VM_pidr

191

льший прибуток від виробництва товарів). Покупець оцінює попит Q1 при цій ціні і визначає свою ціну P2 , при якій цей попит Q1 рів-

ний пропозиції S1 . Ціна P2 нижча рівноважної (кожний покупець

хоче купити дешевше товар). В свою чергу продавець оцінює попит Q2 , що відповідає ціні P2 , і визначає свою ціну P3 і т.д. Процес

торгу продовжується і в кінцевому випадку приведе до рівноважної ціни P0 ( павутина закручується). Якщо розглянути послідовність

ний пропозиції S1 . Ціна Р2 нижче рівноважної і т.д.

Процес торгу продовжується і павутина розкручується. Якщо розглянути послідовність чисел p1 , p2 , p3 ,..., то ця послідовність

розбігається: lim pn = ∞ .

n→∞

3.6. Існування границі монотонної числової послідовності ТЕОРЕМА. Якщо послідовність x1 , x2 ,..., xn ,... є монотонно

зростаючою (спадною) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

Доведення. Нехай послідовність ( xn ) є спадною, тобто

x1 > x2 ,> ... > xn > ..., і нехай вона обмежена знизу, тобто існує таке число m , що xn ≥ m, n = 1,2,...

Тоді множина значень послідовності (xn) має нижню грань,

льки а є нижня грань множини значень послідовності (xn), то для всіх її значень виконується нерівність xn >a.

192

Проте, згідно з властивістю нижньої грані, яке б ми не взяли як завгодно мале додатне число ε>0 знайдеться таке натуральне число N , що xN < a + ε . Тоді, беручи до уваги те, що послідовність

спадна, дістаємо нерівність a < xn < a + ε як тільки n ≥ N або

a − ε < xn < a + ε як тільки n≥N. Отже, xn − a < ε як тільки n ≥ N ,

що доводить теорему.

Примітка 1. Слід зауважити, що ця теорема дає ознаку, за якою можна встановити тільки існування границі числової послідовності, але не можна знайти числове значення границі.

Примітка 2. Умова монотонності в розглянутій теоремі є обов’язковою. Не всяка обмежена числова послідовність (xn) має

границю. Так послідовність xn = ( −1 )n− 1 , n N є обмежена ( xn ≤ 1 ) , але границі немає.

Приклад 1. Довести, що послідовність

Розв’язування. Доведемо, що числова послідовність (xn) є зростаючою. Справді,

Звідси випливає, що послідовність xn є обмеженою.

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що задана послідовність має границю.

193

Примітка 3. Зауважимо, що добуток n послідовних натура-

Розв’язування. Послідовність (xn), починаючи з певного значення n і для всіх його наступних значень, є спадною, оскільки

xn+ 1 < xn .

Крім того, послідовність (xn) є обмеженою знизу, бо члени цієї послідовності більші, наприклад, за нуль.

Отже, існує границя розглядуваної послідовності, причому

Остання рівність можлива при a=0, що треба було довести.

3.7. Нескінчено малі величини та їх властивості

Означення 1. Якщо числова послідовність (αn) має своєю

границею нуль ( lim α n = 0 ) , то така послідовність називається

n→ ∞

нескінчено малою.

Наприклад, αn = 1 є нескінчено мала величина, тому що n

lim 1 = 0.

n→∞ n

Нескінчено малі величини будемо позначати α n ,βn ,γ n . Виходячи з означення границі числової послідовності

194

можна сформулювати еквівалентне означення нескінчено малої величини з означенням 1.

Означення 2. Числова послідовність ( α n ) називається не-

скінчено малою величиною, якщо для будь-якого наперед заданого як завгодно малого додатного числа ε > 0 існує такий номер N ,

починаючи з якого виконується нерівність α n < ε , як тільки n ≥ N .

Якщо різницю xn − a позначити через αn , тобто xn − a = α n , то ця різниця на основі означення 2 і (3.12) буде нескінчено малою,

тоді xn − a < ε , коли n ≥ N .

Висновок. Якщо послідовність ( xn ) має границю число a , то її загальний член можна подати у вигляді xn = a + α n , де α n –

нескінчено мала величина ( lim α n = 0.).

n→ ∞

◙Властивості нескінчено малих величин.

1.Алгебраїчна сума декількох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2.Добуток нескінченно малої величини на величину обмежену є величина нескінченно мала.

3.Добуток сталої величини на нескінченно малу величину є нескінченно мала величина.

4.Добуток двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

§4. Границя функції

4.1.Означення границі функції

В багатьох прикладних задачах потрібно знайти значення

195

функції f(x) при прямуванні неперервного аргументу x до деякої точки x0 , в якій функція може бути і невизначена. Така поведінка фу-

нкції в деякій точці x0 називається границею функції в точці x0 . Оскільки x0 може бути як скінченим числом, та і дорівнювати

± ∞, то приведемо декілька означень границі функції.

f ( x ) при x , що прямує до x0 ( x ≠ x0 ), якщо для будь-якого мало-

ку і частки для числових послідовностей (функцій цілочисельного аргументу xn = f ( n ), n N є справедливими і для функцій непе-

рервного аргументу, а саме:

ТЕОРЕМА. Нехай на множині X задані функції f ( x ) і ϕ( x ) , x0 − гранична точка множини X і в точці x0 обидві фун-

196

При знаходженні границь функції будемо користуватися тим, що для основних елементарних функцій в будь-якій точці із області

Розв’язування. В результаті безпосередньої підстановки x = 3

у даний дріб маємо невизначеність ( 0 ) . Тому, використовуючи фо-

0

рмули розкладу, зробимо такі перетворення:

197

Розв’язування. Аналогічно, як у прикладі 2, підстановка нуля

замість x у заданий вираз дає невизначеність ( 0 ) . Перетворимо

0

дріб таким чином: помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений до чисельника, а потім скоротимо дріб. В результаті одержимо

ближення точок x до точки x0 може бути двостороннім. Якщо при знаходженні границі функції f ( x ) при умові, що x → x0 і x приймає тільки значення менші від x0 (більші від x0 ) і якщо така

границя існує, то її називають лівостороньою (правостороньою) границею функції f ( x ) . Лівосторонні і правосторонні границі поз-

начають символом:

198

ТЕОРЕМА 1. Функція f ( x ) в точці x0 має границю тоді і тільки тоді, коли в цій точці функція f ( x ) має праву і ліву ( f ( x0 + 0 ) і ( f ( x0 − 0 ) ) границі і права границя дорівнює лівій границі ( f ( x0 + 0 ) = f ( x0 − 0 )).

4.3. Перша визначна границя

Для розкриття невизначеностей вигляду ( 0 ) у тригонометри-

перетворюючи вираз 1 − cos x , знаходимо

199

і, зважаючи на непарність функції sinx, знайдемо

0 < 1 − sin x < 1 x2 , тобто нерівність (А) правильна для всіх x 2

( − π , π ), x ≠ 0 .

22

Для наперед заданого числа ε > 0 число δ > 0 візьмемо таким,

200