VM_pidr

ТЕОРЕМА. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку діагональних елементів.

Доведення. Дійсно, оскільки визначник дорівнює алгебраїчній сумі добутків його елементів, узятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця, то єдиним відмінним від нуля доданком є добуток елементів, які стоять по головній діагоналі:

1 = 2 = a11 a22 a33 ... ann .

Довільний визначник можна звести до визначника трикутного вигляду, використавши його властивості.

Приклад 4. Обчислити визначник третього порядку, звівши його до трикутного вигляду:

Розв’язування. Поміняємо місцями елементи першого та третього рядків, змінивши знак перед визначником на протилежний:

Додамо до елементів другого та третього рядків відповідні елементи першого рядка, помножені відповідно на “-3” і “-2”:

З третього рядка винесемо спільний множник “-3” за знак визначника і одночасно поміняємо місцями другий та третій рядки. При цьому перед визначником знак зміниться на протилежний:

Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого рядка, помножені на “6”.

22

Звідси одержимо = −3 1 1 1 = −3.

Приклад 5. Обчислити визначник п’ятого порядку:

Розв’язування. Поміняємо місцями два перші рядки, змінивши знак перед визначником на протилежний:

Додамо до елементів другого, третього та четвертого рядків відповідні елементи першого рядка, помножені відповідно на “-2”, “-4”,“-3”. Одержимо

Додамо до елементів третього та четвертого рядків відповідні елементи другого рядка, помножені на “–7” і “–

Якщо додати елементи третього і четвертого рядків, то визначник матиме трикутний вигляд:

який дорівнює добутку елементів головної діагоналі:

= ( −1 ) ( −1 ) 4 40 = 160.

23

В цьому випадку вважають, що матриця має розмірність m×n. Матриці позначають великими латинськими буквами А,В,С, Е,...

Числа aij називаються елементами матриці, де перший індекс i означає номер рядка, а другий j - номер стовпця. Якщо кіль-

кість рядків не рівна кількості стовпців, тобто m ≠ n , то матриця називається прямокутною, розмірності m × n , а якщо m = n - квадратною. В цьому випадку число m = n називається порядком матриці. Елементи квадратної матриці, в яких i = j утворюють голов-

ну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто

Тут окремі елементи головної діагоналі можуть бути нульо-

вими.

Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, то її називають одиничною матрицею. Вона позначається буквою Е і має вигляд

24

Дві матриці А і В називаються рівними, якщо вони мають рівну кількість рядків та стовпців і відповідні елементи яких співпадають.

Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею або нульовою. ЇЇ позначають буквою О.

Якщо матриця складається тільки з одного рядка, то вона на-

зивається матрицею-рядком.

Матриця, яка складається з одного стовпця, називається мат-

рицею-стовпцем.

Якщо в матриці А поміняти рядки на стовпці, а стовпці – на відповідні рядки, то одержану матрицю називають транспонова-

ною і позначають АT .

Якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю ( А = 0 ) ,

25

називають матрицею трапецеїдального вигляду, якщо одночасно a11 ,a22 ,...,a jj відмінні від нуля.

Приклад 1. Задано матриці :

Тут:

1)A − прямокутна матриця розмірності 2 × 3 ;

2)AT − транспонована матриця до матриці A ;

3)B − матриця-стовпець;

4)C − матриця-рядок;

5)D − діагональна матриця четвертого порядку;

6)О − нульова матриця другого порядку.

Приклад 2. Для виготовлення п’яти видів ялинкових прикрас на фабриці витрачається певна кількість матеріалу. Конкретні цифрові дані вказані в таблиці:

Охарактеризувати зміст рядків та стовпців цієї таблиці. Розв’язування. Вказані 15 чисел можна записати у вигляді

прямокутної матриці розмірності 3 × 5 .

Кожен рядок і стовпець цієї матриці мають певний економічний зміст. Так, елементи першого рядка вказують кількість витраченого скла ( в кг) на виготовлення кожного із п’яти видів ялинкових прикрас. Числа другого рядка вказують на потреби в кількості заліз-

26

них прищіпок, які потрібні на виготовлення цих виробів. Елементи третього рядка характеризують потреби фарби (в кг) , яка використовується при виготовленні відповідного виду продукції.

Стовпці матриці вказують на конкретну кількість скла, залізних прищіпок та фарби, які потрібні на виготовлення кожного із п’яти видів ялинкових прикрас.

Так, наприклад, елементи третього стовпця означають, що на виготовлення прикрас третього виду потрібно 2,8 кг скла, 185 шт. залізних прищіпок і 1,4 кг фарби.

Приклад 3. Ціни на деякі види товару характеризуються у гривнях, доларах США(USD), євро(EUR), англійських фунтах(GBR) і рублях Росії(RUR).

Охарактеризувати зміст окремих елементів таблиці. Розв’язування. Числові дані цієї таблиці можна записати у ви-

гляді прямокутної матриці:

Кожний елемент має певний економічний зміст. Наприклад, елемент a21 означає, що жіноча кофта коштує 120 гр., елементa32

означає, що спортивний костюм коштує 60,4 доларів США, а елемент a44 вказує на ціну чобіт в 52,4 англійських фунтів.

Елементи, наприклад, першого рядка визначають ціни чоловічої куртки в різних грошових одиницях: 1230 грн.;232,1 доларів США; 238,8 євро; 155,3 англійських фунтів; 7318,5 рублів Росії.

§ 5. Дії над матрицями

Нехай задано дві матриці однієї розмірності m × n :

27

Означення. Сумою (різницею) двох матриць А і В називається така матриця С розмірності m × n , елементи якої сij до-

рівнюють алгебраїчній сумі ( різниці ) відповідних елементів aij і bij матриць А і В , тобто

Із цього означення випливають властивості:

1.A + B = B + A (комутативність);

2.A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (асоціативність);

3.A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральність);

4.( A ± B )T = AT ± BT ( транспонованість). Приклад 1. Знайти суму і різницю матриць.

Приклад 2. Три магазини “Продтовари” продають продукти протягом робочого дня. Дані про торгівлю двох змін характеризуються таблицями:

І зміна

28

ІІ зміна

Знайти дані про сукупний одноденний продаж товару кожним магазином.

Розв’язування. Зміст цих таблиць можна записати у вигляді двох прямокутних таблиць:

Сума цих двох матриць характеризує дані про сукупний одноденний продаж кожного із видів продукції:

Означення. Добутком матриці A на число k (або числa k на матрицю A ) називається матриця , елементами якої є добутки елементів матриці A на число k :

Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) випливає, що

1.k( mA ) = ( km )A;

2.( k + m )A = A( k + m ) = kA + mA = Ak + Am;

3.λ( A + B ) = λA + λB;

4.λA = 0 , якщо λ = 0;

5.λA = 0 , якщо A = 0.

29

Приклад 3. Знайти матрицю 4 A , якщо матриця

Розв’язування. Згідно з означенням, одержимо:

Приклад 4. Обчислити матрицю C = 2 A − 4B , якщо

Розв’язування. Використавши формулу множення матриці на число і формулу віднімання матриць, одержимо:

Приклад 5. Підприємство виробляє три види продукції А,В,С. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції задані в таблиці:

Знайти витрати ресурсів на виготовлення 6 комплектів проду-

кції.

Розв’язування. Витрати ресурсів на виробництво одиниці виробів можна представити у вигляді матриці:

30