Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

при Uс =0 наклон кривой J a = J а(Uc ) был максимальным. Соответст­ венно окажется^ что крутизна сет очной характеристики, т.е. функция

S(Uc ) =d Ja/dUc , (17.9.4)

имеет максимум при Uc =0. График S(UC) для такого случая показан на рис. 17.9.5. Анодное напряжение Ua 0 называют рабочим, оно обес­

печивает максимум усиления. Этот случай будет подразумеваться в дальнейшем.

Рис. 17.9.5. Крутизна сеточнойхарактеристики

Система имеет положение равновесия Uc = 0, когда все токи рав­ ны нулю. Исследуем устойчивость этого состояния. На начальной ста­ дии, когда Uc » 0 , уравнение (17.9.8) упрощается:

371

dt dt

Данное уравнение выглядит точно так же, как уравнение колебаний ос­ циллятора с трением.

Пусть индуктивная связь анодной и сеточной цепей мала, т.е. MS0 < RC (или если М <0). Тогда / > 0, и из (17.9.9) следует, что

Таким образом, в рассматриваемых условиях случайные флуктуации напряжения на конденсаторе со временем затухают.

Пусть теперь связь контуров достаточно велика: MS0 > RC, т.е.

у< 0 . При этом, как видно из (17.9.10), амплитуда колебаний начинает

Поясним качественно поведение системы в случаях MSQ< RC и

MS0 > RC.

1)Пусть MS0 <RC, т.е. />0. Это реализуется, в частности, при

М<0 . Тогда случайное увеличение сеточного напряжения Uc приводит

кувеличению анодного тока (в соответствии с сеточной характеристи­ кой J a =J a(Uс ) ). В результате в сеточном контуре возникает ЭДС ин­

дукции £инд, которая отрицательна и создаёт в контуре ток, ведущий к

разряду конденсатора (уменьшению Uc). Таким образом, при случайном отклонении от равновесия система возвращается назад — состояние равновесия устойчиво.

2) Пусть теперь MS0 > RC, т.е. у < 0. Для этого необходимо

М > 0. Тогда случайное увеличение TJCприводит к росту анодного тока. При этом возникает ЭДС £тщ, которая создаёт ток в положительном

направлении, увеличивая наряжение на конденсаторе Uc. В свою оче­ редь, это вызывает дальнейший рост анодного тока J a и последующий рост Uc. В результате начинается раскачка колебаний, т.е. развивается неустойчивость. Ограничение раскачки связано с тем, что при больших значениях Uc анодный ток перестаёт расти, и устанавливаются равно­ весные колебания.

372

перепишем содержимое скобок в следующем виде:

так что для скорости изменения энергии Wполучается выражение

Отсюда следует, что при у > 0 энергия не возрастает: dW/dt <0. Про­ изводная dW/dt обращается в нуль при dUc jd t =0. Но разность по­ тенциалов Uc Ф 0 на конденсаторе вызовет ток в цепи и изменение за­ ряда (CUc) на конденсаторе. Поэтому состояние с Uс = const Ф (1 не

является состоянием равновесия, и из (17.9.13) следует, что система бу­

монотонно растёт. Однако при достаточно больших значениях напря­

жения ( Uc >д/-у/J3) знак производной меняется. Поскольку

и с = 4 ^ / Р Ф 0 не является состоянием равновесия, то в системе уста­ навливаются колебания, в ходе которых энергия системы периодически

где Т — период колебаний.

Для нахождения амплитуды колебаний напряжения Uc проинтег­ рируем почленно уравнение (17.9.13) по периоду колебаний:

При у <0 вблизи порога неустойчивости (т.е. при малых значениях |/| )

колебания можно приближённо представить как гармонические:

Uc (t) = Uc0 cos cot.

374

Подстановка этого выражения в (17.9.15) с учётом равенств

Здесь во втором равенстве учтены обозначения (17.9.7).

Таким образом, амплитуда колебаний монотонно растёт по мере удаления от порога возникновения неустойчивости.

Заметим, что в отсутствии омического сопротивления (R = 0),

окажется Uс = /S2- Это значит, что при М >0 автоколебания воз­

никают независимо от величины индуктивной связи анодной и сеточной цепей. Данный эффект связан с отсутствием потерь энергии и наличием только авторегулировки ввода и вывода энергии батареи ЭДС (находя­ щейся в анодной цепи).

375

Глава 18. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ

В электрических цепях существуют флуктуации тока и напряже­ ния, которые проявляются в различных измерениях. Флуктуации созда­ ют ложные сигналы на выходе усилителей электрических сигналов, ог­ раничивают чувствительность и помехоустойчивость электронных приборов, снижают стабильность их работы. Наличие флуктуаций оп­ ределяет предел чувствительности измерительных приборов: если пока­ зания прибора, обусловленные измеряемым эффектом, окажутся того же порядка, что и флуктуации, то установить происхождение показаний прибора — измеряемый сигнал или флуктуация — не представляется возможным (по крайней мере, в однократном измерении).

Возникновение флуктуаций связано с дискретностью зарядов, осуществляющих перенос тока, и со случайным характером движения этих зарядов.

Рассмотрим два наиболее типичных примера электрических флук­ туаций — дробовой и тепловой шумы.

18.1.Дробовой шум

18.1.1.Д р об о в о й ш ум

Дробовым шумом называются электрические флуктуации, обу­ словленные дискретностью зарядов, образующих токи, а также случай­ ным характером вылета и прибытия этих зарядов.

Сам термин «дробовой шум» происходит из аналогии с шумом, производимым падающими дробинками. Впервые явление дробового шума было теоретически предсказано В. Шоттки (W. Schottky) в 1918 г. Детально данное явление экспериментально исследовали Хелл, Уиль­ ямс и др. в 1924— 1926 годах. Схема их установки показана на рис. 18.1.1.

Возникновение дробового шума можно объяснить следующим об­ разом. Ток образуется зарядами (электронами), покидающими катод К. Импульсы тока, производимые отдельными зарядами, достигающими анода А, можно считать одинаковыми. Однако эти импульсы следуют случайным образом, т.е. моменты вылета зарядов есть случайные вели­

376

чины, которые можно считать статистически независимыми. Тогда на­ блюдаемый ток выглядит примерно так, как показано на рис. 18.1.2.

Усилитель Осциллограф

Рис. 18.1.1. Схема установки по наблюдению дробового шума. Поток электронов, испускаемый катодом лампы, попадает на анод и производит ток во внешней цепи

Аналитически выражение для тока можно записать следующим образом. Пусть i(t) — форма импульса, производимого отдельным за­

рядом. Обозначая момент прибытияу'-го электрона на анод как tj, по­

лучаем

j

В этом выражении моменты tj есть независимые случайные величины,

так что ток J ( t ) есть случайная величина.

ДО

Рис. 18.1.2. Зависимость тока от времени в одной случайной реализации

18.1.2. Д и сп ер си я т ока

Прежде всего, найдем такие статистические характеристики слу­ чайного тока (18.1.1), как среднее и дисперсия. Мы рассмотрим про­ стейшую модель явления, когда эффекты, связанные с конечностью времени пролета заряда от катода до анода, несущественны. Кроме того, мы будем пренебрегать возникновением объемного заряда вблизи като­ да, существенно влияющего на величину тока, приходящего на анод (данный фактор приводит, частности, к тому, что импульсы тока от от­ дельных зарядов перестают быть статистически независимыми).

377

Пусть ток изучается в течение времени Т. Разобьём этот промежу­ ток па Nинтервалов длительностью г каждый: T = Nt. Пусть событие А есть приход электрона1на анод на некотором шаге, а событие А — от­ сутствие электрона. Если промежуток времени тдостаточно мал, то на любом шаге иные исходы (кроме А и А) оказываются маловероятными. В частности, можно пренебречь вероятностью прихода на анод за малое время г двух или более электронов. В указанных обозначениях одну из реализаций случайного тока можно представить в виде

Если в этой последовательности событие А встречается п раз, то сред­ ний ток за время Т составит

гда вероятность одной из реализаций тока оказывается равной p nqN~n.

Имея в виду, что число различных реализаций тока, в которых на анод

Таким образом, мы пришли к биномиальному распределению. Для этого распределения среднее значение и дисперсия величины п даются формулами

Имея в виду выражение для тока (18.1.3), получаем значения среднего тока:

1 Момент прихода электрона на анод (событие А) будем отождествлять с мак­ симумом тока, производимым отдельным зарядом.

378

Ввиду произвольности моментов tj найденные коэффициенты являют­

ся случайными величинами, причем для их средних значений нетрудно найти

1У)=4 Л =0, * = 1, 2,...

(18ЛЛЗ)

ао у -

Соответственно для полного тока, производимого всеми прибывшими на анод электронами за время Т, находим:

Найдем теперь дисперсию тока. Прежде всего, согласно (18.1.9), (18.1.12) вклад /с-й фурье-компоненты в ток от /-го импульса дается фор­ мулой

4^ (?) = а)Р c°s(^®0 + b*jp sm(kcQt) =

Здесь учтено, что вследствие случайности моментов tj. имеет место ра­

венство cos2[kco(t —tj )] =1/2 .

Ввиду статистической независимости времени следования отдель­ ных импульсов оказывается

Поэтому для к-й фурье-компоненты полного тока имеем

Здесь использовано выражение для среднего тока J T = пе/Т.

В рассматриваемом сейчас случае конечного промежутка времени наблюдения Т фурье-спектр состоит из дискретного набора частот, как показано на рис. 18.1.3. Здесь мы перешли от круговых частот со к цик­

380