VM_pidr

16.3.Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

M1` ( x1 , y1 ) , а саме y − y1 = k( x − x1 ) .

Оскільки точка M2` ( x2 , y2 ) знаходиться на прямій l , то підс-

тавивши координати цієї точки в рівняння в’язки прямих(2.53), одержимо y2 − y1 = k( x2 − x1 ) . З цієї рівності знайдемо кутовий коефі-

цієнт прямої

Примітка. Якщо точки М1 і М2 лежать на прямій , яка паралельна осі Oy , тобто x1 = x2 , то рівняння прямої буде x = x1 . Коли

Розкривши пропорцію, маємо 8( y − 4 ) = −5( х + 3 ) . Спрости-

вши, одержимо y = − 5 x + 17 .

88

16.4.Рівняння прямої у відрізках

Нехай пряма відсікає від початку координат на осі Ox відрізок a ≠ 0 , а на осі Oy відрізок b ≠ 0 , тоді пряма проходить через дві

точки A( a;0 ) і B( 0;b ) .

131

Використавши формулу (2.55)

удля точок A( a;0 ) і B( 0;b ) , одержимо

де стрілка на мал. 40 означає, що кут ϕ береться проти годинникової стрілки від l1 до l2 .

132

Формула (2.57) є формула для знаходження кута між двома прямими.

Якщо l1 l2 то ϕ = 0 і tgϕ = 0 . Тоді із формули (2.57) маємо,

Висновок. Прямі l1 і l2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх

кутові коефіцієнти рівні і ці прямі перпендикулярні, коли добуток їх кутових коефіцієнтів дорівнює “–1”.

Приклад 3. Знайти кут між прямими y = 3x + 4 і y = 1 x − 1.

Звідси знаходимо ϕ = 45 .

Приклад 4. Затрати перевезень двома засобами транспорту

чинаючи з якої віддалі , найбільш економічним є другий засіб транспорту?

133

Розв’язування. Намалюємо графіки заданих функцій і побачи-

З даного малюнка видно, що при віддалі, яка перевищує 500 км найбільш економічним є другий засіб транспорту.

16.6. Загальне рівняння прямої та його дослідження.

Нехай задана точка М0 ( x0 ; y0 ) ) через яку проходить пряма l

→

і вектор n( A,B ) , який перепендикулярний до прямої l (мал.41). На

Рівняння (2.60) є векторне рівняння прямої l . Розпишемо це

→

рівняння в координатній формі. Оскільки M0 M = ( x − x0 ; y − y0 ), то рівняння (2.60) перепишеться у вигляді A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0.

де С = − Ax0 − By0 .

Рівняння (2.61) називається загальним рівнянням прямої. Дослідимо як розміщена пряма, що задана рівнянням (2.61), якщо деякі коефіцієнти A,B і С будуть рівні нулю.

134

Значить, якщо вільний член , а саме С = 0 , то пряма проходить через початок координат.

2) Якщо A = 0 ,B ≠ 0 ,С ≠ 0 , то рівняння прийме вигляд

By + С = 0 або y = − C = b , тобто пряма паралельна осі Ox.

B

3) Якщо B = 0 , A ≠ 0 ,C ≠ 0 , то рівняння (2.61) має вигляд

Ax + C = 0 або x = − C = a є рівнянням прямої, паралельної осі ор-

A

динат.

4)Якщо A = 0 ,B ≠ 0 ,С = 0 , то рівняння прийме вигляд By = 0 , звідси y = 0. Це і є рівняння осі Ox.

5)Якщо A ≠ 0 ,B = 0 ,С = 0 , то рівняння (2.61) буде мати вигляд Ax = 0 або x = 0 . Це рівняння осі Oy.

Якщо задані дві прямі l1 і l2 загальними рівняннями

A1 x + B1 y + C1 = 0 , l1 ,

A2 x + B2 y + C2 = 0 , l2 .

то щоб знайти координати точки перетину цих прямих, які повинні задовольняти рівняння кожної прямої, то потрібно розв’язати систему рівнянь

Значить, умова паралельності прямих, які задані загальними рівняннями, є пропорціональність коефіцієнтів при невідомих.

Умова перпендикулярності прямих k1k2 = −1 в цьому випадку

має вигляд ( − A1 )( − A2 ) = −1 або А1 А2 + В1В2 = 0 .

B1 B2

135

Отже, для прямих l1 l2 , які задані загальними рівняннями,

умовою перпендикулярності є рівність нулю суми добутків коефіцієнтів при змінних x і y .

16.7. Нормальне рівняння прямої

Нехай положення прямої на площині визначається двома величинами (параметрами прямої) : довжиною і напрямком перпендикуляра ОР, опущеного із початку координат на пряму і ве-

Якщо пряма лінія задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0,

136

то це рівняння можна звести до нормального рівняння прямої (2.63).Помножимо загальне рівняння прямої на деякий множник μ

Одержане рівняння і загальне рівняння прямої рівносильні. Щоб рівняння (2.64) було нормальним, тобто мало вигляд (2.63) потрібно, щоб виконувалися рівності

μ називається нормувальним множником.

Третя рівність (2.65) встановлює знак множника μ , а саме знак μ є протилежним знакові вільного члена C .

Приклад 4. Привести до нормального вигляду рівняння

4 x − 3 y − 7 = 0.

Розв’язування. Знаходимо нормувальний множник

(вибираємо знак плюс, так як C = −7 < 0 ).

Помноживши на 1 дане рівняння, одержимо

5

4x − 3 y − 7 = 0.

55 5

Одержане рівняння і є нормальним рівнянням прямої. В цьому

16.8. Віддаль від точки до прямої

Нехай маємо пряму l, задану рівнянням xcosα + y sinα − p = 0

і точку М0 (х0,у0) Потрібно знайти віддаль від цієї точки до прямої l. Через точку M0 ( x0 ; y0 ) проведемо пряму l1 паралельну прямій l

137

Шукану віддаль від точки М до прямої l позначимо через

до прямої, заданої нормальним рівнянням.

Якщо ж пряма задана загальним рівнянням, то віддаль від точки M0 ( x0 ; y0 ) знаходиться за формулою

Приклад. Знайти віддаль від точки М0 ( 3;4 ) до прямої

4 x − 3 y + 10 = 0.

Розв’язування. Тепер підставляємо замість x0 і y0 координати точки M0 , тобто x0 = 3, y0 = 4 в формулу (2.69) і знаходимо

§17. Площина та її рівняння

Нехай в системі координат 0 xyz задана довільна площина π .

138

Візьмемо на цій площині яку-небудь точку M0 ( x0 , y0 ,z0 ).

Рівняння (2.71) є рівнянням площини, що проходить через задану точку M0 ( x0 , y0 ,z0 ) і перпендикулярна до заданого вектора

→

n( A,B,C ) . Рівняння (2.71) задовольняють координати довільної

точки, яка знаходиться на цій площині π і не задовольняють координати довільної точки, яка не знаходиться на цій площині.

Розкривши дужки в рівнянні (2.71), одержимо

де D = − Ax0 − By0 − Cz0 . Рівняння (2.72) називається загальним рів-

нянням площини. Кожна площина в декартових прямокутних координатах визначається рівнянням першого степеня відносно біжучих координат x , y.z. Вірно і обернене твердження: кожне рівняння

першого степеня відносно біжучих координат x, y,z визначає

139

площину.

Дійсно, нехай x0 , y0 ,z0 - який –небудь розв’язок рівняння

(2.72), тобто

Віднімаючи почленно із рівняння (2.72) рівність (2.73), одержимо рівняння A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0, яке і є рівнянням площини, що проходить через точку M0 ( x0 , y0 ,z0 ) і перпенди-

→

кулярна до вектора n( A,B,C ) .

17.1. Дослідження загального рівняння площини

Під дослідженням загального рівняння площини розуміється те, яке положення займає площина, коли деякі із коефіцієнтів

A,B,C і D перетворюються в нуль.

1) D = 0, A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 , то рівняння площини має

вигляд Ax + By + Cz = 0, тобто площина проходить через початок координат;

2) C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0, D ≠ 0, то рівняння (2.72) буде

мати вигляд Ax + By + D = 0 .

В площині 0 xy це рівняння визначає пряму лінію, а в просторі це буде рівняння площини паралельної вісі 0z.

гляд By + Cz + D = 0 і є рівнянням площини , яка паралельна вісі 0 x . Отже, якщо в рівнянні площини (2.72) відсутня одна із координат x, y або z то площина паралельна вісі 0 x, 0 y або 0z .

5) Якщо D = C = 0 , A ≠ 0, B ≠ 0, то рівнянню Ax + By = 0

відповідає площина, яка проходить через початок координат і паралельна вісі 0z , тобто ця площина проходить через вісь 0z ;

140