VM_pidr

Таблиця 3. Помножимо елементи третього рядка на “-5” і “-2” і додамо до відповідних елементів другого і першого рядків табл.2. За ключовий елемент візьмемо число “-30” і поділимо на нього всі елементи другого рядка і запишемо другим рядком таблиці 4.

Таблиця 4. Інші клітинки заповнимо аналогічно. Помножимо елементи другого рядка на “-7” і “11” і додамо до відповідних елементів третього і перших рядків таблиці 3.

Такі перетворення показано справа біля кожної з таблиць (числа вказують, що даний рядок на нього треба перемножити, а стрілки – до якого рядка потрібно додати відповідні елементи).

Якщо перші два рядки табл.4 поміняти місцями, то по головній діагоналі одержаної матриці-таблиці є три ненульові елементи:

Це означає, що ранги основної і розширеної матриць однакові і дорівнюють 3. Тобто вихідна система 3 лінійних рівнянь з 5 невідомими сумісна і має безліч розв’язків (ранг менший за кількість невідомих).

Запишемо отриману систему базисних рівнянь, виходячи із таблиці 4.

Маємо три базисні невідомі (х1, х2, х3) і дві вільні (х4, х5). Друга таблиця виділяє базисну невідому х2 третя таблиця - х3 і четверта

таблиця - х1.

Звідси загальний розв’язок вихідної системи запишеться так:

71

Для перевірки правильності знайдених розв’язків, достатньо підставити ці значення х1, х2, х3 у задану систему лінійних рівнянь і отримати тотожності.

Для одержання частинних розв’язків системи, надамо вільним невідомим х4, х5 довільних значень. Наприклад, якщо х4=0, х5=0,

Таких частинних розв’язків можна знайти безліч.

§14. Системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими називається однорідною, якщо вона має вигляд

Вона одержується із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.3), якщо b1 = b2 = ... = bm = 0. Розширена матриця Ã цієї системи

одержується із основної матриці А, якщо приєднати нульовий стовпець. Значить ранг матриці А рівний рангу розширеної матриці Ã. При цьому за теоремою Кронекера-Капеллі вихідна система завжди сумісна.

Якщо ранг матриці A системи лінійних однорідних рівнянь дорівнює кількості невідомих ( r = n ), то система має єдиний нуль-

овий (тривіальний) розв’язок: x1 = x2 = ... = xn = 0. Це випливає з теореми Крамера, оскільки всі визначники j одержуються із визначника

72

заміною j -го стовпця стовпцем із вільних членів b1 = 0,b2 = 0,..., bn = 0 , а тому x1 = x2 = ... = xn = 0 = 0.

Значить, система n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь зn невідомими має нульові розв’язки тільки тоді, коли визначник системи , складеної із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих відмінний від нуля.

Система n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має ненульові розв’язки тільки тоді, коли визначник системи, складеної із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих дорівнює нулю ( = 0 ). Тобто , система має ненульові розв’язки тільки тоді,

коли r < n , де r - ранг матриці А, а n - число невідомих.

системи відмінний від нуля, то задана система лінійних однорідних

нтів при невідомих. Для цього зведемо її до діагонального вигляду з допомогою елементарних перетворень:

73

вихідна система має ненульові розв’язки. Візьмемо ті рівняння заданої системи, в яких коефіцієнти при невідомих утворюють базисний мінор, наприклад:

1 4 − 1 М = 1 1 1 = −1 + 8 + 2 − 1 = 8,

2 1 0

який відмінний від нуля.

Задана система лінійних рівнянь еквівалентна такій:

Виключимо x1 в другому і третьому рівняннях

Виключимо x4 в третьому рівнянні

74

Із останнього рівняння знаходимо, що x5 = 0 , а значить, і x4 = 0 (із другого рівняння). З першого рівняння одержимо

x1 = −3x2 + x3 .

Таким чином, x1 = −3x2 + x3 ; x4 = x5 = 0.

При довільних значеннях вільних невідомих x2 та x3 одер-

жимо відповідні значення базисних невідомих. Наприклад, один із часткових розв’язків такий:

x1 = −2; x2 = 1; x3 = 1; x4 = 0; x5 = 0.

ТЕОРЕМА. Якщо визначник (1.9) системи n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими дорівнює нулю, а серед алгебраїчних доповнень Аij ( і = 1,2,...,n; j = 1,2,...,n)

елементів i − го рядка є ненульові, то ця система має ненульо-

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів, наприклад, першого рядка:

75

Задана система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь має розв’язок

x1 = −2t ; x2 = −4t ; x3 = 6t , який залежить від параметра t .

§15. Деякі економічні задачі

◙Задача міжгалузевого балансу

Вдеяких задачах макроекономіки ставиться питання про ефективне ведення багатогалузевого господарства. Тут кожна галузь є і виробником , і споживачем деякої продукції (як своєї, так і продукції, виробленої іншими галузями).

Однак, з економічної точки зору, міжгалузевий баланс є більш ефективним у вартісному виразі. При цьому об’єднання окремих галузей у підгрупи полегшує складання балансів продукції.

Введемо такі позначення:

xi - загальна вартість продукції, виробленої в і-ій галузі (план валового випуску продукції) (i=1,2,…,n);

xij - вартість продукції i − ої галузі, необхідної для випуску

продукції j − го підрозділу ( j = 1,2,...,n ) ;

yi - вартість продукції i − ої галузі, призначеної для реалізації (кін-

Зв’язок між цими величинами запишемо у вигляді системи рівнянь:

76

Рівняння цієї системи називаються балансовими. Позначимо aij - вартість продукції i − ої галузі , необхідної

для випуску одиниці продукції j − ої галузі:

а її елементи – коефіцієнтами прямих витрат.

Враховуючи, що xij = aij x j , вихідна система запишеться так:

Позначимо через

вектором кінцевих продуктів Y .

77

Попередня система запишеться у вигляді матричного рівняння

X − AX = Y , або EX − AX = Y , звідси ( E − A )X = Y ,

де E - одинична матриця.

Позначимо E − A = B , тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь запишеться такBX = Y .

Помножимо з лівого боку обидві частини рівняння на B−1 :

B−1BX = B−1Y . Звідси X = B−1Y .

Тобто вектор-план X можна знайти, помноживши B−1 на вектор кінцевих продуктів.

Матриця B−1 називається матрицею повних витрат. Елементи цієї матриці включають прямі і непрямі витрати.

Задача 1. Прямі витрати трьох галузей виробництва, а також обсяги кінцевих продуктів ( у грошових одиницях) задані у таблиці:

Потрібно знайти:

1)матрицю повних витрат;

2)план кожної галузі;

3)виробничу програму галузей;

4)коефіцієнти непрямих витрат.

Розв’язування. Із таблиці видно, що матриця прямих витрат

Позначимо через Х - вектор - план галузей виробництва, Y - ве ктор кінцевих продуктів:

Зв’язок між величинами, записаних в таблиці представимо у вигляді системи лінійних рівнянь:

78

В матричній формі маємо : Х −AХ=Y , або (E−A)Х=Y. Позначимо E−A=B. Система лінійних алгебраїчних рівнянь

запишеться в матричній формі:BX=Y. Звідси X= B -1Y. В нашій задачі

Для знаходження оберненої В-1до матриці В, обчислимо визначник:

− 0,048 − 0,12 = 0,053.

Тому для матриці В існує обернена В-1. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В :

79

Матриця з цих алгебраїчних доповнень буде:

Обернена матриця має вигляд :

Значить: x1 = 821; x2 = 1402; x3 = 1577.

Отже, якщо відомо обсяг кінцевої продукції (у грошових одиницях) y1 = 50; y2 = 80; y3 = 100 , то потрібно запланувати такі об-

сяги виробництва для першої галузі - 821, для другої - 1402 і для третьої - 1577.

3) Для знаходження виробничої програми кожної галузі, знайдемо добуток коефіцієнтів прямих витрат і валового випуску продукції:

x11 = a11 x1 = 0,2 821 = 164 ,2; x12 = a12 x2 = 0,3 1402 = 420 ,6;

80