для случая постоянной индуктивности — затухающие колебания

причём теперь индуктивность L уже нельзя вынести из-под знака произ­ водной (поскольку она переменная). По предположению индуктивность меняется быстро в определённые моменты времени. Тогда магнитный

363

поток и заряд на конденсаторе в эти моменты не меняются. В частности, для момента t = т (рис. 17.8.3) имеем:

ФГг—0 = Ф1г+0 •

(17.8.5)

” 1т—0 11т+0

Эти соотношения непрерывности называются условиями сшивки.

где Ф = LJ — магнитный поток. Если в этот момент уменьшить индук­ тивность (за счёт работы внешних сил), то энергия контура увеличится. Если же изменение индуктивности производить в моменты, когда ток в катуш ке отсутствует, то работа не совершается и энергия контура не меняется.

На рис. 17.8.4 изображён фазовый портрет системы при колебани­ ях индуктивности, показанных на рис. 17.8.3.

Рис. 17.8.4. Фазовый портрет пара­ метрических колебаний при нали­ чии неустойчивости

За период колебания индуктивности система проходит участок траектории (рис. 17.8.4):

364

минимального значения L x до максимального Ь 2 без совершения работы; энергия контура при этом не меняется: W = W0.

В момент 2 ( t =г ) индуктивность скачком уменьшается, и согласно (17.8.6) энергия возрастает:

предыдущий, но с новым начальным значением энергии. После п пе­ риодов колебаний индуктивности (т.е. к началу (и + 1)-го периода) энер­ гия контура составит

W, = К - (17.8.11)

Преобразуем эту формулу. Учтём, что п периодов колебаний ин­ дуктивности занимают время t = п ■2т = nTL, так что последняя форму­ ла принимает вид

365

Таким образом, при параметрическом возбуждении колебаний на­ блюдается экспоненциальный рост энергии системы.

Найдём также закон изменения тока. Для одного цикла имеем:

= |2- К , w 0 = **£ , J * = \ jx Ja' (17'8Л5)

Здесь /и и J K— значения тока соответственно в начале и в конце цикла. После п циклов оказывается

Г т \"/2

\ A J

До сих пор мы не учитывали омических (джоулевых) потерь. Их наличие уменьшает возможности параметрической раскачки колебаний. Найдём условие возникновения параметрической неустойчивости в этом случае. Будем предполагать, что затухание, обусловленное данным фактором, мало. Кроме того, будем считать, что амплитуда колебаний индуктивности мала: Ь2-Ц <к Lr Тогда потери энергии за время TL

составят

где J 1 =J miy2 _/2 — среднеквадратичное значение тока за рассматривае­ мое время. Поступление энергии за то же время составит

Раскачка колебаний возможна, если потери энергии окажутся меньше поступления:

Полученному условию можно придать иной вид, если использо­ вать обозначения

AL = 2ATlL, R = 2yL

(первое — следствие формулы (17.8.14), второе — определение коэф­ фициента затухания у). Тогда из (17.8.19) находим

366

Установим теперь закон, по которому меняется энергия, содержа­ щаяся в колебательном контуре. Изменение энергии за время TLопреде­

Здесь введён коэффициент затухания y =R/2L и учтено равенство

AL/L, = 2ЯГ; , следующее из (17.8.14).

После п периодов колебаний индуктивности получим

Wn =W,[\ +2XTL-2 yT L]n =W ^[_n\n(\ + 2XTL-2yT L)].

По предположению затухание слабое, так же как малы колебания ин­ дуктивности. Поэтому

п In[1+2(Л- y)TL] * 2(Л- у )nTL.

Наконец, вводя время процесса t =n -2 t =nTL, окончательно находим

дает с полученным выше условием (17.8.20).

Укажем основные отличия параметрического резонанса от обычно­

го.

1) Как видно из (17.8.12) или (17.8.21), система всегда имеет рав­ новесное состояние, в котором колебания не совершаются, т.е. состоя­ ние с W = 0. Однако это состояние неустойчиво: при малейшем откло­ нении от него начинается раскачка колебаний (при условии (17.8.20)). При обычном же резонансе состояние покоя невозможно при наличии возбуждающей силы.

2) При параметрической раскачке колебаний их амплитуда неогра­ ниченно возрастает (пока не «включатся» иные факторы, останавли­ вающие рост амплитуды колебаний). В случае же обычного резонанса устанавливаются стационарные колебания с амплитудой, зависящей от частоты внешней силы.

3) Обычный резонанс (максимальная амплитуда колебаний) на­ блюдается на одной частоте. Параметрический же резонанс (раскачка колебаний) может наблюдаться на целом наборе частот внешней силы.

367

В рассмотренном примере период внешней силы (период колебаний индуктивности) TLсоставлял половину периода собственных колебаний осциллятора Т0, так что

Однако если период колебаний индуктивности окажется вдвое больше, то резонанс также будет наблюдаться, хотя раскачка будет идти мед­ леннее, поскольку в этом случае за один период Ti в поступает меньшая энергия.

Точно так же раскачка наблюдается и тогда, когда период TLбудет

тот факт, что неограниченная раскачка колебаний наблюдается не толь­ ко на дискретном наборе частот, но и в некоторой полосе в окрестности каждой из частот (17.8.22):

При этом ширина полос уменьшается по мере роста номера п. При на­ личии затухания (у > 0) число резонансных полос конечно. Их число

ишах ограничено условием Лп < у.

17.9.Автоколебания

17.9.1.О братная связь

Автоколебания — это незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, параметры которых (амплитуда и период) опреде­ ляются свойствами только самой системы и в широких пределах не за­ висят от начального состояния системы.

Автоколебания возникают при наличии положительной обратной связи, приводящей к неустойчивости состояния равновесия.

Обратная связь — это воздействие результата какого-либо про­ цесса на его протекание.

Примером системы с обратной связью является усилитель с гром­ коговорителем (рис. 17.9.1). Если сигнал с громкоговорителя подать на

368

микрофон, то может возникать самовозбуждение системы — появление и усиление случайных звуковых сигналов.

Схему системы с обратной связью можно качественно представить, как на рис. 17.9.2.

Обратная связь называется положительной, если она вызывает не­ устойчивость состояния равновесия, и отрицательной, если она ведёт к стабилизации, возвращению к равновесию. . . .

17.9.2. Генератор Ван-дер-Поля

Примером системы, где реализуется положительная обратная связь и возникают автоколебания, является генератор Ван-дер-Поля, собран­ ный на лампе-триоде (рис. 17.9.3).

Рис. 17.9.1. Сверху — исходная система приёма, усиления и воспроизведения звука; снизу — включение обратной связи

Здесь М — коэффициент взаимной индукции.

С учётом этого уравнение, определяющее закон изменения тока в цепи сетки, принимает вид

369

Ток в анодной цепи зависит от напряжения на сетке: J a =J a(Uc ).

Эта функция называется сет очной характеристикой, её график качест­ венно показан на рис. 17.9.4. В рабочей области лампы по мере увели­ чения напряжения на сетке растёт анодный ток.

Рис. 17.9.3. Слева — схема генератора Ван-дер-Поля на электронной лампетриоде Л; справа — относительное расположение витков и выводов катушек, реализующих различные знаки взаимной индукции М (в соответствии с прави­ лом Ленца)

Рис. 17.9.4. Сеточная характеристи­ ка триода для трёх значений анод­ ного напряжения: Uai < Ua2 < Uai (кривые 1 , 2 и 3 соответственно)

ис

Анодный ток J a зависит также от анодного напряжения Ua: с рос­ том Uа ток J a растёт, т.е. сеточная характеристика смещается влево. Это значит, что можно так подобрать анодное напряжение Uа =UaQ, чтобы

370