VM_pidr

Різниця між матрицею повних витрат B−1 і матрицею прямих витрат A визначає матрицю непрямих (посередницьких) витрат C :

Таким чином, елементи сij матриці C і є коефіцієнтами не-

прямих (посередницьких) витрат.

Задача 2. (задача знаходження витрат сировини, палива та трудових ресурсів.) Використовуючи вихідні дані і результати обчислень попередньої задачі 1, потрібно знайти:

1.Сумарні витрати сировини, палива і трудових ресурсів для виконання програми виробництва.

2.Коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі.

3.Повні витрати сировини, палива і праці окремими галузями

ігосподарством в цілому.

4.Внутрівиробничі витрати галузей.

5.Внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції.

При цьому відомі витратні норми сировини і палива на виробництво одиниці продукції кожної галузі, трудомісткість в людиногодинах на одиницю продукції, їх вартість і представлені таблицею:

81

Розв’язування. Запишемо матрицю D , складену із норм витрат сировини, палива та праці, а також матрицю-рядок P вартос-

Запишемо також результати обчислень попередньої задачі:

де X - матриця-стовпець плану валового випуску продукції;

B−1 - матриця коефіцієнтів повних витрат.

1) Перемноживши матрицю D норм витрат сировини, палива та праці і матрицю-стовпець плану валового випуску продукції X , одержимо матрицю-стовпець сумарних витрат сировини, палива і трудових ресурсів:

3951

≈7720 .21463

Отже, для виконання програми виробництва потрібно витратити 3951 одиниць сировини, 7720 одиниць палива і 21463 робочих людино-годин.

2) Добуток матриці D норм витрат сировини, палива та праці

і матриці коефіцієнтів повних витрат B−1 визначає матрицю коефіцієнтів прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі:

82

Тут елементи першого стовпця означають кількість витрат сировини, другого – палива і третього – робочих людино-годин, які потрібні для виготовлення одиниці продукції 1-ї, 2-ї і 3-ї галузей.

3) Добутки матриць-стовпців норм витрат сировини, палива та праці і планового випуску продукції виражають витрати сировини, палива та праці кожного із трьох галузей:

Таким чином, матриця повних витрат сировини, палива та праці по трьох галузях має вигляд:

4) Перемноживши матрицю-рядок вартостей сировини, палива та праці на матрицю повних витрат цих показників одержимо мат- рицю-рядок вартостей витрат кожної із трьох галузей:

Це означає, що вартість витрат першої галузі становить 14778 одиниць, другої – 27339 і третьої – 35797,9.

5) Добуток матриці-рядка вартостей P на матрицю прямих витрат V сировини, палива та праці дає внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції:

83

Задача 3. Для виготовлення дитячих іграшок використовуються відходи полотняних матеріалів ( М1 , М2 , М3 ) різних розмі-

рів. Обчислити кількість матеріалу, який витрачається при розкрої трьома способами, якщо кількість заготовок одержаних з кожного матеріалу, а також кількість необхідних заготовок представлена таблицею:

( М1 , М2 , М3 ) , який використовується для розкрою відповідно пе-

ршим, другим і третім способами, то для виконання поставленої мети, потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь:

x1 + 2 x2 + 3x3 = 126 ,2 x1 + 3x2 + 2 x3 = 134 ,

4 x1 + 3x2 + 3x3 = 189.

Розв’яжемо її методом Гаусса. Виключимо невідому величину x1 із другого і третього рівнянь. Для цього помножимо перше

рівняння на “-2”, “-4” і додамо відповідно до другого і третього рівнянь:

− − = −

5 x2 9 x3 315.

Виключимо невідому x2 із третього рівняння. При цьому помножимо друге рівняння на “5” і додамо до третього рівняння:

Звідси, розв’язок системи лінійних рівнянь буде х1=15; х2=18; х3=25. Отже, при певних методах розкрою матеріалу, потрібно мати 15 шт. матеріалу М1, 18 шт. матеріалу М2 і 25 шт. матеріалу М3

84

Задача 4. Для виготовлення чотирьох видів продукції P1, P2, P3,P4 використовуються три види сировини S1, S2, S3. Норми витрат і запаси сировини наведені в таблиці:

Визначити кількість продукції P1, P2, P3, P4, якщо ресурси повністю вичерпані.

Розв’язування. Позначимо через x1, x2, x3, x4 кількість одиниць продукції P1, P2, P3, P4. Умову нашої задачі можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь:

Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса в табличній формі. В якості першої таблиці запишемо коефіцієнти, які стоять біля невідомих і стовпчик з вільних членів. Стовпець ( Σ ) є контрольним,

85

Таблиця 1. За ключовий елемент взято число “1” в третьому рядку і першому стовпці. Для утворення нулів в ключовому стовпці на місці чисел “2”, “3”, помножимо елементи ключового рядка на “-2” і “-3”, і додамо відповідно до елементів другого і першого рядків. Цим виключимо невідому x1 в першому і другому рівняннях.

Таблиця 2. В якості ключового елемента візьмемо число “1” (другий рядок і другий стовпець). Помножимо елементи другого рядка на числа “4” і“-2” і додамо до елементів першого і третього рядків. При цьому відбувся процес виключення невідомої x2 в

першому і третьому рівняннях.

Таблиця 3. За ключовий елемент візьмемо число “-12”. Поділимо на нього всі елементи першого рядка. Запишемо одержані числа елементами першого рядка наступної таблиці.

Таблиця 4. Помножимо елементи першого рядка на “-6” і “2”і додамо до елементів третього і другого рядків таблиці 3.

Результати обчислень запишемо другим і третім рядком цієї таблиці. Одержані нулі третього стовпця виражають виключення невідомої x3 із другого і третього рівнянь.

Останній таблиці відповідає система лінійних рівнянь

x1 −3x4 = 2.

Вона сумісна за теоремою Кронекера-Капеллі, оскільки ранг основної і розширеної матриць рівні 3. Так як це число (3) менше, ніж кількість невідомих (4), то система лінійних рівнянь має безліч розв’язків. Невідомі x1 , x2 , x3 є базисними, оскільки визначник

складений із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих, відмінний від нуля.

86

87

Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Аналітична геометрія є розділ математики, яка вивчає властивості геометричних фігур алгебраїчними методами. Уже в середній школі до геометрії застосовують алгебру при розв’язуванні багатьох питань. Ще в XYII ст. французький математик Рене Декарт розробив метод координат, який є апаратом аналітичної геометрії. Цей метод дає можливість визначити положення точки на прямій, на площині, на поверхні, а форму ліній і поверхонь задати за допомогою рівнянь, які пов’язують координати їх точок.

§1. Метод координат на прямій та його застосування

Розглянемо горизонтальну пряму лінію l на площині (мал.1). На цій прямій l візьмемо нерухому О А1 l точку O, що називається початком відліку. Ця точка розбила пряму на два взаємно протилежні на-

прямки: додатній – вправо і від’ємний – вліво. Взявши деяку одиницю масштабу, вправо від точки Oвідкладаємо додатні числа, а вліво

– від’ємні числа. Ці числа відповідають деяким точкам на прямій l і навпаки, отже між точками прямої l та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність. Таку пряму l будемо називати числовою віссю Ox. Точці O, що вважається початком відліку , відповідає число нуль.

Таким чином, ми побудували систему координат на прямій. Візьмемо деяку точку А на числовій осі. Цій точці відповідає деяке число х, яке називається координатою точки А. Це записується А(х).

Будемо вважати відрізокОА1 , що відкладений праворуч від точки O за додатній, а відрізокОА2 відкладений ліворуч від точки О- за від’ємний (мал.1).

Відрізок, у якого A початок, а В кінець, позначають АВ і на-

зивають напрямленим відрізком. Величину відрізка AB будемо позначати символом АВ.

Означення. Відрізки, які характеризуються не тільки своєю довжиною, але й напрямом називаються напрямленими відрізками.

88

Величина напрямленого відрізка є його довжина, взята з пев-

Висновок. Якщо на прямій в деякій системі координат задано дві точки A1 ( x1 ) і A2 ( x2 ) ,тоді величина відрізка A1 A2 знаходиться

із рівності (2.1), а віддаль (довжина) між цими точками за формулою

(2.2).

Приклад 1. Задано точки A( 2 ), B( −7 ), C( −3 ) .

Знайти величину відрізків АВ , СВ .

89

90