Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VM_pidr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4921 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

4.4. Допоміжні твердження

ТЕОРЕМА 3. Якщо x1 x2 ... xn = 1 , де xi > 0 , i = 1,2,...,n,

то ∑ xi ≥ n , причому рівність має місце тільки тоді, коли

i =1

x1 = x2 = ... = xn = 1 .

ТЕОРЕМА 4. Середнє геометричне n додатніх чисел xi , i = 1,2,...,n, менше або дорівнює їх середньому арифметичному,

тобто n x1 x2 ...xn

≤

x1 + x2 + ...+ xn

, причому

рівність справ-

джується тільки тоді, коли x1 = x2 = ... = xn .

Доведення. Позначивши через q = n x1 x2 .. xn за теоремою 3

з рівності

...

= 1 випливає нерівність

...+

≥ n або q ≤

x1 + x2 + ...+ xn

, причому рів-

ність має місце тільки тоді, коли x1 = x2 = ... = xn . Теорема доведена.

4.5. Число e. Друга визначна границя

Для розкриття невизначеності (1 ∞ ) використовують таке твердження:

ТЕОРЕМА 5. Послідовність yn	= ( 1 +	1	)n , n N має

границю.		n

Доведення. Використовуючи твердження теореми 4, маємо

1 + ( 1 +

) n

n+1 1 ( 1 +

)n <

= 1 +

n + 1

Звідси

n+1

( 1 +

)

< ( 1

)

n + 1

тобто послідовність

= ( 1 +

)n , n N , монотонно зростає.

201

Аналогічно для послідовностіzn

= ( 1 −

)n , n N , маємо

1 + ( 1 −

) n

n+ 1 1 ( 1 −

)n <

= 1 −

n + 1

n+ 1

Звідси ( 1 −

) < ( 1

−

)

n + 1

Таким чином,

послідовність

= ( 1 −

)n ,

N ,

також

монотонно зростає.

Оскільки

n+ 1

n + 1

n+ 1

− ( n+

1 )

− n+ 1

( 1 +

)

= (

)

= (

)

= ( 1 −

)

n + 1

zn+ 1

то послідовність xn

= ( 1 +

)n+ 1 , n N , спадає.

Тому yn = ( 1 +

)n < ( 1 +

)n+ 1 ≤ x1 = 4, n N .

Тобто (yn)- обмежена послідовність і вище було показано , що

вона зростає.

Отже, послідовність yn = ( 1 +

)n має границю. Цю границю

в математиці позначають буквою e , тобто lim ( 1 +

)n = e .

n→ ∞

Таку границю називають другою визначеною границею для послідовностей. Доведено, що число e – ірраціональне число і його розклад в десятковий дріб з деякою точністю має вигляд

e =2,718281828459045…

Логарифм числа x>0 за основою e називається натуральним логарифмом і позначається символом ln x. Оскільки за означенням

логарифма правильна рівність x = eln x , то прологарифмувавши її за основою 10, маємо lg x = М ln x, де M = lg e = 0,434294.... Число

M називають модулем переходу від натурального логарифма до логарифма десяткового.

Далі доведемо існування границі функції f ( x ) = ( 1 + x )x в

202

точці x = 0 . Цю границю називають другою визначною границею для власної функції.

ТЕОРЕМА 6. Правильна рівність lim( 1 + x )

= e.

x→0

Доведення. Спочатку доведемо рівність

lim ( 1 + x ) x = e.

x→0+0

Можемо вважати 0 < x ≤ 1 . Для кожного x (0,1] існує нату-

ральне число n = n( x ) таке, що

< x ≤

n + 1

Звідси 1 +

< 1 + x ≤ 1 +

n +

Оскільки n + 1 >

≥ n , то

1 n+ 1

( 1 +

) ≤

( 1 +

)

< ( 1 + x )

≤

( 1 +

)

< ( 1 +

)

n + 1

n+ 1

( 1 + n + 1 )

< ( 1 +

)n ( 1 +

або

< ( 1 + x ) x

1 +

+ 1

Якщо x → 0 + 0 , то n → ∞ . Крайні частини останніх нерівно-

стей мають границі при n → ∞ , що дорівнюють числу e .

Звідси за теоремою 6 §3 і функція ( 1 + x )

при x → 0 + 0

матиме праву границю, що дорівнює e .

Покажемо, що і ліва границя функції ( 1 + x )

в точці x = 0

дорівнює числу e . Введемо нову змінну

y , зв’язану із змінною x

рівністю y = −

+ x

Зазначивши, що x = −

, дістанемо

1 + y

−

1+ y

− 1−

y = ( 1 + y ) y ( 1 + y ).

( 1 + x )x = ( 1 −

)

= (

)

+ y

203

Якщо x прямує до нуля зліва, то y = −	x	прямує до нуля

1	+ x

справа. Звідси, враховуючи, що згідно доведеного вище твердження

		1
lim	( 1 + y ) y			= e, маємо
у→0 + 0
	1			1		( 1 + y )) = e 1 = e.
lim	( 1 + x )			= lim (( 1 + y )	y
			x
x→0 − 0				y→0 + 0

За теоремою 6 §3 випливає справедливість рівності

lim( 1 + x )x = e. Теорема 5 доведена.

x→0

Вправа. Виходячи з неперервності елементарних функцій a x і loga x і, використовуючи другу визначну границю, довести справедливість таких рівностей:

a )lim

loga ( 1

+ x )

= loga e;

б ) lim

ln( 1 + x )

= 1;

x→0

в) lim

a x

−

= lna;

г )lim

e x − 1

= 1;

x→0

д)lim

( 1 + x )α − 1

= α ;

е )lim

( 1 + x )α − 1

= α .

x→0

Примітка.

Другу

визначну

границю

для

функції

f ( x ) = ( 1 +

при x → ∞ записують так: lim ( 1 +

)x = e.

x→∞

Приклад 1. Знайти lim = ( 1 +

)− 2n .

n→ ∞

− 2n

−10

− 10

Розв’язування. lim = ( 1 +

= ( lim ( 1 +

= e

)

n→∞

4.6. Порівняння нескінчено малих величин

Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку (a,b) крім, можливо, точки х0 (a,b).

Означення1. Функція називається нескінчено малою в точці х0, якщо існує границя функції в даній точці і ця границя дорівнює нулю.

204

Нескінчено малу функцію в точці ще називають нескінчено малою величиною.

Приклад 1. Нехай y = ( 1 − x )n . Тоді lim( 1 − x )n = 0.

x→ 1

Отже, функція y = ( 1 − x )n в точці x = 1 є нескінчено малою.

Приклад 2. Нехай y = sin x . Тоді lim sin x = 0. Отже, задана

x→0

функція y = sin x в точці x = 0 є нескінченно малою.

Якщо x0 - внутрішня точка інтервалу (а,b), то, використа-

вши означення границі функції в точці, нескінчену малу функцію можна означити так.

Означення 2. Функція y = f ( x ) називається нескінчено малою в точці x0 , якщо для будь-якого числа ε > 0 існує число δ > 0 таке, що для всіх x (а,b) x ≠ x0 , які задовольняють нерівність x − x0 < δ , виконується нерівність f ( x ) < ε .

Аналогічно можна означити нескінчено малу функцію на нескінченості.

Означення 3. Функція y = f ( x ) називається нескінченно малою на нескінченності ( x → ∞ ), якщо для будь-якого числа

ε > 0 існує таке число

M > 0 , що для всіх

x ,

які задовольняють

нерівність

> M , виконується нерівність

f ( x )

< ε .

Приклад 3. Розглянемо функцію

y =

. Тоді lim

= 0.

x→∞ x2

Отже, функція y =

на нескінченності

( x → ∞ ) є нескінчено ма-

лою.

Нескінченно малі функції аналогічно до нескінчено малих числових послідовностей володіють аналогічними властивостями.

Примітка 1. Іноді доводиться розглядати не одну, а кілька нескінченно малих функцій у даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення, і залежно від того як поводить себе таке відношення поблизу даної точки, нескінченно малим величинам дають певну назву.

Подамо ряд означень.

Нехай α( x ) і β( x ) є нескінченно малі функції в точці

205

x0 (а,b) ( x0 може бути і нескінченно віддаленою точкою).

Означення 4. Якщо lim	α( x ) = 0 , то α( x ) називається
x→ x0	β( x )

нескінченно малою вищого порядку малості, ніж β( x ) . При цьому β( x ) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, ніж α( x ).

Приклад 4. Нехай α( x ) = ( x − 1 )2 , β( x ) = x − 1. Тоді α( x )

і β( x ) в точці x = 1 є нескінченно малі функції. Знайдемо

lim

α( x ) = lim( x − 1 ) = 0.

x→1

β( x ) x→1

Отже, в цьому випадку

α( x )є нескінчено мала вищого по-

рядку, ніж β( x ) .

Приклад 5. Нехай α( x ) =

β( x )

x3 + 1

x2 + 1

Тоді lim α( x ) = 0,

lim β( x ) = 0,

x→∞

тобто α( x ) і β( x )

на нескінченності є нескінченно малі функції.

Знайдемо

lim

α( x )

= lim

x2 + 1

= 0.

β( x )

x→ ∞

x→ ∞ x3 +

Отже, функція α( x ) =

є нескінченно мала вищого по-

3 + 1

рядку, ніж β( x ) =

при x → ∞ або, що те саме,

β( x ) =

2 + 1

+ 1

є нескінчено мала нищого порядку, ніж α( x ) =

при x → ∞ .

x3 + 1

α( x ) = C ,

Означення 5. Якщо

lim

де С- відмінне від нуля

x→ x0 β( x )

число, то α( x ) і β( x ) в точці

x0 називаються нескінчено ма-

лими однакового порядку малості.

Якщо при цьому С = 1 ,

то α( x ) і β( x )

в точці x0 назива-

ються еквівалентними і записують α( x )~ β( x ) (при x → x0 ).

206

Приклад 6. Нехай α( x ) = tgx , а β( x ) = x.Тоді α( x ) і β( x )

в точці x = 0 є нескінченно малі функції. Оскільки

lim	tgx		= lim(		sin x		1	) = 1, то tgx ~ x (при x → 0 ) .

x→0 x			x→0		x		cos x
Означення 6. Якщо α( x ) і β( x ) є нескінченно малі функції
в точці x0 і			lim	α( x )		= C ,де k - довільне число, а число C ≠ 0 ,

		x → x0 ( β( x ))k

то функція α( x ) називається нескінченно малою порядку k по відношенню до β( x ) .

Приклад 7. Нехай α( x ) = 1 − сosx , а β( x ) = x . Оскільки

α( x )

1 − cos x

2 sin

2 x

sin

lim

= lim

≠ 0,

x→0 ( β( x ))2

x→0 x2

x→0

x→0 2

то функція α( x ) = 1 − сosx у точці x = 0 є нескінченно малою дру-

гого порядку по відношенню до x.

§5. Неперервність функції

5.1. Означення неперервності функції в точці і на відрізку

Означення 1. Нехай функція f(x)	визначена	в околі
( x0 − ε , x0 + ε ) точки. Функція y = f ( x )	називається	непере-

рвною в точці x0, якщо границя функції f(x) при x → x0 існує і до-

рівнює значенню в точці x0	, тобто lim f ( x ) = f ( x0 ).
	x→ x0

Це означення вимагає виконання таких трьох умов:

1. f(x) повинна бути визначена в деякому околі точки x0.

2. Існує скінчена границя lim f ( x ).

x→ x0

3. Ця границя повинна дорівнювати значенню функції . f(x0).

Означення 2.	Нехай функція f(x)	визначена в околі
( x0 − ε , x0 + ε ) точки	x0 . Функція y = f ( x )	називається непе–

рервною в точці x0., якщо для довільного як завгодно малого до-

датного ε , можна вказати			таке δ > 0 , що з нерівності
	x − x0	< δ випливає нерівність	f ( x ) − f ( x0 )	< ε .
	x − x0	< δ випливає нерівність	f ( x ) − f ( x0 )	< ε .

207

Якщо вираз x = x − x0 назвати приростом аргументу x , а вираз y = f ( x + x ) − f ( x0 ) - приростом функції, то на основі означення 1 можна формулювати інше означення неперервності фу-

нкції	f ( x ) в точці x0 .
Означення				3.	Нехай функція		f ( x )	визначена	в околі
( x0 − ε , x0 + ε ) точки x0 . Функція y = f ( x )								є неперервною в то-
чці x0 , якщо в цій точці нескінчено малому приросту									x аргу-
менту		x	відповідає			нескінчено	малий	приріст	функції
y =	f ( x0 ) , тобто lim					y = 0.
					x→0
Означення 4. Нехай функція f ( x ) визначена на проміжку
[x0 ,b]. Функція				y = f ( x )		називається неперервною зліва в точці
x0 , якщо		lim		f ( x ) = f ( x0 ).
		x→ x0 − 0
Означення 5. Нехай функція f ( x ) визначена на проміжку
[a, x0 ].. Функція				y = f ( x ) називається неперервною справа в то-
чці x0	, якщо		lim		f ( x ) = f ( x0 ) .
			x→ x0 +0
Означення 6. Функція y = f ( x )							називається неперервною

на відрізку [a,b]., якщо вона неперервна в кожній точці інтер-

валу ( a,b ). Неперервна зліва в точці b lim f ( x ) = f ( b ) і непе-

x→ b− 0

рервна справа в точці a lim f ( x ) = f ( a ) .

x→a+0

Примітка. Сума, різниця, добуток декількох неперервних в деякій точці функцій є неперервні в цій точці. Якщо знаменник не перетворюється в нуль у точці неперервності, то частка двох неперервних в цій точці функцій є неперервною функцією.

5.2. Класифікація точок розриву функції

Означення 7. Якщо в точці x0 функція f ( x ) не є неперервною, то точка x0 називається точкою розриву функції.

Виходячи з означення 1 неперервності функції y = f ( x ) в точці x0 , точка x0 буде точкою розриву функції, якщо не викону-

ється одна з трьох умов:

1) у точці x0 функція f ( x ) невизначена;

208

2) у точці x0	не існує границі lim f ( x );
	x→ x0

3) існує границя lim f ( x ), але вона не дорівнює значенню

x→ x0

функції f ( x0 ) .
	Існують такі типи розривів :
	1) Розрив 1-го роду. Якщо існу-
ють скінчені				ліва і	права границі
( lim		f ( x ) і		lim	f ( x ) ), але вони
x→ x0 − 0				x→ x0 + 0
не рівні між собою.
	Наприклад, функція
	x −	2	−	1, x < 2,
y =			=		має при
	x −	2
			1, x > 2

x = 2 розрив 1-го роду (див. мал.)

тому, що існують скінчені границі lim

x→ 2− 0

		у
1
1		2	х
		2	х

	-1
y = −1,		lim y = 1, але ці
		x→ 2+ 0

границі не рівні між собою.

2) Якщо лівостороння і правостороння гра-

ниці	lim f ( x ) = f ( x0 − 0 )	і
	x→ x0 − 0
lim	f ( x ) = f ( x0 + 0 ) в точці x0 рівні між со-
x→ x0 + 0

бою, тобто	f ( x0 − 0 ) = f ( x0 + 0 ) , але не дорів-
нюють значенню функції в точці			x0 ,	тобто
f ( x0 − 0 ) = f ( x0 + 0 ) ≠ f ( x0 ) .
Наприклад, функція		x2	, x ≠ 0,
Наприклад, функція		f ( x ) =
		2, x = 0
має в точці	x = 0 розрив,	тому що	lim	f ( x ) =
			x→0 −0

-1

1 х

lim = 0, але ці

x→0 + 0

границі не дорівнюють значенню				f ( 0 ) = 2 в точці
Розрив 2-го роду. Якщо лівостороння або
правостороння	границі функції			f ( x )		у точці
x0 дорівнюють	± ∞ ,	то	кажуть,		що	функція
f ( x ) має в точці x0		розрив другого роду.
Наприклад, функція			f ( x ) =		2	має в то-
					x − 1

x = 0.

у
	2
-1О	1	2	х
	-1
-2

209

чці x = 1 розрив 2-го роду, бо

lim f ( x ) = −∞ ,

x→1−0

lim f ( x ) = +∞ .

x→1+ 0

§6. Властивості неперервних на відрізку функцій

6.1. Обмежені функції

Функції, неперервні на відрізку, мають ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не мають функції, неперервні, наприклад, в інтервалі. Ці властивості ми й розглянемо далі.

ТЕОРЕМА 1 (Вейєрштрасса). Неперервна функція на відрізку обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі два числа m іM , що m ≤ f ( x ) ≤ M для всіх x [a,b].

Доведення. Доводячи за допомогою методу міркування від супротивного, припустимо, що функція f ( x ) , неперервна на відрізку

[a,b], не обмежена на цьому відрізку. Тому для кожного натурального n знайдеться точка xn [a,b] така, що f ( x ) > n, n = 1,2,...

Послідовність ( xn ) обмежена. За відповідною теоремою ма-

тематичного аналізу з цієї послідовності можна виділити збіжну послідовність ( xnk ) , xnk → x0 ( k → ∞ ) і точка x0 належить

обов’язково відрізку [a ,b], тому в ній функція f ( x ) неперервна, якщо x0 (a,b) , неперервна справа, якщо x0 = a і неперервна зліва, якщо x0 = b. Отже, ми можемо записати такі два твердження:


	f ( xnk	)		> nk , k = 1,2,...,		і

	f ( xnk	) → f ( x0 ), k → ∞ .
Звідси			з першої		нерівності		випливає, що послідовність
( f ( xnk )) необмежена,					а з другого твердження випливає, що вона,

будучи збіжною, обмежена. Суперечність, до якої ми дійшли, доводить теорему 1.

6.2. Існування найменшого і найбільшого значення

Нехай функція f ( x ) визначена на множині D .

Значення f ( x ) , x D називається найменшим (найбіль-

210

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 4921 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20161.02 Mб71Vikova_shpori.doc
#
07.03.2016838.66 Кб458vilna_bilety.doc
#
23.09.2019188.42 Кб1Vimogi_do_ofrmlennya_INDZ (1).doc
#
07.03.201638.3 Кб20visha_osvita_nimechchini.docx
#
19.03.2015150.28 Кб17VKhnpu_psykhol_2012_42(1)__17.pdf
#
19.03.20152.73 Mб19VM_pidr.pdf
#
22.12.20181.25 Mб3voprosy.doc
#
17.04.201934.15 Кб1voprosy.docx
#
07.08.2019138.24 Кб1voprosy_gayday_-_kopia.doc
#
19.03.20152.34 Mб19Voroshilov_V_V_-_Zhurnalistika_-_2000.doc
#
19.03.2015239.1 Кб37VPS_shpory.doc