VM_pidr

нює відповідно x1 , x2 ,...xn . Долю національного доходу, яку держава S j витрачає на покупку товарів у держави Si позначимо коефіцієнтами aij . Будемо вважати, що весь національний дохід витрача-

ється на закупку товарів або всередині держави, або на імпорт із інших держав, тобто

Матриця А, з властивістю, що сума елементів її довільного стовпчика дорівнює 1, називається структурною матрицею торгі-

влі.

Для будь-якої держави Si ( i = 1,2,...,n ) загальна виручка від зовнішньої і внутрішньої торгівлі складає

рi = ai1 x1 + ai 2 x2 + ...+ ain xn .

Для збалансованості торгівлі необхідно бездефіцитність торгівлі кожної держави, тобто виручка від торгівлі кожної держави не повинна бути меншою від її національного доходу, тобто pi ≥ xi

( i = 1,2,...,n ) або ai 1 x1 + ai 2 x2 + ...+ ain xn ≥ xi ( i = 1,2,...,n ).В цій умові не може бути знака нерівності. Дійсно, додавши всі ці нерівності, коли i міняється від 1 до n і згрупувавши, одержимо

x1 ( a11 + a21 + ...+ an1 ) + x2 ( a12 + a22 + ...+ an2 ) + ...+ + xn ( a1n + a2n + ...+ ann ) ≥ x1 + x2 + ...+ xn .

Тому що в дужках є суми елементів матриці A по стовпчиках, які дорівнюють 1, ми отримали суперечливу нерівність. Отже, можливий тільки знак рівності.

Введемо вектор національних доходів

або (A-E)X=0, де X - матриця-стовпчик із координат вектора x .

121

Значить задача звелася до знаходження власного вектора матриці A, який відповідає власному значенню λ=1.

Приклад 1.Структурна матриця торгівлі трьох країн S1 , S2 , S3 має вигляд

Знайти співвідношення між національними доходами країн, при якому буде торгівля збалансована.

→

Розв’язування. Знаходимо власний вектор x , який відповідає власному значенню λ = 1, розв’язавши рівняння ( A − E )X = 0 або

Позначимо національні доходи відповідно x1 , x2 , x3 .Тоді бу-

→

демо шукати власний вектор x = (x1 , x2 , x3 )T , який відповідає влас-

ному значенню λ=1 розв’язавши рівняння (A-E)X=0.

Тому що ранг даної системи дорівнює 2, то одна із змінних, наприклад x3=C є вільною невідомою. Решту невідомих виразимо через неї. Розв’язуючи дану систему, знаходимо, що

Одержаний результат означає, що збалансованість торгівлі трьох країн досягається при векторі національного доходу

122

§15. Квадратичні форми.

Означення. Квадратичною формою L( x1 , x2 ,..., xn ) від n

змінних називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добутком двох різних змінних, взятих з деяким коефіцієнтом, тобто

Допускаємо, що в квадратичної форми (2.44) aij - дійсні числа.

Розпишемо квадратичну форму (2.44), розбивши доданки, що містять добутки змінних на дві рівні частини

L( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + ...+ a1n x1 xn + a21 x2 x1 + a22 x2 2 + ...+

+ a2n x2 xn + ...+ an1 xn x1 + an2 xn x2 + ...+ ann xn2 .

Матриця

називається матрицею квадратичної форми (2.44).

Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженою, якщо її матриця невироджена.

Якщо X T = ( x1 , x2 ,..., xn ) , то квадратичну форму можна переписати в матричному вигляді L( x1 , x2 ,..., xn ) = X T AX .

Вираз X T AX представляє собою квадратичну форму в матричному вигляді.

Приклад 1. Записати в матричному вигляді квадратичну фор-

му L( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3x22 + x32 + 8 x1 x2 + 2 x1 x3 .

Розв'язування. Матриця даної квадратичної форми має вигляд

123

словами має канонічний вигляд), якщо всі aij = 0, коли i ≠ j . Тоді квадратична форма буде мати вигляд

n

L = a11 x12 + a22 x22 + ...+ ann xn = ∑aii xi2 . i = 1

Розглянемо таку теорему.

ТЕОРЕМА 1. Довільна квадратична форма приводиться до канонічного вигляду.

Доведення. Нехай задана квадратична форма (2.44) з матри-

→→ →

цею (2.45) в базисі e 1 ,e2 ,..., e n .

Так як A симетрична матриця, то існує ортогональна матриця

Примітка. Дійсна квадратна матриця називається ортогональною, якщо сума квадратів елементів кожного стовпчика дорівнює одиниці і сума добутків відповідних елементів із двох різних стовпчиків дорівнює нулю. Необхідна і достатня умова

ортогональності матриці В є умова ВT B = Е.

→

Нехай X і Y є вектористовпчики із координат вектора x відповідно в базисах (2.46) і (2.47). Тоді X = BY і

X T AX = ( BY )T A( BY ) = Y T BT ABY = Y T B−1 ABY = Y T CY

або

124

Примітка. При доведенні даної теореми використали транспонування добутку матриць за формулою ( СY )T = Y T CT .

Зауважимо, що в канонічній формі (2.48) λ1 ,λ 2 ,...,λ n є власними числами матриці A .

Приклад 2. Привести квадратичну форму 2x12 + 4x1x2 + 5x22 до

канонічного вигляду з допомогою ортогональної матриці і знайти її. Розв’язування. Матриця даної квадратичної форми має вигляд

них чисел і власних векторів

6 y12 + y22 .

Знайдемо ортогональну матрицю.

Стовпчиками ортогональної матриці, яка приводить квадратичну форму до канонічного вигляду є ортонормовані власні векторстовпчики матриці A.

Спочатку знайдемо нормований власний вектор-стовпчик матриці A з власним значенням λ1 = 6.Для цього із системи (2.49) ма-

125

даного приклада 2.

Розглянемо на прикладі ще один метод приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Метод Лагранжа приведення квадратичної форми до канонічного вигляду заключається в послідовному виділенні повних квадратів.

Приклад 3. Привести до канонічного вигляду квадратичну

форму L( x1 , x2 , x3 ) = x12 − 6 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3 + x32 методом Лаг-

ранжа. Спочатку виділимо повний квадрат при змінній x1 , коефіцієнт при якій відмінний від нуля.

L = [x12 − 2 x1 ( 3x2 − 2 x3 ) + ( 3x2 − 2 x3 )2 ]+ 2 x2 x3 + x32 −

− ( 3x2 − 2 x3 )2 = ( x1 − 3x2 + 2 x3 )2 + 2 x2 x3 − 9 x22 + 12 x2 x3 − 3x33 = = ( x1 − 3x2 + 2 x3 )2 + 2 x2 x3 + x32 − 9 x22 + 12 x2 x3 − 4 x32 = ( x1 − 3x2 +

126

приводить дану канонічну форму до канонічного вигляду

L1 ( y1 , y2 , y3 ) = y12 − 9 y22 + 22 y32 .

9

Канонічний вигляд квадратичної форми не є однозначним, так як одна й та ж квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду багатьма способами. Однак одержані різними способами квадратичні форми мають ряд спільних властивостей.

Сформулюємо одну із цих властивостей, яка виражає закон інерції квадратичних форм, що заключається в наступному: всі канонічні форми, до яких приводиться дана квадратична форма, мають:

1)одне й те ж число нульових коефіцієнтів;

2)одне й те ж число додатніх коефіцієнів;

3)одне й те ж число від’ємних коефіцієнтів.

Означення1.Квадратична форма L( x1 , x2 ,..., xn ) назива-

ється додатньо визначеною, якщо для всіх дійсних значень x1 , x2 ,..., xn використовується нерівність L( x1 , x2 ,..., xn ) > 0 .

Означення 2. Якщо L( x1 , x2 ,..., xn ) є додатньо визначеною формою, то квадратична форма L( x1 , x2 ,..., xn ) < 0 називається

від’ємно визначеною.

Необхідні та достатні умови додатньої (від’ємної) визначеності квадратичної форми дає наступна теорема.

додатніми(від’ємними).

Дану теорему приводимо без доведення.

127

В багатьох випадках для встановлення знаковизначеності квадратичної форми зручно застосовувати критерії Сільвестра.

ТЕОРЕМА 3.Для того,щоб квадратична форма була додатньо визначеною, необхідно і досить, щоб всі головні мінори матриці цієї форми були додатніми, тобто

Слід зауважити, що для від’ємно визначених квадратичних форм знаки головних мінорів чергуються, починаючи з знаку “мінус” для мінора першого порядку.

Наприклад, квадратична форма L в прикладі 2 є додатньо визначеною на основі теореми 2, так як корені характеристичного рівняння λ1=6 і λ2=1 є додатніми.

Другий спосіб. Так як головні мінори матриці A.

Сільвестра дана квадратична форма є додатньо визначеною.

§16. Пряма лінія на площині

Рівняння лінії є важливим поняттям аналітичної геометрії. Нехай на площині ми маємо деяку лінію (криву) (мал.22).

хходиться на цій лінії і не задовольня-

Оють координати іншої точки, що не Мал.2 знаходиться на цій лінії.

В загальному випадку рівняння лінії будемо записувати у вигляді F(x,y)=0 або y=f(x) Якщо точка M(x,y) рухається по лінії, то її координати змінюються і тому ці координати називаються біжучими.

128

16.1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма l (мал.23) перетинає вісь ординат в точці

A(0,b) і утворює з додатнім напрямом вісі Ox кут φ (0< φ< π ).

заданими параметрами k і b . Іншими словами покажемо, яким рівнянням пов’язані координати довільної

y = kx -рівняння прямої , що проходить через початок координат (мал.24). Коли k = tgϕ > 0 , то кут ϕ - гострий, а коли k = tgϕ < 0 , то кут ϕ тупий.

129

16.2.Рівняння прямої, що проходить через задану точку в даному напрямку

Рівняння (2.53) звуть в’язкою прямих, де k - довільне число. Через точку M1` ( x1 , y1 ) проходить безліч прямих, крім прямої, паралельної вісі Oy.

130