Вопрос 1
Счестность множества рациональных чисел, нечетность множества действительных (вещественных) чисел.
-
Th.: Множество рациональных чисел счетно.
Pr.: Составим таблицу чисел, содержащие все рац. числа.
n/m |
0 |
1 |
-1 |
2 |
-2 |
3 |
-3 |
… |
1 |
0/1 |
1/1 |
-1/1 |
2/1 |
-2/1 |
3/1 |
-3/1 |
… |
2 |
0/2 |
½ |
-1/2 |
2/2 |
-2/2 |
3/2 |
-3/2 |
… |
3 |
0/3 |
1/3 |
-1/3 |
2/3 |
-2/3 |
3/3 |
-3/3 |
… |
4 |
0/4 |
1/4 |
-1/4 |
2/4 |
-2/4 |
3/4 |
-3/4 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Двигаемся по таблице таким образом:
Нумеруя встречающиеся в клетках рациональные числа, пропуская, которые уже были. Очевидно, таким образом мы занумеруем все рациональные числа всеми натуральными, что и требовалось показать.
-
Th.: Множество всех точек отрезка [0,1] несчетно.
Pr.: Допустим противное. Тогда все точки отрезка [0,1] можно занумеровать: Поделим отрезок [0,1] на три ровных отрезка и обозначим через один из них, свободный от точки . на три равных отрезка и обозначим через один из них, свободный от точки . Продолжая процесс, получим систему вложенных отрезков . По теореме о вложенных отрезках существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы. Эта точка c не совпадает ни с одной из занумерованных точек … , так как произвольная из них не содержится в отрезке , в то время как с содержится в этом отрезке. Допуская, что все точки отрезка [0,1] занумерованы, мы пришли к противоречию, найдя точку , отличную от занумерованных. Это противоречит нашему предположению. Теорема доказана.
Вопрос 2
Теорема о (точной) верхней грани.
Def.: Множество называется ограниченным сверху, если существует число b такое, что .
Th.: Числовое множество не может иметь более одной верхней грани.
Pr.: Допуская противное, предположим, что каждое из чисел b и b’ (b≠b’) является верхней гранью множества Х. Пусть для определенности, b’<b. Тогда в силу того, что b=supX, из определения верхней грани следует, что для числа Но тогда b’ не является верхней гранью Х. Из полученного противоречия следует ошибочность предположения и утверждение теоремы.
Вопрос 3
Бесконечно малые последовательности, их свойства.
Def.: Последовательность называется бесконечно малой, если
L.: Сумма, разность и произведение бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.
Вопрос 4
Единственность предела сходящейся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Th.: Числовая последовательность не может иметь в более одного предела.
Pr.: Предполагая противное, допустим, что для данной последовательности { каждый из двух различных элементов является пределом. Пусть столь мало, что Тогда по определению предела при котором (та же формула для штриха).
Положив получаем, что , а это невозможно, так как это пересечение пусто. Теорема доказана.
Th.: Сходящаяся последовательность ограничена.
Pr.: Пусть последовательность сходится и Тогда для , так что Пусть . Очевидно, что ограниченна сверху числом . Аналогично показывается, что ограничена снизу. Последовательность ограничена в силу ее ограниченности сверху и снизу.