Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Функция £(*) действительная, так что ее фурье-компоненты удовлетво­

щим образом. Перейдем в определении К £(т) в (18.3.1) к разложению

£(t) и £{t +r) в интеграл Фурье:

Далее учтем, что вследствие однородности времени функция К£(т) не зависит от момента времени t. Это возможно, если подынтегральное выражение окажется отличным от нуля лишь при со2 = ~ а \. Следова­ тельно, необходимо положить

Подчеркнем, однако, что эту запись следует рассматривать только как

391

18.3.2. Ф орм улы Н ай кви ст а

Помимо выражения для корреляционной функции для ЭДС пред­ ставляют интерес аналогичные выражения для рассеиваемой мощности и флуктуаций тока в цепи в том случае, когда источник шумов — ак­ тивное сопротивленце— включён в цепь резонансного ХСЙ-контура.

Прежде всего учтём тот факт, что собственно флуктуационная ЭДС только свойствами активного сопротивления и не зависит от того, в какую именно цепь включено это сопротивление. Поэтому получен­ ное выше выражение для её корреляционной функции (18.3.11), (18.3.12) остаётся неизменным.

Далее учтём, что в LCR-контуре ток в цепи связан с ЭДС соотно­

где Z(eo) — импеданс цепи, который в случае последовательно соеди­ нённых индуктивности, ёмкости и активного сопротивления равен

—СО

Имея в виду соотношение (18.3.23), найдем корреляционную функцию для тока. Для этого подставим в (18.3.26) разложение J(t) в интеграл Фурье:

K j W = I j ^ ^ еХРN1 +г'®20+О ]J oj2 -

—00—00

Выразим здесь фурье-компоненты тока J ю через фурье-компоненты ЭДС с помощью формулы (18.3.24):

392

Здесь мы заменили переменные интегрирования а\ —>-со, сх>2 —>со' и

учли равенства £*ш =£_ш, Z (-co) =Z*(со). Вьшолнив интегрирование по

переменной со' с учётом равенства (18.3.23), получаем выражение для корреляционной функции тока:

Соответствующая спектральная функция S j(co) дается выражением

На основании равенства S£ (со) = 2kTR заключаем

Найдем также корреляционную функцию фурье-компонент тока:

Поскольку S£(co) =2k.TR, то получаем

AftkTR

(18.3.32)

\Z(a>)\

Соотношения

называются формулами Найквиста. Они показывают, что флуктуации определяются в первую очередь наличием активного сопротивления R в электрической цепи. Поскольку импеданс последовательного LCR- контура

393

на резонансной частоте со =со0 =l/yjbC принимает значение

Z(ojq) =R, то из (18.3.30) следует S j(o)) =2kT/R.

18.3.3. Э н ер ги я и м ощ н ост ь

Получим выражение для средней мощности, диссипируемой в

Поскольку £т£а, =4ttkTRS(w —a>'), то после интегрирования по со' по­ следнее равенство принимает вид

Подставим это вьфажение в (18.3.36) и учтем, что интегрирование про­ изводится по всем частотам в диапазоне (-оо, +оо). Имея в виду равен­

ство Z(—co) =Z*(co), получим

«■ ±\Z{w)f

При Ь ф 0 получившийся интеграл сходится абсолютно. Вычисляя его, получим

394

Данный результат является вполне естественным. В самом деле, тепловой шум является белым — он равномерно распределен по всему спектру частот. Резонансный же контур выделяет полосу частот шири­ ной порядка Асо = 2 у =R/L. При Z =R спектральная мощность собст­

венно теплового шума согласно (18.3.37) равна АР =Рш^ — =^-А со. 2л л

Полагая Асо ~ 2у =R/L, получим, что рассеиваемая мощность в конту­ ре составляет АР ~ кТ R/L — в согласии с результатом точного расчета

(18.3.39).

Найдём, пользуясь формулами Найквиста, среднюю энергию, запа­ саемую в индуктивности и конденсаторе.

Рассмотрим сначала Лй-контур (в котором ёмкость отсутствует).

Этот результат был известен заранее — на основании теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы, использованной при установлении вида корреляционной функции К £(т).

Точно так же легко найти среднюю энергию Uc , запасаемую в конденсаторе, включенном в ЛС-контур. Действительно, Uс —q2jlC .

Корреляционную же функцию для заряда q можно найти, имея в виду очевидное соотношение между фурье-компонентами тока и заряда:

Поэтому в соответствии с (18.3.30) оказывается

395

сматривая полный LCR-контур (а не только частные случаи LR- или RC- контура) и используя выражение (18.3.38) для импеданса.

396

Приложение 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

ВАНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

П.1.1. Двойное лучепреломление

Вданном приложении кратко рассмотрим особенности распро­ странения электромагнитных волн в анизотропных средах — кристал­ лах, обладающих выделенными направлениями.

При падении света на некоторые кристаллы (такие, как слюда, гипс, исландский шпат) луч расщепляется на два луча. Один из них, следующий обычным законам преломления, называется обыкновенным

(обозначается символом «о» =ordinary), а второй — необыкновенным (обозначается символом «е» =extraordinary) (рис. П.1.1).

Явление расщепления одного луча на два, различающихся по свойствам, называется двойным лучепреломлением.

Рис. П.1.1. Эффект двойного лучепреломления: расщепление луча на обыкновенный (о)

инеобыкновенный (е) лучи

Вкристаллах существуют оси, вдоль которых обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются вместе, не разделяясь и с оди­ наковой скоростью. В общем случае таких осей две. Соответствующие направления называются оптическими осями кристалла.

Внекоторых кристаллах оптические оси совпадают, так что фак­ тически кристалл обладает единственной оптической осью. В этом слу­

чае кристалл называется одноосным. , В кристаллах с несовпадающими оптическими осями обыкновен­

ного луча нет, все лучи являются необыкновенными.

Для обыкновенного луча показатель преломления не. зависит от направления распространения, а для необыкновенного — зависит.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется

главной плоскостью (или главным сечением ) кристалла. Во многих слу­ чаях удобно выбирать главную плоскость так, чтобы она содержала не только оптическую ось, но и волновой вектор к (т.е. нормаль к фронту волны).

На рис. П.1.2 показана диаграмма показателей преломления для обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей в одноосном кристалле (соответствующие формулы будут получены в следующем разделе). На этой диаграмме направление луча задаётся вектором к. Показатель пре-

397

ломления для обыкновенного луча равен радиусу окружности, а для необыкновенного луча — расстоянию от начала координат до точки пересечения луча с эллицсом. Эта диаграмма называется опт ической индикатрисой, или эллипсом индексов кристалла.

к

отрицат.

б)

z

Рис. П.1:2. Диаграмма показателей преломления (оптическая индикатриса) для обыкновенного (о) и необыкновенного (е) лучей в случае положительного (а) и отрицательного (б) кристаллов; в — поляризация (ориентация вектора напря­ жённости электрического поля Е по отношению' к оси кристалла z) обыкновен­ ного и необыкновенного лучей

Обыкновенный и необыкновенный лучи отличаются поляризаци­ ей: в,.обыкновенном луче вектор напряжённости Е перпендикулярен главной плоскости, а в необыкновенном луче — лежит в главной плос­ кости (хотя и не перпендикулярно волновому вектору). Поэтому при изменении направления луча угол между оптической осью кристалла и вектором Е в случае обыкновенного луча остаётся неизменным, равным я/2 ,, и меняется в случае необы кновенного луча (рис. П.1.2в). Соответ­

ственно меняются показатель преломления и скорость волны:

С

для обыкновенного луча: п =па =const, иа =— ,

По

с

для необыкновенного луча: п =п(в), ое =----- .

п (в)

В частности, при 0 - 0

398

и(0) =ио, ие =— =v0 no

(т.е. обыкновенный и необыкновенный лучи не разделяются и идут вме­ сте с одинаковыми скоростями). Если же 9 = яг/2, то

п Ы 2 ) =пе , и е =— Фи0

Пе

(оба луча идут вместе, но с разными скоростями).

Значение показателя преломления для необыкновенного луча в

Соответственно скорость необыкновенного луча в зависимости от на­ правления распространения определяется соотношением

о2 (в) = ~ — =v 2sin2 в +и 2cos2 в.

п(0)

Кристалл называется положительным, если

пе >па, ve <va.

В противоположном случае:

пе <па, ие >и0

кристалл назьшается отрицательным.

Эффект двойного лучепреломления обусловлен тем, что скорость волны и =с/п тем меньше, чем больше показатель преломления. По­

этому, например, в положительном кристалле наибольшая скорость дос­ тигается в направлении, близком к направлению оси кристалла, куда и отклоняется необыкновенный луч. Обыкновенный же луч следует обычным законам преломления и при нормальном падении на поверх­ ность кристалла распространяется без отклонения.

С формальной точки зрения пространственное разделение обык­ новенного и необыкновенного лучей связано с тем, что в случае Не­ обыкновенной волны (рис. П.1.3) направления волнового вектора к (т.ё.

нормали к волновому фронту) и вектора Пойнтинга S =-^-[E,Hl, в о -

4я

обще говоря, не совпадают. Для обыкновенной же волны эти два векто­ ра параллельны.

399

П. 1.2. Д и эл ек т р и ч еск а я п р он и ц а ем ост ь

В общем случае анизотропной среды вектор поляризации (ди­ польный момент единицы объёма) среды Р не параллелен приложенно­ му полю. Соответственно векторы Ей D=Е+4жР не параллельны, так что можно записать:

z zx7.\ x ^zybZyILy-^ ^1 t'ZZ*’-'77^7-JZ'

В более компактной тензорной записи эти равенства имеют вид

D= £E, или Dik= sikEk.

В последней формуле индексы г, к пробегают значения, причём предпо­ лагается суммирование по индексу к:

i,k =x ,y ,z .

Рис. П.1.3. Отклонение необыкновенного луча при нормальном падении света на пластину, изготовленную из отрицательного (слева) и положительного (справа) кристаллов

Набор девяти величин e ik образует тензор диэлектрической про-

ницаембсти, который является симметричным, т.е. s ik =s u . Эти вели-

чины зависят от выбора системы координат, и существует выделенная система координат, в которой рассматриваемый тензор имеет диаго­ нальный вид:

Соответствующие координатные оси называются главными. Если

400