ложив, что амплитуда колебаний электрона мала по сравнению с дли ной электромагнитной волны, можно считать поле, действующее на отдельный электрон, однородным. Это позволяет считать коэффициент Е0постоянным, не зависящим от смещения электрона.
Вводя собственную частоту осциллятора coq=yj/3/т и коэффици ент затухания у =т]/2т, перепишем уравнение (14.2.1) в виде
г +2 уг +а $ г = ^ - е - ш , |
(14.2.2) |
Решение этого уравнения имеет вид |
т |
|
|
|
Г= 2 elj - |
Е. |
(14.2.3) |
(Щ- со - 2iyco |
|
Дипольный момент атома равен р = ег. |
Если в единице объёма среды |
находится N атомов, то вектор поляризации среды Р =Np. Имея в виду,
что D=Е+4я\Р = еЕ, находим диэлектрическую проницаемость:
/ |
■ |
с |
2 |
4 жНе2 |
(14.2.4) |
? =1 +^ |
--------------- |
-2 iyco |
,а>1= |
----- — • |
щ - с о |
|
т. |
|
Величина а>р называется плазменной частотой.
Таким образом, диэлектрическая проницаемость зависит от часто ты колебаний электромагнитной волны. Она в общем случае является также комплексной величиной.
14.2.2. Н орм альная и аном ал ьн ая д и сп ер си и |
|
Обозначим |
|
=п + гк. |
(14.2.5) |
Величина п =Re л/гг называется показателем преломления, а величина
к =h n -Je — показателем затухания (поглощения). Введённый в
(14.2.5) показатель преломления совпадает с обычным показателем пре ломления, только если е — действительная неотрицательная величина.
Поясним смысл показателя затухания. Запишем выражение для
волнового числа: |
|
■ |
|
|
7 оа г- |
со |
.со |
7 . а |
„ |
к =—л1£=—п +г—к = кг +г—. |
(14.2.6) |
с |
с |
с |
2 |
|
Величину а можно представить в виде |
|
|
|
Ап |
. |
2п с . |
|
а =— к, |
|
----- , |
|
|
л> |
|
°> |
|
где Aq — длина волны излучения в вакууме на частоте ох С учётом (14.2.6) для бегущей волны получается выражение
Е ~ elkx =eik>xe~ax/2. |
(14.2.7) |
Отсюда следует, что интенсивность излучения ( I ~Е2 ) меняется по |
закону |
|
1 =10е - ах. |
(14.2.8) |
Это соотношение называется законом Бугера. Величина а называется
коэффициентом затухания.
Таким образом, показатель поглощения определяет скорость зату хания волны. Характерная длина, на которой происходит затухание, есть 1а ~\/а.
Строго говоря, наличие затухания ( к Ф 0) не означает, что имеет место поглощение излучения. Например, если диэлектрическая прони
цаемость |
-— действительная отрицательная величина: £<0, то |
к =4 - s |
Ф 0. Затухание волны по мере распространения в среде означа |
ет, что происходит отражение этой волны. Поглощение же имеет место только в том случае, если происходит передача энергии от электронов к веществу. А такое происходит, если сила трения F.lp = - 77V Ф 0, т.е. при
г) Ф 0. Но тогда Ьп£ф0. Именно это последнее условие указывает на
наличие поглощения.
На рис. 14.2.2 показан вид зависимостей показателей преломления и поглощения от частоты, п =п(со), к =к(а>).
Рис. 14.2.2. |
Частотные зависимости |
показателей преломления n(ai) |
и поглощения |
k(oJ). Указаны области |
нормальной (норм.) и аномальной |
(аном.) дисперсий |
|
Асимптотические значения показателя преломления следующие:
щ =и(0) =yjl +a)2 j 0Jq > 1, |
1 при <и->оо. |
(14.2.9) |
Из (14.2.4), (14.2.5) следует, что в случае слабого трения ( у « а>0)
показатель поглощения достигает максимального значения при а а &>0
и составляет
(14.2.10)
Для случая, когда диэлектрическая проницаемость мало отличается от единицы, можно получить явные выражения для показателей пре ломления и поглощения:
. (14.2.11)
Из этих формул нетрудно увидеть все основные особенности поведения п =п{со), к = гс(а>), отражённые на рис. 14.2.2.
Область частот, где показатель преломления возрастает:
dnjdco >0 |
или dnjdX < 0, |
(14.2.12) |
называется областью нормальной дисперсии, а область, где |
|
dn/dco < 0 |
или dnjdX >0, |
(14.2.13) |
— областью аномальной дисперсии. Аномальная дисперсия наблюдает ся, если частота электромагнитной волны попадает в окрестность резо нансной частоты колебаний электрона. Как видно из сопоставления за висимостей п(бо) и к(а>), в области аномальной дисперсии имеет место резонансное возрастание показателя поглощения. Это проявляется в резком возрастании поглощения излучения с со ~ со0, т.е. в появлении
полос поглощения в спектрах.
Рассмотрим частный случай, когда можно пренебречь потерями энергии электрона, у =0 . В этом случае энергия электрона не передаёт
ся среде, и излучение не поглощается. Пусть также частота волны вели ка по сравнению с собственной частотой электрона: ® . Тогда
(14.2.14)
Запишем закон дисперсии:
(14.2.15)
V У
Найдём фазовую и групповую скорости волны:
/
1 ^ 1 С2
4-
к’
kc2
J w p2 +k2c 2
В рассматриваемом случае между фазовой и групповой скоростями имеет место соотношение
Как видно из (14.2.16), v§ > c. Соответственно оказывается отр<с.
Последнее согласуется с тем фактом, что перенос энергии происходит со скоростями, не превышающими скорость света.
14.3. О коэффициентах отражения и прохождения при наличии дисперсии
Пусть электромагнитная волна распространяется в среде с диспер сией, т.е. диэлектрическая проницаемость есть комплексная функция частоты: е =£(а>). Запишем плоскую волну как
Ё =Ё0ехр[г (foe- г»г)],
Н =Н0 ехр[г (foe- wt)J .
Здесь шляпка над буквой указывает на то, что рассматривается ком плексное представление поля. Связь частоты и волнового вектора даёт ся формулой
.......... к2 = ~ г(а> ).
с
Интенсивность волны определяется через действительные значения век торов напряжённостей полей:
I =S = — ЕхН,
4ж
где усреднение производится по периоду колебаний полей.
Между комплексными амплитудами полей имеет место соотноше
ние
'JsE - -JJtH.
Будем далее считать / 1 |
=1. Тогда |
Н = 4вЁ. |
Запишем интенсив |
ность излучения |
I =—-Е х Н, используя комплексное представление |
волн: |
Ал |
|
|
|
|
|
Н +Н* Л |
|
|
1 =— |
Е +Е |
|
|
Ал |
|
|
|
Преобразуем это выражение: |
|
|
|
|
с -(ЁхН + ЁхН* +Ё* хН +Ё* хН*) = |
|
16л■\ |
|
|
) |
_ |
с |
|
|
|
|
- ( Е х Н * + Ё * х Н ) = — R e ( E x H * l |
16л-Л' |
' 8 л |
V |
) |
Здесь учтено, что слагаемые ЁхН и Ё*хН* содержат временную за
висимость ~ |
и при усреднении по времени обращаются в нуль, а в |
слагаемых ЁхН* |
и Ё*хН быстро осциллирующих множителей нет. |
Поскольку в плоской волне Е ± Н, то |
|
|
I = — R e ( M * ) = — R e ( y f e M * ) = — l i f |
= — Efc |
' 8 л |
' |
> 8л ' |
> 8л' I |
8л |
Здесь введены показатель преломления |
n =K e^fs |
и действительная |
амплитуда поля Е0 =^|i?| .
С учётом сказанного в полученных ранее формулах Френеля для амплитудных коэффициентов отражения и прохождения следует ис
пользовать величину вместо показателя преломления. Например, формулы для случая нормального падения волны на границу раздела
вакуума («j =1) с веществом (п 2 =я =л[Ё) имеют вид |
. |
1-л/ё |
, |
? |
|
г —------ |
^ |
|
|
1+л/7 |
|
1+-\/~£ |
|
Имея в виду, что 4 е =n +iK, получаем другое представление ампли тудных коэффициентов отражения и прохождения:
\ —n —i K . |
2 |
г = - |
l +n +irc |
1 +n +iK |
Для интенсивностей падающей, отражённой и прошедшей волн имеем
/пад’ /(лр 8я - ^ ’ /прош s J E”\ ‘
Соответственно коэффициенты отражения и прохождения (по интен сивности) принимают вид
_ I |
|2'._ |
1 |
2 |
(п -\ )2 + к |
2 |
|
|
1 |
|
(п +I)2 +к |
2 ’ |
„ Лфош |
I ,|2 |
4я |
4л |
|
£> = — ------ = И Д |
= -------------- = -------- :-------- |
7пад |
|
|
\1 + Щ |
(« + 1)2 + ^ |
Нетрудно проверить, что для этих коэффициентов выполняется закон сохранения энергии:
R + D =1.
Таким образом, в общем случае вследствие дисперсии диэлектри ческую проницаемость среды нельзя считать постоянной: она зависит от частоты колебаний поля. Кроме того, она является комплексной вели чиной, причём её мнимая часть учитывает поглощение энергии поля средой. Наконец, как показано в Приложении 1, диэлектрическая про ницаемость анизотропных сред является тензорной величиной.
Глава 15. СКИН-ЭФФЕКТ
15.1. Основное уравнение
Скин-эффект1— это протекание токов высокой частоты в тонком поверхностном слое проводника.
В проводнике плотность тока и напряжённость электрического по ля связаны законом Ома: j =ЛЕ. В общем случае при рассмотрении
нестационарных процессов следует, наряду с обычными токами, учиты вать и токи смещения:
4тг |
dt |
4к |
dt |
Если поле переменное: Е = Е0 cos cot, то |
|
icos _ . |
|
/. |
\ . |
Jcm =-^-Ео sm (У? =(jCM)0 sma t,
j = ЛЕ =ЛЕ0cos cot =j0 cos cot.
Для типичных металлов проводимость /1~1015-1017 с-1. Это означает,
что вплоть до частот порядка 1013 Гц выполняется неравенство cosf4ж Л (для металлов типичные значения диэлектрической прони цаемости составляют 10-100). Следовательно, в широком диапазоне частот оказывается (/см)0 ^ Jq, так что токи смещения не играют су щественной роли и могут не учитываться в расчетах. Заметим, что час тоты, отвечающие свету, составляют со/2л: ~1014—1015 Гц.
Будем далее считать, что
Л =еЕ, В =jjH, s =const, jd =const.
В этих предположениях запишем уравнения Максвелла для электромаг нитного поля в металле:
1 Термин происходит от англ. слова skin — кожа.
U SH |
' |
4яг. |
(1511) |
ro tE --— |
, г о Ш - - , , |
divE =0, |
divH =О. |
|
Здесь предполагается также, что в среде нет нескомпенсированных за
рядов, вследствие |
чего |
в формуле |
для теоремы Гаусса |
divD =sd ivE =4жр =0 |
в правой части стоит нуль. Используя закон |
Ома, запишем два первых уравнения: |
АтгЛ_ |
_ |
и ЗН |
rotE =---- — , rotH =---------Е. |
|
с |
dt |
с |
Исключим отсюда магнитное поле. Для этого применим операцию rot к обеим частям первого уравнения и учтём второе уравнение:
-п |
й 9 , |
и д ( 4яЛ -\ |
rot rotE =-------(rotH) =—-------------Е . |
|
с 8t |
с dt у с ) |
Левая часть равенства преобразуется с помощью тождества |
|
rotrotE =graddivE -АЕ. |
Поскольку divE =0, то мы приходим к следующему уравнению для поля Е:
15.2. Вытеснение переменного тока из объёма проводника
Пусть по проводнику течёт переменный ток J =J 0 coscot. Этот ток
поддерживается электрическим полем, которое в соответствии с зако ном Ома j =ЛЕ имеет ту же частоту. Найдём распределение тока по
объёму проводника. В общем случае решение зависит от формы про водника. Рассмотрим простейший случай, когда переменное электриче ское поле действует вдоль границы раздела вакуум-металл (рис. 15.2.1). Будем также считать, что ток и напряжённость поля зависят только от расстояния до поверхности металла, т.е. от координаты z.
В указанных предположениях (Е =E(z, t), j =j(z , t)) уравнение
(15.1.2) принимает вид
(15.2Л)
Запишем в комплексной форме условие, что частота колебаний поля есть or.
E (z,t) =EG(z)e-ia,t. |
|
(15.2.2) |
Рис. 15.2.1. Переменное |
Вакуум |
х |
|
|
электрическое поле |
|
|
поддерживает переменный |
Металл |
|
ток в металле |
|
Подстановка этого выражения в (15.2.1) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению Для Е0(х ):
|
(15.2.3) |
Введённая здесь величина к с учётом равенства |
может |
быть переписана в виде |
|
|
(15.2.4) |
Решение уравнения (15.2.3), остающееся ограниченным при |
z —> со, имеет вид |
|
Eq{z) =Е0(0)exp(-fc) =Е0(0)ехр —^-(1—г) . |
(15.2.5) |
Л |
|
Соответственно для плотности тока получаем следующее выражение: j{z, t) =AE(z, Г) =ЛЕ0(2) е -ш --
(15.2.6)
= /о (0) ехр
Таким образом, переменный ток (как и переменное поле) проника ет в проводник на глубину порядка Л, называемую толщиной скин-слоя.
Чем выше частота колебаний тока, тем на меньшую глубину он проникает в проводник. Аналогично, с ростом проводимости толщина скин-слоя убывает. В пределе идеального проводника переменный ток течёт в бесконечно узком слое вблизи поверхности.
Приведём характерные значения толщины скин-слоя. Для парамет ров, характерных для меди (Л =5,4-1017 с-1, /л =1), имеем:
1 й?Ф
ЕиддсЛ = — -— ■возникает электрическое поле Еинд, создающее ин-
с dt
к =50Гц => Л =0,7 см,
v =5-107 Гц => Л =0,7-1(Г3 см.
Оценку глубины Л проникновения поля в вещество можно полу чить следующим образом. Уравнение (15.1,2) совпадает по виду с урав нением диффузии
Ddt
скоэффициентом диффузии D =с 2/4яцЛ. Но это означает, что можно
воспользоваться выводами теории диффузии. Как известно, если на по верхности вещества действует источник, то за время г волна диффузии проникает в вещество на глубину / ~ *JDt. Если источник действует периодически с периодом Т, то в качестве времени г следует принять г~Г/2, поскольку знак источника меняется каждые полпериода. На конец, имея в виду, что Т =27tjсо , получаем
2 yj4A/jeo
Эта оценка совпадает (с точностью до числового множителя порядка единицы) с результатом (15.2.4).
15.3. Скин-эффект и явление электромагнитной индукции
Скин-эффект возникает благодаря электромагнитной индукции, действующей по правилу Ленца. Рассмотрим качественно это явление.
Пусть по длинному прямому проводнику течёт ток J (рис. 15.3.1а). Силовые линии магнитного поля представляют собой окружности с центром на оси проводника.
Предположим, что ток возрастает: dJjdt> 0. Тогда растёт созда
ваемое им магнитное поле В и магнитный поток через сечение провод ника — контур L(NN’M 'M ). По закону электромагнитной индукции
L
дукционный ток, препятствующий росту магнитного потока Ф. Этот ток совпадает по направлению с током J на периферии и противоположен на оси проводника (рис. 15.3.16). В результате полный ток на оси
