Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4651 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

VM_pidr

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
2.73 Mб
Скачать
☆

 

у

lim

y

= −1 , а

lim

 

 

y

= 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−0

x

x→+0

x

 

 

 

 

Отже, границя відношення

y

залежить від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

способу прямування

x

до нуля і тому не

О

 

х існує в точці x = 0. А,

отже, функція y =

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Мал.3

 

не диференційовна в цій точці.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4. Основні правила диференціювання

Знаходження похідних за означенням не проста задача. Тому для відшукання похідних від функцій, які утворені з декількох елементарних функцій використовують правила диференціювання, що сформульовані у вигляді теорем.

ТЕОРЕМА 1. Похідна постійної величини с дорівнює 0 .

Доведення. Нехай y = c , де

c = const − стала.Надаємо дові-

льному x приросту

x .Враховуючи, що функція прийме одне і теж

значення при всіх значеннях аргументу, маємо y = c − c = 0 .

Знаходимо відношення приростів

y

= 0 .

 

 

 

 

 

x

Похідна цієї функції y′ = lim

y

= 0 . Отже ( c )′ = 0 .

 

 

x→0

x

 

 

ТЕОРЕМА 2. Якщо кожна з скінченого числа функцій

u1 ( x ),u2 ( x ),...,un ( x )

диференційовна в деякій точці x, то дифе-

ренційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних.

[u ( x ) ± u ( x ) ± ...± u ( x )]′ = u′ ( x ) ± u′

( x ) ± ...± u′

( x ) .

1

2

n

1

2

 

n

 

Доведення.

Візьмемо

функцію

з

 

трьох

доданків

y = u1( x ) + u2 ( x ) − u3 ( x ) . Надамо аргументу

x приріст x . Тоді

функція

y та її складові u1 ( x ),u2 ( x ),u3 ( x )

 

одержать відповідно

прирости

y, u1 ,

u2 , u3 , причому

 

 

 

 

y = [u1 ( x + x ) + u2 ( x + x ) − u3 ( x + x )]− − [u1 ( x ) + u2 ( x ) + u3 ( x )] = u1 + u2 − u3 .

221

 

 

 

Складемо відношення приросту функції

 

y

до приросту ар-

гументу

 

x і перейдемо до границі при умові, що

 

x → 0 . Викори-

ставши властивості границь і врахувавши,

 

що

 

похідні

функ-

ційu1 ( x ),u2 ( x ),u3 ( x ) існують, одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = lim

 

y

 

= lim

 

u1 +

u2 −

u3

= lim

 

u1

+ lim

u2

− -

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

=

x→0 x

 

x→0

− 3

 

 

x→0

 

 

x→0 x

 

 

lim

u3

1

( x )

+

2

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u′

 

 

 

u′ ( x )

u′ ( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

x

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

−

 

 

]

=

 

 

+

 

 

−

 

 

 

що

треба

 

 

 

[

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

u ( x )

 

u ( x )

 

u ( x ) ′

u′ ( x )

u′ ( x )

u′ ( x ) ,

 

 

було довести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕМА 3. Якщо функції u = u( x ) і v = v( x )

 

 

диференційовні в точці

x , то їх добуток диференційовний в цій

точці і має місце формула ( u v ) = u′v + v′u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення. Позначимо y = uv . Надамо приросту

х

 

аргументу х. Тоді функції и, v ,у одержать відповідно прирости

 

 

u,

v ,

 

y,

причому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y + y = ( u + u )( v + v ) = uv + uv + u v + u v .

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо приріст

 

y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у = uv + uv + u v + u v − uv = uv + u v + u v.

 

 

 

 

 

Складаємо відношення приростів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= u v +

v

u + u v.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0 , використавши

 

 

 

Перейдемо до границі при умові , що

властивості границь і врахувавши, що функція

v

неперервна,

оскільки вона диференційовна, і тому

 

lim

v = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

 

lim

 

 

 

y

=

lim

u v + u

lim

u +

lim

u

lim

v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 x

 

 

x→0 x

 

x→0 x

 

x→0 x x→0

 

= u′v + uv′ , а тому y′ = ( uv )′ = u′v + uv′ . Теорема доведена.

Наслідок 1. Сталий множник можна виносити за знак похід-

ної.

Доведення. (Cy)′ = C′y + Cy′ = Cy′ , оскільки С′ = 0.

222

Наслідок 2. Похідна добутку декількох диференційованих функцій дорівнює сумі добутків похідної кожної з цих функцій на всі решта функції співмножники.

Доведення проведемо для випадку трьох співмножників.

( uvw )′ = ( uv )′w + uvw′ = ( u′v + uv′ )w + uvw′ = u′vw + v′uw + w′uv .

Приклад. Знайти похідну функції y = xn (

n − натуральне

число).

 

 

Розв’язування.

 

 

xn = x x x … x .

 

 

n – раз

 

Використовуючи наслідок 2 , маємо

 

( xn )′ =

x′xn− 1 + x′xn− 1 + ... + x′xn− 1 = nxn− 1 .

 

 

n

 

Отже,

y′ = nxn− 1 .

(4.2)

ТЕОРЕМА 4. Якщо функції u = u( x ), v = v( x ) диференційовні в точці x , причому v( x ) ≠ 0 , то їх частка

також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

u ′

 

 

 

u′v − uv′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення. Позначимо y =

u

. Надамо аргументу x приросту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x . Тоді u,v , y

одержать відповідно прирости

u,

v , y , причо-

му y + y =

u +

u

. Знайдемо приріст y :

 

 

 

 

 

 

v +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

u + u

−

u

=

uv + v u − uv − u v

= uv − u v .

 

 

 

 

 

 

 

v + v v

 

v( v + v )

 

 

 

 

v 2 + v v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u v − u

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x

 

Складемо відношення приростів

 

=

 

x

 

.

 

 

v2 + v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

v

Перейдемо до границі при умові,

що

 

x → 0 ,

використавши

властивості границь і врахувавши, що функція v

неперервна, оскі-

льки вона диференційовна, і тому

 

lim

v = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223

 

 

 

 

lim

u v − u lim

v

 

 

u′v − uv′

 

 

 

y

 

x

 

 

 

Отже,

lim

=

x→0

x

x→0

 

=

,

 

lim ( v2 + v

v )

 

 

v2

 

x→0 x

 

 

 

 

 

x→0

атому y′ = u′v − uv′ . Теорема доведена.

v2

Наслідок 3. Якщо знаменник дробу постійна величина, то

u ′

u′

 

 

 

=

 

.

 

 

c

 

c

 

u ′

 

u′c − uc′

 

 

 

u′c

 

 

 

u′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дійсно,

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наслідок 4. Якщо чисельник дробу – постійна величина, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

′

 

 

 

 

c′v − cv′

 

 

cv′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

′

 

 

 

v′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зокрема, при с = 1 маємо

 

 

 

 

 

= −

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наслідок 5. (похідні функцій

 

 

y = tgx , y = ctgx ).

 

Справедливі формули:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( tgx )′ =

 

1

 

,

x ≠ π + πn ;

 

 

( ctgx )′ = −

 

 

 

1

 

 

 

, x ≠ πn .

cos2 x

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

(sin x )′ cos x − sin x(cos x )′

 

 

 

 

 

( tgx )′ =

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

cos x cos x − sin x( − sin x )

=

 

cos2

 

 

x + sin2 x

 

=

 

1

 

 

 

;

cos

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

( ctgx )′ =

cos x ′

 

 

 

(cos x )′ sin x − cos x(sin x )′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − sin x sin x − cos x cos x = −

 

 

 

1

 

 

 

, що треба довести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Знайти похідні функцій:

а) y = 5 x4 − 2 x3 + x2 − 4 x + 10 .

224

Розв’язування. Використовуючи послідовно теорему 2, наслідок 1 і формулу похідних від степеня (4.2), одержимо:

 

 

 

 

 

а) y′ = ( 5 x4 )′ − ( 2 x3 )′ + ( x2 )′ − ( 4 x )′ + ( 10 )′ =

 

= 5 4 x3 − 2 3x2 + 2 x − 4 + 0 = 20 x3 − 6 x2 + 2 x − 4 .

 

 

 

 

 

 

б)

y = ( 2 x3 + 1 )cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язування. Використовуючи теорему 3, одержимо

y′ = ( 2 x3 + 1 )′ cos x + ( 2 x3 + 1 )(cos x )′ = 6 x2 cos x +

 

+ ( 2 x3 + 1 )( − sin x ) = 6 x2 cos x − ( 2 x3 + 1 )sin x .

 

 

 

 

 

 

в)

y =

 

tgx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язування. Використовуючи теорему 4 і наслідок 5, одер-

жимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( tgx )′( x2 − 1 ) − tgx( x2 − 1 )′

1

 

( x2

− 1 ) − 2 xtgx

 

 

 

=

 

 

 

 

y′ =

cos2 x

=

 

 

 

 

 

 

 

( x2 − 1 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

( x2 − 1 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

− 1 − 2 xtgx cos2 x

 

 

x2 − 1 −

 

2 x sin x cos2 x

 

=

 

 

=

 

 

 

cos x

 

 

=

 

 

 

 

( x2

− 1 )2 cos2 x

 

 

( x2 − 1 )2 cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

− 1

− 2 x sin x cos x

=

 

x2

− x sin 2 x − 1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

( x2

− 1 )2 cos2 x

 

( x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 − 1 )2 cos2 x

 

 

 

 

2.Економічним підрозділом підприємства встановлено, що витрати виробництва x одиниць продукції виражаються формулою (у

гривнях). V(x)=0,01x2+40x+2000.

Знайти маржинальні (граничні) витрати та середні витрати і обчислити їх при х=200.

Розв’язування. Маржинальні витрати для довільної кількості виготовленої продукції визначаються як похідна від функції витрат

V ′( x ) = 0,02 x + 40 . При x = 200 маємо

V ′( 200 ) = 0,02 200 + 40 = 4 + 40 = 44 .

Середні витрати V ( x ) на одиницю продукції V ( x ) = V ( x ) .

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

0,01x2

+ 40 x + 2000

 

2000

 

V ( x ) =

= 0,01x + 40 +

.

 

x

x

 

 

 

 

 

 

225

При x = 200 , одержимо

V ( 200 ) = 0,01 200 + 40 + 2000 = 2 + 40 + 10 = 52.

200

Проаналізувавши одержані результати, можна зробити висновок, що при середніх витратах на виробництво одиниці продукції в розмірі 52 грн., додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції складуть 44 грн. і не перевищать середніх витрат.

3. Визначити маржинальний дохід і прибуток підприємства, якщо місячні витрати на виготовлення і реалізацію x одиниць про-

дукції виражаються формулою V ( x ) = 0,02 x2 + 100 x + 10000 , а кількість реалізованих виробів в залежності від роздрібної ціни p визначаються формулою x = 4000 − 10 p .Знайти маржинальний дохід

і прибуток при виробництві x = 500 одиниць продукції. Розв’язування. Визначимо роздрібну ціну одиниці продукції

10 p = 4000 − x , p = 400 − 0,1x .

Дохід підприємства буде

D( x ) = p x = ( 400 − 0,1x )x = 400 x − 0,1x 2 , а прибуток

P( x ) = D( x ) − V ( x ) = 400 x − 0,1x2 − 0,02 x2 − 100 x − 10000 =

= 300 x − 0,12 x2 − 10000.

Маржинальний дохід

D′( x ) = ( 400 x − 0,1x2 )′ = 400 − 0,2 x,

а маржинальний прибуток

P′( x ) = ( 300 x − 0,12 x2 − 10000 )′ = 300 − 0,24 x.

При x=500 маємо D′(500)=400-0,2·500=400-100=300, P′(500)=300-0,24·500=300-120=180.

§5 Похідна від складної функції

Нехай у є функція від аргументу u, тобто y = f(u), і нехай аргумент u є деяка функція від незалежної змінної x: u = ϕ( x ).Тоді y

є функція від x: y = f [ϕ( x )]. В таких випадках говорять, що у є фу-

нкція від функції або складною функцією від аргументу x.

Нехай ми вміємо обчислювати похідну від у по аргументу и, а також похідну від аргументу и по незалежній змінній х. Встановимо, як обчислюється похідна від у по незалежній змінній х.

226

ТЕОРЕМА. Якщо функції y = f ( u ) і u = ϕ( x ) мають похідні, то похідна складної функції y = f [ϕ( x )] дорівнює похі-

дній від функції у по проміжному аргументу и, помноженій на похідну від проміжного аргументу и по незалежній змінній х.

,

y′

=

f ′u′ .

Тобто

x

u x

Доведення. Надамо x довільний малий приріст x. Тоді функція u=φ(x) дістане приріст u, а функція y = f(u) дістане при-

ріст

y , викликаний приростом u . Оскільки похідна y′

= f ′

за

 

u

u

 

умовою існує

,

то

 

lim

 

y

 

=

f ′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

u→0

u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідки

 

 

 

 

y

= f

′ + α , де α → 0

разом з

u → 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

f ′

 

 

 

 

 

u.

 

 

 

 

 

 

 

 

А тому

=

 

u

+ α

Розділивши обидві частини рівності

 

 

 

u

 

 

 

 

 

на

x ,

маємо

 

 

 

 

y

=

( f ′

 

+ α

)

u .

Перейдемо до границі при

 

 

 

 

 

u

 

 

u

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → 0 і , врахувавши, що

 

u → 0

внаслідок неперервності функ-

ції u , що зумовлює і α → 0 , одержимо

 

 

 

 

lim

 

 

y

= lim

( f

 

′ + α )

lim

u або

y′

= f ′ u′ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0 x

 

 

 

x→0

 

u

 

 

x→0

x

x

u x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що доводить теорему.

Зауваження. В даній теоремі розглянуто складну функцію, де y залежить від x через проміжну змінну u. Можлива і більш складна залежність з двома, трьома і більшим числом проміжних змінних. При цьому правило диференціювання залишається тим же.

Так, наприклад, якщо y=f(u), де u=φ(t), а t=ψ(x), то y′( x ) = f ′( u ) ϕ′( t ) ψ′( x ) .

Приклад 1. Знайти похідну функції y = sin3 x. Розв’язування.Покладаємо u = sin x , тоді y = u3 .

Звідси

u′

=

cos x , y′

=

3u2 .

,

y′

=

3 sin2

x cos x .

x

u

 

Отже

x

 

 

При певному досвіді проміжний аргумент не пишуть, а використовують його неявно.

Приклад 2. Знайти y′, якщо y = tg ( x2 +4) . Розв’язування. Пам’ятаючи, що u = x 2 + 4 , знаходимо

y' =

 

1

 

( x2 + 4 )' =

2 x

 

.

cos

2 ( x2

+ 4 )

cos2 ( x2

+ 4 )

 

 

 

227

Приклад 3. Знайти похідну функції y = cos2 ( 3x + 2 ) .

Розв’язування. Цю функцію можна розглядати як складну з двома проміжними змінними

y = u2 , де u = cos t , t = 3x + 2.

y′ = 2 cos( 3x + 2 )(cos( 3x + 2 ))′ = 2 cos( 3x + 2 )( − sin( 3x + 2 ))×

× ( 3x + 2 )′ = −2 cos( 3x + 2 )sin( 3x + 2 ) 3 = −3 sin 2( 3x + 2 ).

§6. Похідна від оберненої функції

6.1. Поняття оберненої функції і її похідна

Нехай y=f(x) деяка диференційована функція від аргументу x.

Якщо в цьому рівнянні у розглядати як аргумент, а х як функ-

цію, то ця функція x = ϕ( y ) , де f [ϕ( y )] = y ,

називається оберне-

ною до даної функції.

 

 

 

Наша задача, знаючи похідну y'x =

dy

, знайти x'y =

dx

.

 

 

 

dx

 

dy

Теорема 1. Похідна функції x = ϕ( y ) ,

оберненої до даної

функції y = f(x) дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю.

Тобто, x'y =

1

або

dx

=

 

1

.

 

y'x

 

dy

dy

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

Доведення. Нехай дана функція y = f(x) і обернена їй функція x = ϕ( y ) . Тоді x = ϕ( y ) = ϕ[ f ( x )].

Отже, х можна розглядати як складну функцію. Диференцію-

ючи цю рівність по х , і враховуючи , що x' = dx = 1, застосовуючи dx

попередню теорему про диференціювання складної функції, маємо

1 =

dϕ

 

df

=

dx

 

dy

= x'y y'x . Звідси x'y =

1

або

dx

=

 

1

.

df dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy dx

y'x

 

dy

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

Теорема доведена.

228

6.2.Похідні від обернених тригонометричних функцій Наслідок 1. Справедливі формули:

(arcsin x )' =

 

 

 

1

 

 

; (arccos x )′ = −

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

Якщо

 

y = arcsin x , то обернена до неї

x = sin y,

− π < y < π . Оскільки

 

y'x =

1

 

, а x'y

= cos y, то

y' =

 

 

 

1

 

.

 

x'y

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos y

 

 

Виразимо cos y через х. Маємо sin y = x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тодіcos y =

 

 

1 − sin2 y =

 

1 − x2 . Перед коренем беремо знак

“+”, тому що cos y для всіх y − π , π додатний. Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y' = (arcsin x )' =

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно доводиться

(arccos x )' = −

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наслідок 2. Похідні функцій

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = arctg x,

y = arcctgx знахо-

дяться за формулами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( arctgx )' =

 

 

 

 

; ( arcctgx )′ = −

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доведення.

 

Оберненою

до

 

функції y = arctgx

 

є

функція

x = tgy ,

− π < y < π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки y'

 

=

 

1

 

,

 

x′

=

 

1

 

 

 

, то y' =

 

1

 

 

 

= cos2 y.

 

 

'

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виразимо cos2 y

 

через х. Маємо tg y = x. З шкільного курсу

відомо 1 + tg2 y =

 

1

 

 

 

. Тому

 

 

 

1

 

 

= 1 + x2 ,

cos2 y =

 

1

.

cos2 y

 

 

cos2 y

 

 

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Отже, y′ = ( arctgx )' =

 

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

229

1

 

 

Аналогічно доводиться ( arcctgx )' = −

 

.

 

1 + x 2

 

§7. Диференціювання функцій, заданих

 

неявно та параметрично

 

Нехай функція y від аргумента x задана неявно рівністю

F ( x, y ) = 0. Для знаходження похідної по x треба продифе-

ренціювати тотожністьF ( x, y( x )) ≡ 0 , використовуючи

правило

диференціювання складної функції і враховуючи, що y

залежить

від x . Після цього розв’язати рівняння, яке одержали відносно y′ . Приклад. Знайти y′ , якщо x2 + y2 = R2 . Розв’язування.Продиференціюємо задане рівняння по x.

2 x + 2 y y′ = 0 , 2 y y′ = −2 x , y′ = − x . y

Функція y від x може бути заданою параметрично у вигляді

системи рівнянь x = ϕ( t ) де параметр

: y = ψ( t ) , t - .

Якщо t змінюється, то x і y також змінюються і точка ( x, y )на площині опише деяку лінію, яка є графіком даної залеж-

ності

y

від

x. Якщо ця система рівнянь задає функцію

y від x і

при

цьому

функції ϕ( t )

і

 

ψ( t )

диференційовані,

причому

ϕ

≠

0,

то знайдемо

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′( t )

 

 

 

 

 

 

y′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Надамо t приросту

t , тоді

x та

y одержать прирости від-

повідно

 

 

x = ϕ( t + t ) − ϕ( t ),

y = ψ( t +

t ) − ψ( t ) ,

причому при

t → 0 ,

x → 0 і

y → 0 , тому що задані функції неперервні.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

y′( t )

 

 

 

 

 

,

y′

lim

 

lim

 

 

t

 

t →0

t

 

.

 

 

 

 

x

=

 

x

=

 

x =

ϕ′( t )

 

Отже

x =

x→0

t

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t →0

t

 

 

 

Тобто, y′ x=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

230

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности