Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

больших, чем Op. Действительно, при а » а>р плазма представляет со­

бой среду с действительным показателем преломления п =\[е <1. То­ гда условие полного отражения есть

=П.

Это — эффект полного внутреннего отражения, поскольку вакуум явля­ ется средой оптически более плотной, чем плазма:

В пределе а-> оор , когда ещё о х а ) р , угол полного внутреннего отра­

жения обращается в нуль, и плазма отражает волны при любых углах падения.

Пусть концентрация электронов медленно растёт в направлении оси х, как показано на рис. 16.2.3. Как правило, концентрация меняется незначительно на расстояниях порядка длины волны излучения. Поэто­ му можно приближённо определить локальное значение волнового чис­ ла формулой

к2{ х )= \ СО Апе ■Щх)

т

Рис. 16.2.3. Электромагнитная волна падает на плазму с увеличивающейся концентрацией электронов

. х

Для заданной частоты волны волновое число обращается в нуль в точке, где концентрация электронов достигает критического значения

JVgp =та>2j 4тге2.

Это соотношение определяет эффективное положение «плазменного зеркала».

Эффект отражения волн от плазмы используется в дальней радио­ связи. Ионосфера (слой атмосферы, начинающийся на высоте примерно 50 км от поверхности Земли) представляет собой слой плазмы, форми­ рующийся благодаря ионизирующему действию ультрафиолетовой и рентгеновской солнечной радиации, а также космического излучения. Хотя степень ионизации газа в ионосфере невысокая, концентрация электронов (до 103-105 электронов в 1 см3) достаточно велика, чтобы

301

оказалось возможным отражение длинных (X ~ несколько км) радио­ волн. Это позволяет передавать радиосигналы на приёмники, находя­ щиеся вне зоны прямой видимости, как проиллюстрировано качествен­ но на рис. 16.2.4.

Ионосфера

Рис. 16.2.4. Дальняя радиосвязь благодаря отражению радиоволн от ионосферы

/

16.3.Магнитное удержание плазмы

16.3.1.Диамагнетизм плазмы

При наложении магнитного поля на плазму электроны начинают совершать вращательное движение вокруг направления силовых линий поля с циклотронной частотой

е>0=— —В

те с

(см. рис. 16.3.1).

Это движение приводит к возникновению токов

Если радиус орбиты равен г, то возникает магнитный момент орбиталь­ ного движения

302

Пусть компонента скорости частицы, перпендикулярная магнитному полю, есть и±. Тогда радиус орбиты г = . Соответственно маг­

нитный момент оказывается равным

г

е а 0-ж 2же

Подставляя сюда выражение для циклотронной частоты, находим

ти±

~2В

Перепишем это вьфажение в векторном виде, имея в виду, что индуци­ рованный магнитный момент направлен против магнитного поля:

ш= ти±В.

2В2

Если концентрация зарядов в плазме есть п, то намагниченность окажется равной

I = пт 14 В.

Таким образом, магнитная восприимчивость плазмы, определяемая соотношением I =л:Н, отрицательна: к < 0. Это означает, что плазма обладает диамагнитными свойствами. В частности, она должна вытал­ киваться из области сильного поля. На этом свойстве основана идея магнитного удержания плазмы: необходимо создать магнитные «по­ душки», от которых плазма будет отталкиваться, в результате чего она будет удерживаться в ограниченной области пространства, не касаясь стенок камеры. Сформулированная идея предложена А.Д. Сахаровым и И.Е. Таммом в 1950 г.

16.3.2. Основное уравнение магнитной гидродинамики плаз­ мы

Выделим в плазме элемент объёма dV =dxdydz (рис. 16.3.2). .

dx

«У/

/ dz

/• /

Рис. 16.3.2. Элемент объёма в плазме, на который действуют силы газокинетического давления

303

Обозначим газокинетическое давление, действующее в плазме как Р(х, у , z). Тогда вдоль оси х на элемент объёма будет действовать сила

В векторном виде сила записывается в виде d f =- gradP-dV.

Запишем уравнение движения рассматриваемого элемента объёма. Пусть р м— массовая плотность плазмы, так что масса элемента объёма равна dm - p udV. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

Полученное уравнение определяет поведение плазмы в отсутствии каких-либо иных сил, кроме газокинетического давления.

Поскольку в плазме движутся заряды, то они создают токи, кото­ рые приводят к появлению магнитных полей. Эти поля в свою очередь создают силы Ампера, действующие на токи.

Сила Ампера, действующая на элемент объёма dV, в котором при­ сутствует ток с плотностью j, равна

d¥^--\x\ldV.

с

С учётом этого уравнение движения принимает вид

Придадим полученному уравнению другой вид. В соответствии с уравнением Максвелла ток связан с магнитным полем соотношением

j=——rotВ 4л-

(мы пренебрегли токами смещения, т.е. считая скорости изменения по­ лей малыми). Подстановка этого выражения в уравнение движения при­ водит к следующему уравнению:

d\ , _ 1 „ „ Рк■— =-gradP+ — rotBxB.

Данное уравнение позволяет описать основные особенности пове­ дения плазмы в магнитном поле.

304

16.3.3. Пинч-эффект

Плазму можно создать с помощью электрического разряда. Далее возникает задача удержать образовавшийся плазменный шнур от рас­ плывания, обусловленного существующим в нём газокинетическим давлением. Этой цели можно добиться, используя различные приёмы, к числу которых относится пинч-эффект.

Пинч-эффектом (от англ. pinch — сужение, сжатие) называется свойство электрического токового канала уменьшать своё сечение под действием магнитного поля, порождаемого самим током.

Другими словами, токовый плазменный шнур может удерживаться от расплывания, и даже сжиматься, благодаря собственному магнитно­ му полю.

Впервые пинч-эффект описал в 1934 г. У. Беннет применительно к потокам быстрых заряженных частиц в газоразрядной плазме. Термин «пинч-эффект» предложил JI. Тонкс в 1937 г., изучавший дуговой раз­ ряд.

Различают два типа пинч-эффекта:

1)z-пинч, когда ток течёт вдоль плазменного шнура и взаимодей­ ствует с собственным магнитным полем,

2)#-пинч, когда на плазменный шнур накладывается продольное магнитное поле, создающее кольцевые токи, в результате взаимодейст­ вия которых с полем происходит сжатие шнура.

На рис. 16.3.3 проиллюстрированы эти случаи. Рассмотрим под­

робнее z-пинч.

305

Магнитное поле внутри шнура находится с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля:

Апт Ш1 =2ягН =— J(r).

с

Здесь в качестве контура Г выбрана окружность радиуса г, а

J{r) =j - я г 2 — полный ток, пронизывающий контур Г (рис. 16.3.4).

Отсюда находим

в2ж ■

В= — jr .

с

Перепишем это выражение в виде

27ГГ

Согласно основному уравнению магнитной гидродинамики условие равновесия можно записать в виде

grad.P =—jxB .

с

Рис. 16.3.4. К выводу условия равновесия z-пинча. Контур Г показан штриховой линией

Поскольку j -LB, то, как видно из рис. 16.3.4, вектор jxB направ­ лен к оси шнура, причём

(jxB )r = -jB =- — j 2r.

с

Соответственно условие равновесия принимает вид

306

Заменяя в этом равенстве

Р =пкТ, j =—~—В, 2я г

перепишем условие равновесия следующим образом:

=const.

Полученное равенство можно интерпретировать таким образом,

что сумма газокинетического (пкТ) и магнитного (В2/4л:) давлений должна быть постоянной в объёме плазмы.

Полагая на внешней границе плазменного шнура T(R) =0, получа­ ем отсюда

1

Этому , соотношению можно придать другой вид, воспользовавшись формулой

Это даёт

2

В частности, отсюда следует

NlkT(0) = J 2/c2

где введена погонная плотность частиц плазменного шнура на его оси

М = л Я2п.

Полученное равенство называется условием равновесия Беннета (частный случай). .

16.3.5. Неустойчивость z-пинча

Плазма — это объект, в котором наблюдаются различные неустой­ чивости, приводящие к нарушению её однородности, формы. Неустой­ чивости в свою очередь ограничивают время жизни плазмы. Данное обстоятельство оказывается особенно критичным в задачах термоядер­ ного синтеза, когда плазму требуется удерживать длительное время, чтобы активировать реакцию.

307

К числу неустойчивостей пинча относится возникновение и разви­ тие перетяжек, как это проиллюстрировано на рис. 16.3.5. Рассмотрим данное явление на примере z-пинча.

Рис. 16.3.5. Неустойчивость z-пинча - - возникновение перетяжек плазменного шнура

Механизм возникновения перетяжек можно пояснить следующим образом. Пусть в каком-то месте шнура случайным образом возникло сужение. Поскольку ток, текущий по шнуру, постоянный, то плотность

тока возрастает по закону j =j j 7 1 R2. На поверхности шнура действует

магнитное поле B(R) =2J/cR. В результате возрастает амперова сила,

сжимающая шнур:

Отсюда следует, что сжимающее действие магнитного поля не уравно­ вешивается газокинетическим давлением Р, практически не меняющим­ ся в этом месте. В итоге происходит дальнейшее сужение перетяжки — развивается неустойчивость.

Для борьбы с данной неустойчивостью было предложено «вморо­

зить» в плазму продольное магнитное поле в [ е). Поскольку магнитный

поток в проводящей среде сохраняется:

Ф =7 iR2 B{*] =const,

то при сужении шнура поле возрастает:

В ^ ~l/j?2.

Вклад этого поля в плотность энергии AU ~В^ 2 ~\JR4. Считаем сис-

тему замкнутой, так что работа поля осуществляется за его счёт энер­ гии:

SAn(me= fS R =-SU~SR/R5.

Следовательно, / ~l/R5 > 0, т.е. возникающая сила противодействует

сжимающей пучок амперовой риле. Кроме того, при уменьшении ра­ диуса пучка эта сила по величине растёт быстрее, чем амперова сила

(Fa ~l/i?3). Таким способом можно стабилизировать z-пинч.

308

Глава 17. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

17.1.Свободные колебания в колебательном контуре

17.1.1.Квазистационарные процессы

Процесс считается квазистационарным, если мгновенные значения тока во всех участках проводника (неразветвлённой цепи) одинаковы, а электрические поля в конденсаторах такие же, как в электростатике.

Сформулируем условие квазистационарности. По электрической цепи распространяется электромагнитный сигнал, скорость которого порядка скорости света. Если частота сигнала со, то соответствующая длина волны порядка Л, =2it c j( 0 =cT, где Т =2лj со — характерный период колебаний или изменений сигнала. Если длина цепи I такова, что

/ « : Л, или I «с сТ,

то во всех участках токи и напряжения меняются синхронно, в одной и той же фазе. Поскольку время прохождения сигналом всей цепи г ~1/с,

то условие квазистационарности можно записать в виде

т<£.Т.

17.1.2. Уравнение колебательного контура

Пусть имеется электрическая цепь, включающая ёмкость (конден­ сатор) С, индуктивность L, сопротивление R и сторонний источник £

электродвижущей силы (ЭДС) (рис. 17.1.1). Составим уравнение, опре­ деляющее изменение тока в цепи1. Применим теорему о циркуляции электрического поля к замкнутому контуру Г ={12341} :

(12341)

1 В этой главе всюду мы используем систему единиц СИ, в которой Ф = Ы,

E = -^d<$>!dt.

309

В правую часть этого равенства входит ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении магнитного потока. Дополни­ тельный учёт этого элемента цепи в левой части равенства уже не тре­ буется. Будем считать также, что всё сопротивление цепи объёдинено в один элемент R. Выберем за положительное направление обхода конту­ ра, указанное на рис. 17.1.1 для тока J.

R

Рис. 17.1.1. Контур, включающий конденсатор, индуктивность, сопротивление и стороннюю ЭДС£

Выделим теперь в циркуляции отдельные участки, содержащие по одному существенному элементу цепи:

ф E,dl = | Ejdl+ J E,dl+ J Etdl+ J Exdl.

(12341) (12) (23) (34) (41)

Слагаемое | Etdl =0, поскольку на этом участке нет элементов, ме-

(41)

няющих потенциал. Слагаемое

| Е^1^--щ-<р?

(12)

определяет изменение потенциала на участке 12 и учитывает сторонний источник (сток) энергии — электродвижущую силу. ЭДС вводится ра­ венством

£~ Ф>~Ф\

идаёт приращение потенциала при переходе этого элемента. Рассмотрим участок контура 23. На данном участке из не учтённых

ранее элементов присутствуют только проводники с проводимостью X. Пустьплощадь поперечного сечения проводника есть S. Тогда, имея в виду закон Ома j = ЛЕ, и учитывая, что полный ток J = jS одинаков

во всех участках цепи, получаем

310