лическим v. v - а/2л. Если интервал времени Т достаточно велик, т.е.
шаг Av - l/Т мал, то спектр можно считать почти непрерывным. Пусть d v — полоса частот, в которой измеряются шумы. На этом интервале
спектра помещается ^< - —Tdv фурье-компонент. |
Тогда частотный |
Av |
|
спектр дробового шума можно записать в виде |
|
d (J 2j = j\ - Tdv = 2 eJTdv. |
|
Обозначая средний ток как J T = J 0, находим окончательно флуктуа |
цию тока в спектральном интервале d v : |
|
d ( j 2^ = 2 e j0dv. |
(18.1.18) |
Полученное соотношение называется формулой Шотшки. Отме тим, что величина интервала Т сюда явно не входит. Поэтому данное равенство справедливо (в рамках использованных допущений) для про извольных промежутков времени наблюдения.
|
|
|
I |
d v |
|
|
|
|
|
А------- |
-1 |
|
I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I— I------- ► |
1 |
2 |
3 |
v |
|
1 |
v |
О j |
j |
^ |
|
v + d v |
|
|
Рис. 18.1.3. Частоты фурье-спектра тока |
|
Согласно |
(18.1.18) |
спектральная |
плотность |
флуктуаций тока |
d ( J 2)/dv = 2е,/0 не зависит от частоты. Соответствующий шум назы
вается белым: его мощность равномерно распределена по всему спек тру.
Заметим, что последовательная теория дробового шума, учиты вающая конечность времени пролета лампы электронами, приводит к следующему выражению для спектра дробового шума:
d { jz> = 2eJ0FTdv, |
(18.1.19) |
где множитель FT зависит от частоты и времени пролета заряда. Ти
пичный вид этой функции показан на рис. 18.1.4.
Существенное убывание спектральной мощности наблюдается при
_1 |
_о |
частотах v ~ т . Например, в электронной лампе |
г —10 с, так что |
спектр дробового шума обрывается при v ~108 Гц. |
|
Рис. 18.1.4. Множитель FT, ,,
учитывающий пролетные эффекты в формировании дробового шума. co = 2ttv, т — время пролета, от катода до анода
18.2.Тепловые шумы в электрических цепях
18.2.1.Т епл овой ш ум
В1927 г. Дж.Б. Джонсон (J.B. Johnson) обнаружил, что на выходе усилителя, ко входу которого вместо ЭДС подключено активное сопро тивление R, наблюдается шум, хаотическое напряжение (рис. 18.2.1).
Интенсивность этого напряжения S1 растет с увеличением входного сопротивления и с повышением температуры Т. Теория явления была создана в том же 1927 г. X. Найквистом (Н. Nyquist).
Обнаруженное явление носит общий характер и состоит в том, что в цепи, включающей активное сопротивление, всегда возникают слу чайные ЭДС й обусловленные ими случайные токи, причем
Наблюдающийся в подобных ситуациях шум называют дж онсоновским ,
или найквистовским.
Рис. 18.2.1. Усилитель, к входу которого подсоединено активное сопротивление R
Природа найквистовского шума состоит в следующем. Случайное движение электронов приводит к флуктуациям электрического поля, которые вызывают ток. Этот ток в свою очередь приводит к выделению тепла в активном сопротивлении (в соответствии с законом ДжоуляЛенца). Выделенное тепло точно соответствует энергии, взятой из флуктуации. Другими словами, идет непрерывная перекачка энергии флуктуаций в тепловую энергию и обратно. В соответствии с этим рас сматриваемый шум часто называют тепловым шумом. Поскольку поте
ри (диссипация) энергии связаны с активным сопротивлением
(dW jdt ——R J2), то системы, не содержащие активного сопротивления,
не производят теплового шума.
В металлах вследствие большой концентрации электронов прово димости и малой длины свободного пробега тепловые скорости во мно го раз превосходят скорость упорядоченного движения (дрейфа) в элек трическом поле. Поэтому флуктуации зависят от температуры, но практически не зависят от приложенного напряжения.
18.2.2. О ценка т еп л о в о го ш ум а
Рассмотрим подробнее происхождение шума. Пусть имеется ак тивное сопротивление — проводник, содержащий электроны с концен
трацией п (см-3). Электронный газ является равновесным и имеет тем
пературу Т, равную температуре проводника. Выделим в проводнике некоторый малый объем V. Плотность тока, создаваемого электронами в
этом объеме, равна |
; |
j =пей, u = ^ £ Vi., |
(18.2.21) |
где е — заряд электрона, V,- — скорость z-го электрона, N — число элек тронов в выбранном объеме V: N=nV, и — средняя (дрейфовая) ско рость рассматриваемой группы электронов. Ввиду случайного характе ра движений электронов j =0. Однако среднеквадратичная флуктуация
тока отлична от нуля. Найдем её.
Усредняя квадрат плотности тока, получим
j2 = e V u 2 = e V u 2. (18.2.22)
Здесь учтено, чтоскорости электронов и их концентрация — это стати стически независимые случайные величины.
Для среднего значения квадрата концентрации имеем следующее выражение:
п2 =\ |
n 2 =\ ( N - N + N)2 |
' —\2" |
Сn - n )2+(n ) |
у 2 |
у 2 |
у 1 |
_i_ |
|
|
> 2 |
|
|
Поскольку число электронов в проводнике велико: N » 1 , то N2 » N, и с достаточной точностью можно полагать
|
.2 |
|
|
и2 |
N ] |
п 2 =п2. |
|
|
к Г ' |
|
|
Для среднеквадратичной скорости потока находим: |
|
И2 = |
2 2>< |
= - ^ Z v ,v t . |
(18.2.23) |
|
N2 V i |
У М i,k |
|
Скорости частиц есть случайные величины с одинаковыми статистиче скими свойствами:
- п — 3кТ У1=О, V,- -------.
m
Кроме того, для любой пары частиц эти величины статистически неза висимы, т:е.
v,-vA- |
v,. \к - 0 |
при 1Фк. |
|
Поэтому получаем |
|
|
|
|
|
|
и |
2 |
|
1 V-1 2 |
1 |
ЪкТ |
^ .ч |
|
=— |
=—■---- ■ |
(18.2.24) |
|
|
|
Nz i |
N |
m |
|
Таким образом, находим |
|
|
|
|
|
|
f „ ы |
|
* |
. i l . V |
L - i . i l L u : . |
(18.2.25) |
|
|
|
N |
m |
V тп |
|
Здесь учтено, что N = nV. Имея в виду оценочный характер расчета, здесь и далее мы отбрасываем несущественные числовые множители. Для флуктуации полного тока отсюда можно получить выражение
J 2 =S2j2 ~— ■— кТ =- — кТ. |
(18.2.26) |
V m |
I m |
|
Здесь / и S — длина и площадь поперечного сечения |
проводника, |
V =31 — объём проводника. Согласно теории Друде проводимость |
металла определяется формулой |
|
|
Я =ие2г/2яг, |
|
(18.2.27) |
где г — среднее время свободного пробега электронов, m — масса элек трона. Это позволяет переписать выражение для флуктуации тока в виде
---- .. |
ЛЛ |
|
jZ~ L2± kT. |
(18.2.28) |
г |
I |
|
Сопротивление проводника связано с его проводимостью соотношени ем
Врезультате приходим к следующей оценке дисперсии тока:
т1 Ь-Т
|
|
J -------- . |
(18.2.30) |
|
|
г R |
|
Возникновение этого тока можно рассматривать как результат дей |
ствия |
случайного |
электрического поля снапряженностью |
Е =]/Л, Е =0.Флуктуации поля порождают случайные |
ЭДС £ (t): |
£ =0, |
£2 Ф 0. Оценка среднеквадратичной флуктуации ЭДС согласно |
закону Джоуля-Ленца имеет вид |
|
|
|
£2 = R2J 2 ~ kTR/t. |
(18.2.31) |
Наконец, для мощности омических потерь получаем оценку: |
|
|
|
P =J£ = R J2 ~кТ/т. |
(18.2.32) |
Таким образом, среднеквадратичные флуктуации ЭДС и тока, а также мощность теплового шума пропорциональны температуре. Обра тим также внимание На то, что мощность омических потерь обратно пропорциональна времени свободного пробега электронов, поскольку скорость рассеяния энергии флуктуаций определяется частотой столк новений электронов с атомами.
18.2.3.С пект р т еп л ов ого ш ум а
Для определения спектрального состава мощности, а также флук туаций ЭДС и тока рассмотрим высокодобротный резонансный LCR- контур (рис. 18.2.2). Этот контур содержит активное сопротивление R, поставляющее случайную ЭДС в цепь (на рисунке данная ЭДС показана
отдельно). |
|
|
1-------- 1 |
I |
Рис. 18.2.2. Резонансный LCR-контур, |
^ |
|
содержащий источник случайных ЭДС, |
—г— С |
i 3 |
возникающихв активном сопротивлении |
8(f) |
\ |
|
--------5* J*--------- 1 |
|
Вследствие резонансных свойств контура в нём будут существо |
вать только колебания |
с частотами, близкими к резонансной |
ti>0 =l/VZc, в диапазоне |
±у, где у = R/2L — коэффициент зату |
хания. Резонансная кривая — зависимость амплитуды тока в цепи от частоты ЭДС — показана на рис. 18.2.3. Меняя резонансную частоту контура (например, используя переменную индуктивность или ём
кость), мы можем найти значения рассеиваемой мощности, а также флуктуаций тока и ЭДС в разных диапазонах спектра.
Рис. 18.2.3. Резонансная кривая для LCR- контура. Указана ширина резонанса
по уровню J xj^ = ЛшхЛ/2 .
Wo — резонансная частота контура, у — коэффициент затухания. Для контура с высокой добротностью у <к ®0
Вследствие высокой добротности контура (у <к fi%) энергия убы вает медленно — за характерное время г ~ 1/у, значительно превы шающее период колебаний Т0 = 2л/а>0. Поэтому случайные ЭДС вызо
вут долгоживущие колебания в контуре. Энергия, запасённая в контуре, складывается из электрической энергии (в конденсаторе) и магнитной энергии (в катушке индуктивности):
W =^ - +^ - =— |
+ ^ —, |
(18.2.33) |
2 2С 2 |
2 |
|
где U — напряжение на конденсаторе. Если система имеет температуру Т, то по теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы на каждую из частей (магнитную и электрическую) приходится в среднем энергия, равная кТ/2:
WL = |
т т2 |
|
|
1— CTJ21 |
|
- |
=-k T ,W c =------ = -к Т , |
(18.2.34) |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
W =W[ + Wc =кТ. |
|
|
|
Добротность колебательной системы |
в |
случае малых |
потерь |
( у «: <щ) может быть записана в виде |
|
|
|
|
|
Q =2k W/AW, |
|
(18.2.35) |
где W— энергия системы в начале какого-то цикла колебаний, a AW— энергия, теряемая за этот цикл. Следовательно, потери энергии в конту ре за один период колебаний оказываются равными
AW = 2nW/Q. |
(18.2.36) |
Имея в виду, что величина W совпадает со средней тепловой энергией |
системы, получаем |
(18.2.37) |
AW = 2nkT/Q. |
Эта энергия теряется в активном сопротивлении. В соответствии с оп ределением добротности
где а>0 — резонансная частота, а Аа> — ширина резонанса ( Ао) ~ 2 у ).
Именно в полосе частот Асо существуют основные колебания в конту ре, на остальных же частотах колебания сильно подавлены и несут ма лую долю всей энергии системы. С учетом (18.2.37), (18.2.38) получаем выражение для энергии, рассеиваемой за период колебаний:
кТ |
(18:2.39) |
AW = 2тс— Асо . |
®о |
|
Наконец, поскольку период колебаний равен Т0 = 2л/со0 , |
находим вы |
ражение для рассеиваемой мощности: |
|
Рш ~ AW/T0 =кТАсо . |
(18.2.40) |
Полученная формула дает оценку мохцности, рассеиваемой в ак тивном сопротивлении в диапазоне частот co +co +d co . Но, с другой стороны, в условиях равновесия точно такая же мощность затрачивается на создание флуктуаций ЭДС. Следовательно, полученная формула дает выражение для спектра тепловых шумов.
Переходя от мощности к ЭДС и токам:
P =J 2R, P =£2/r ,
можно получить следующие спектральные распределения:
о |
кТ |
п |
(18.2.41) |
( J |
)a d co ------dco, |
(£2)ш~ kTRdco . |
R
Как следует из соотношений (18.2.40), (18.2.41), спектральные плотности рассматриваемых величин не зависят от частоты, т.е. на всех частотах амплитуда флуктуаций одинакова. Это означает, что тепловые флуктуации производят белый шум.
Соотношения (18.2.40), (18.2.41) называют формулами Найкеиста.
18.3.Статистическая теория теплового шума
Вданном разделе излагается последовательная классическая тео рия тепловых шумов, получены формулы Найквиста.
18.3.1.К ор р ел я ц и он н а я ф ун кц и я
Введём корреляционную функцию случайной ЭДС:
K £(T) = £(t)£(t + T). |
(18.3.1) |
Индекс «£» в обозначении К£(т) указывает на то, что мы имеем дело с корреляционной функцией для ЭДС. Для стационарного процесса функция К£(т) не зависит от времени t вследствие произвольности выбора начала отсчета и однородности времени.
Фурье-преобразование S£(a>) определяется равенствами
°о |
. |
оо |
|
Ке (т) = J |
|
S£(0J) = J К£(т)еГ‘атdr. |
(18.3.2) |
—00 |
|
—со |
|
Отсюда, в частности, следует |
|
|
|
КЕф ) =¥ (?) = ] s £( c o ) ~ |
(18.3.3) |
|
|
-оо |
|
Функция S£(cd) называется спектральной функцией шума. |
|
Рассмотрим квазистационарную цепь, включающую индуктив ность L и сопротивление R. В активном сопротивлении, как было пока зано выше, генерируется случайная ЭДС. Относительно свойств этой ЭДС будем предполагать следующее. Её среднее значение равно нулю
(поскольку отсутствуют внешние источники ЭДС), |
|
£(0 =0. |
(18.3.4) |
Примем также, что значения случайной ЭДС в различные моменты вре мени статистически независимы, некоррелированы:
£(t)£(t’) =G 8 (t-t'). |
(18.3.5) |
С учетом определения корреляционной функции (18.3.1) соотно |
шение (5) можно переписать в виде |
|
К £(т) = GS(t). |
(18.3.6) |
Найдем коэффициент G. Для этого рассмотрим Х^-контур со случайной ЭДС. Ток J (t ) в рассматриваемом контуре описывается уравнением Ланжевена:
L— +RJ =£(t), |
(18.3.7) |
|
dt |
|
|
содержащим случайную функцию £(t). |
Решение этого уравнения с на |
чальным условием J(0 ) =0 имеет вид |
|
|
г / ч I f - |
R S |
ч |
|
/ (O ^ T jexp —■ |
|
|
о L
Найдем среднюю энергию, запасаемую в индуктивности:
При t —^ со из последней формулы следует
Учтём далее, что в состоянии термодинамического равновесия, уста
навливающемся при t —»оо, окажется WL =кТ/2. |
Поэтому для коэф |
фициента G получаем выражение |
|
G = 2kTR. |
(18.3.9) |
В итоге мы приходим к следующему выражению для корреляционной функции:
K e (T)=2kTRS(z). |
(18.3.10) |
Согласно (18.3.2) спектральная функция S£(a>) дается выражением |
S£(co) =2kTR. |
(18.3.11) |
Обратим внимание на то, что для случая рассматриваемого сейчас белого шума полная мощность, диссипируемая на всех частотах в со противлении, согласно (18.3.2), (18.3.11) бесконечна:
p =± s 2(t) =— f 2kTR— =00. |
(18.3.12) |
R |
R } |
2ж |
|
|
-С О |
|
|
Такой вывод есть следствие применения классической теоремы о рав нораспределении энергии по степеням свободы (WL=кТ/2). Однако
данная теорема оказывается несправедливой при частотах, удовлетво ряющих условию heo > кТ, когда начинают работать законы квантовой
механики. Благодаря этому отклонения от закона S£(eo) =2kTR =const
наблюдаются при комнатной температуре при частотах, превышающих
7-1013 Гц, так что полная рассеиваемая мощность оказывается конеч
ной. Соответствующие частоты относятся к оптическому диапазону и обычными радиоприемниками не регистрируются.
Ограничения полной величины рассеиваемой мощности возникают также благодаря резонансным свойствам электрической цепи, содержа щей активное сопротивление.
Ещё одно ограничение применимости формулы (18.3.10) с тем, что при её выводе время корреляции тс считалось бесконечно малым, что
явно учитывалось 5-функцией в (18.3.6). Если же время корреляции ко нечно, то корреляционная функция будет иметь вид такой, как показано на рис. 18.3.1а: функция К£(т) убывает на характерных временах ~тс .
Соответствующая спектральная функция S£ (oj) также перестает быть
константой (18.3.10) и в соответствии с соотношением неопределенно
стей убывает на характерных частотах а>~г”1 (см. рис. 18.3.16).
Рис. 18.3.1: а — корреляционная функция для случая конечного (ненулевого) времени корреляции, б — соответствующая спектральная функция
Пример спектральной функции, учитывающей конечность времени корреляции, дается функцией
З Д =Г ^ ? 2-- |
(18.3.13) |
1 +а>Х |
|
При этом согласно (18.3.2) корреляционная функция оказывается сле дующей:
К£(т)= ] Se (c»)eia da> _kTR-ехр |
(18.3.14) |
2я |
|
Соответственно полная диссипируемая мощность оказывается конеч ной:
|
1 „ |
£(0)=- |
1 |
kTR кТ |
P =- £ 2(t) =- K |
|
(18.3.15) |
R |
R |
s |
R |
т „ |
В частности, когда в разделе |
18.2 |
мы строили оценку интенсивности |
теплового шума, характерное время корреляции определялось временем свободного пробега тносителей.
Свяжем теперь спектральную функцию S£(co) с компонентами Фурье £ш случайной ЭДС. Для этого запишем разложение £(t) в инте грал Фурье:
