VM_pidr

Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі AX = B.Матричний розв’язок системи буде X = A−1B.

Оскільки A ≠ 0 , то для матриці A існує обернена A−1 , а зна-

чить можна знайти єдиний розв’язок вихідної системи. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:

51

Транспонуючи її, запишемо приєднану матрицю

Знайдемо розв'язок заданої системи:

Розв’язок системи лінійних рівнянь такий: x1 = −1; x2 = 1; x3 = 3.

§11. Метод Гаусса

Задана система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідо-

мими (1.4).

Вважаємо, що коефіцієнт a11 ≠ 0 . В іншому випадку, переста-

вим місцями такі довільні два рівняння, щоб в першому із них був коефіцієнт біля x1 , що не дорівнює нулю.

Метод Гаусса розв’язування системи n лінійних алгебраїчних

52

рівнянь полягає в послідовному виключенні невідомих. Покажемо суть цього методу.

Поділимо перше рівняння на коефіцієнт а11 і позначимо

Далі від другого рівняння віднімемо перше рівняння, помножене на a21 ; від третього рівняння віднімемо перше, помножене на a31 і т.д.

В результаті одержимо нову систему лінійних алгебраїчних рівнянь, в якій x1 виключено з усіх рівнянь, починаючи з другого:

нові коефіцієнти і вільні члени, які одержались після перетворень за формулами:

ділимо друге рівняння на a22( 1 ) . Якщо цей коефіцієнт a22( 1 ) = 0,то пе-

Від третього рівняння віднімемо друге рівняння, помножене на a32( 1 ) , від четвертого рівняння віднімемо друге, помножене на

a42( 1 ) і т.д. Одержимо нову систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка еквівалентна попередній:

53

Такий процес будемо продовжувати до того часу, поки система не набуде трикутного вигляду:

кож вільні члени одержуються в результаті перетворень:

aij( 3 ) = aij( 2 ) − a3( 3j )a3( 2j ) , b(j 3 ) = b(j 2 ) − b3( 3 )a3( 2j ) ( i = 4,5,...,n, j = 4,5,...,n ).

При цьому коефіцієнти aii( i ) = 1 ( i = 1,2,...,n ).

Остання система містить n лінійних рівнянь і n невідомих і має єдиний розв’язок. Перехід від першої системи рівнянь до остан-

ньої називається прямим ходом методу Гаусса. Обернений хід ме-

тоду Гаусса починається з останньої системи рівнянь. Її розв’язують , знайшовши з останнього рівняння xn. Підставивши це значення в передостаннє – знайдемо xn-1 і т.д. З першого рівняння знаходять x1.

Зауваження 1. Якщо в результаті перетворень зустрінеться хоч одне рівняння вигляду 0·x1+0·x2+…+0·xn=0, то одержимо систему лінійних рівнянь:

54

Тут k < n, akk( k ) ≠ 0.

Залишаємо в лівих частинах рівнянь доданки, які містять k змінних, а інші доданки перенесемо в праву сторону.

Змінним величинам, які знаходяться в правій стороні надаємо довільних значень. Одержимо систему k лінійних рівнянь, які мають k невідомих і трикутний вигляд.

Таким чином, кожній комбінації змінних xk +1 , xk + 2 ,..., xn від-

повідає один розв’язок останньої системи. В цьому випадку вихідна система рівнянь має безліч розв’язків.

Зауваження 2.Якщо в результаті перетворень зустрінеться хоч одне рівняння вигляду 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = b , то вихідна сис-

тема лінійних алгебраїчних рівнянь несумісна.

Приклад 1. Користуючись методом Гаусса, розв’язати систе-

Розв’язування. Першим рівнянням краще вибирати те, в якому коефіцієнт при невідомому x1 рівний одиниці. Для цього ліву і праву частини першого рівняння можна поділити на “2”. Однак в даному прикладі зручніше поміняти місцями перше та друге рівняння:

4 x1 − 2 x2 + 3x3 = −5.

Виключимо невідоме x1 в другому та третьому рівняннях системи.Для цього перше рівняння помножимо на “-2”, “-4” і додамо відповідно до другого та третього рівнянь:

Для виключення невідомого x2 в третьому рівнянні додамо до нього друге, помножене на “6”:

55

значення x3=1 в друге рівняння, одержимо x2= –3+5 x3=–3+5=2. Із першого рівняння x1=2–x2–x3=2–2–1= –1.

Таким чином, числа –1;2;1 є розв’язком вихідної системи лінійних рівнянь.

Часто на практиці замість перетворень над системою виконують відповідні перетворення над матрицею, складеною з коефіцієнтів при невідомих і стовпця з вільних членів, який для зручності ви-

~

ділимо вертикальною лінією. Таку матрицю А називають розширеною матрицею системи.

Приклад 2. Користуючись методом Гаусса, розв’язати систему рівнянь

x1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = −3.

Розв’язування. Заданій системі лінійних рівнянь відповідає ро-

Зведемо її до трикутного вигляду з допомогою елементарних перетворень.

1-й крок. Поміняємо місцями перший та другий рядки.

2-й крок. Додамо до елементів другого, третього і четвертого рядків елементи першого рядка, помножені відповідно на

“−2”,“−2”,“−1”.

3-й крок. Додамо відповідні елементи другого і третього ряд-

ків.

4-й крок. Поділимо всі елементи четвертого рядка на “-2” і поміняємо місцями з третім рядком.

5-й крок. Додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на “6”.

6-й крок. Поділимо всі елементи четвертого рядка на “-7”.

56

Розв’язування.Виключимо невідому величину x1 із другого і

третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на “-3” і додамо до другого і третього рівнянь:

57

Звідси x2 = 5 − 2 x3 , а із першого рівняння x1 = −1 + 3x3 .

Це загальний розв’язок вихідної системи рівнянь. Для отримання одного із часткових розв’язків, надамо змінній x3 довільного

значення. Наприклад, якщо x3 = 0 , то x2 = 5, x1 = −1. Детальніше

про розв’язування рівнянь такого типу буде показано в §13 цього розділу.

Приклад 4. Користуючись методом Гаусса, розв’язати систему рівнянь

Розв’язування. Помножимо перше рівняння на “-3”і “-1” і додамо відповідно до другого і третього рівнянь. Цим самим виключимо невідому величину x1 із другого і третього рівнянь:

Для виключення невідомої величини із третього рівняння, додамо до нього друге:

58

Згідно з зауваженням 2, така система лінійних алгебраїчних рівнянь несумісна.

§12. Метод Жордана-Гаусса

При дослідженні економічних об’єктів виникає потреба в розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими. Більш зручним для цього є модифікований метод Жорда-

на-Гаусса. Він полягає в повному виключенні невідомих.

Дамо коротку схему цього методу.

За перше рівняння візьмемо таке рівняння, в якому коефіцієнт (його назвемо ключовим елементом) біля x1 відмінний від нуля і

розділимо на нього все рівняння. З допомогою цього рівняння виключимо невідоме x1 в усіх рівняннях, крім першого. Аналогічно

невідоме x2 виключимо в усіх рівняннях, крім другого і т.д. При цьому можливі три випадки.

1.Ліва частина i -го рівняння системи перетворилась в нуль,

аправа частина рівна деякому числу, відмінному від нуля. Це значить, що система лінійних рівнянь немає розв’язків.

2.Ліва і права частини i -го рівняння системи перетворились

внуль. В цьому випадку i -те рівняння можна відкинути.

3.У випадку використання всіх рівнянь, в процесі виключеня невідомих, одержуємо розв’язок даної системи.

Зауваження. Якщо в першому рівнянні вихідної системи кое-

фіцієнт біля x1 рівний нулю, то можна взяти інше рівняння, в якому

за ключовий елемент візьмемо відмінний від нуля коефіцієнт при x1 .

Приклад 1. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему лінійних рівнянь

59

Розв’язування. За ключовий елемент виберемо коефіцієнт “2” біля x1 в першому рівнянні, оскільки він відмінний від нуля. Розді-

лимо перше рівняння на це число “2”:

Виключимо невідоме x1 в другому і третьому рівняннях. Для

цього додамо до другого рівняння перше, помножене на “-3”, а до третього – перше, помножене на “4”.

Тобто перший крок є такий самий, як в методі Гаусса:

Серед двох рівнянь (друге і третє) виберемо за ключовий елемент відмінний від нуля коефіцієнт, який стоїть біля x2 ,

Наприклад, число “ 5 ”. Розділимо на це число друге рівняння:

2

В цих рівняннях, крім другого, виключимо невідоме х2. Для цього додамо до першого і третього рівнянь друге, помножене на

“0,5” і “5”:

60