VM_pidr

Означення 1. Інтервалом називається множина всіх чисел (точок), які знаходяться між двома якими-небудь числами (точками), що називаються кінцями інтервалу.

Інтервал з кінцями x = a і x = b , де a < b , можна задати нерівностями a < x < b або записати (a ,b).

Якщо разом з множиною точок інтервалу розглядати і його кінці, то одержимо замкнений інтервал або відрізок . Замкнений інтервал з кінцями x = a і x = b задається нерівностями a ≤ x ≤ b ; його позначають так: [a,b]. Інтервал ( a,b ) називається відкритим,

а інтервали [a,b),(a,b] піввідкритими.

Множину дійсних чисел, що задовольняє нерівність x > a позначають (a,+∞ ), а множину чисел, що задовольняють нерівність x ≥ a позначають символом [a,+∞ ).

Ми будемо розглядати також числові інтервали ( −∞ ,a ) , тобто множину чисел таких, що x < a і (− ∞ ,a], якщо x ≤ a .

Множину всіх дійсних чисел R будемо називати числовим інтервалом ( −∞ ,+∞ ) , якщо − ∞ < x < +∞ .

Зауважимо, що більшість понять у математиці вводиться за допомогою означень. Наприклад, квадрат можна означити як прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою. Тут більш вузьке поняття - квадрат означається через посередництво іншого більш широкого поняття - прямокутника. Зрозуміло, що дати строге означення всіх понять, які є в математиці, неможливо. Деякі найбільш загальні поняття (первісні) слід засвоїти не за допомогою означень, а іншим шляхом. До таких понять належить поняття множини. Це поняття засвоюємо, розглядаючи приклади. Так можна говорити про множину всіх міст певної конкретної країни, про множину всіх студентів деякого факультету, про множину чисел, які наведені вище у даному пункті. Множини позначають великими буквами: А,В,С та

ін. Кожна множина складається з елементів, які позначають малими буквами: a,b,c, x, y та ін. Наприклад, число 21 є елемент множини

всіх натуральних чисел. Те, що елемент x належить множині X записують так: x X . Якщо елементи x не належать множині X , то записують x X .

Нехай дано дві множини А і В . Якщо кожний елемент множини А є одночасно й елементом множини В , то кажуть, що мно-

171

жина А є підмножиною В , і записують А B або B A .

Якщо А B і B A , то кажуть, що множини А і В рівні і записують А = B.

У математиці розглядають і так звану порожню множину, яка не містить жодного елемента. ЇЇ позначають знаком Ø. Наприклад,

множина всіх дійсних коренів рівняння x2 + 1 = 0 є порожня множина (рівняння x2 + 1 = 0 немає дійсних коренів).

1.3. Абсолютна величина дійсного числа

Означення 2. Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа а називається саме число а , якщо а додатне і число -

а , якщо а від’ємне. Абсолютна величина а = о приймається

◙Властивості абсолютної величини

1.Абсолютна величина алгебраїчної суми не більша суми аб-

3. Абсолютна величина частки дорівнює частці від ділення аб-

солютних величин діленого і дільника : а = a , якщо b ≠ 0 . b b

4. Для будь-якого a правильні співвідношення: a ≥ 0; a = − a ; a ≤ a ; − a ≤ a .

1.4.Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівностями величин. Окіл точки

1. Нехай α > 0 . Нерівність x < α рівносильна нерівностям

−α < x < α .

2.Нехай α > 0 . Нерівність x − a < α рівносильна нерівностям a − α < x < a + α .

Означення 3. Околом точки a називається кожен інтервал вигляду ( a − α ,a + α ), де α > 0 .

172

Таким чином, запис x − a < α , α > 0 , означає множину чисел x , що знаходяться в околі точки a .

1.5. Верхня і нижня грані дійсних чисел

Нехай дано непорожню множину X дійсних чисел ( X R ).Множина X називається обмеженою зверху (знизу), якщо

існує дійсне число α таке, що для всіх x є X правильна нерівність x ≤ α( x ≥ α ) .

Число α при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини X . Зрозуміло, що коли α -верхня (нижня) межа множини X , то будь-яке число β > α ( β < α ) також буде верхньою (ниж-

ньою) межею.

Означення 4. Найменша верхня межа непорожньої обмеженої зверху множини X дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і позначається sup {X}.

Означення 5. Найбільша нижня межа непорожньої обмеженої знизу множини дійсних чисел X називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і позначається inf {X} .

жини X . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад,

173

сло, але немає найменшого, а у множині X2 = (a,b) немає ні най-

меншого, ні найбільшого числа.

Сформулюємо без доведення наступне твердження.

ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини X дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.

Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома властивостями sup{X} і inf{X} .

xε < β + ε .

Зазначимо, що коли множина дійсних чисел необмежена зверху (знизу), то за означенням sup{X}= +∞ ( іnf {X}= −∞ ).

§2. Класифікація функцій

2.1. Поняття функції. Способи задання функції

Означення 1. Нехай D і Y - дві числові множини. Якщо кожному значенню x D за деяким правилом (законом) f по-

ставимо у відповідність одне дійсне число y Y , то будемо гово-

рити , що на множині D задано функцію f .

Множина D = D( f ) називається областю визначення функції, а множина E = f ( D ) = {f ( x ), x D} - називається облас-

тю значень функції, х – називається аргументом функції. Функції позначаються малими буквами латинського

алфавіту f ,q,h,u,v і т.д.

174

Але для простоти вивчення курсу вищої математики надалі ми будемо використовувати такі формулювання і позначення функцій: нехай задано функції y = y( x ),u = u( x ),v = v( x ) і т.д.

Основними способами задання функції є такі: аналітичний, табличний, графічний, словесний.

Функція, задана аналітично, якщо вона задана за допомогою однієї або кількох формул. Табличний спосіб полягає в тому, що функцію задають за допомогою таблиці, яка містить ряд окремих значень аргументу x і відповідні їм значення функції.

Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що її подають на малюнку у вигляді певної кривої, що задає множину точок {x, f ( x )}, яку називають графіком функції.

Якщо функцію не можна задати першими трьома способами, то її описують за допомогою висловлень (опису). В цьому полягає словесний спосіб задання функції.

2.2. Класифікація функцій

а) Обмежені функції:

Означення 2. Функція y = f ( x ) , яка визначена на множині

D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М таке, що для всіх x D виконується нерівність f ( x ) ≤ M

( f ( x ) ≥ M ).

Якщо функція y = f ( x ) , обмежена на множині D і зверху і

знизу, то вона називається обмеженою на всій множині D . Наприклад, функція y = sin x обмежена на всій числовій осі,

sin x ≤ 1 для x ( − ∞ ,∞ ) .

б) Монотонні функції:

Означення 3. Функція y = f ( x ) , яка визначена на множині

D називається: а) зростаючою; б) спадною; в) незростаючою; г) неспадною на цій множині, якщо для будь-яких х1 і x2 , які на-

лежать множині D і при х1 < x2 мають місце відповідні нерів-

ності : а) f ( x1 ) < f ( x2 ); б) f ( x1 ) > f ( x2 ); в) f ( x1 ) ≥ f ( x2 );

г) f ( x1 ) ≤ f ( x2 ).

Функції, які задовольняють даному означенню, називають монотонними.

175

в) Парні і непарні функції:

Означення 4. Функція y = f ( x ) називається парною, якщо для будь-яких x D = {− a < x < a} виконується умова f ( − x ) = f ( x ) і непарною, якщо f ( − x ) = − f ( x ).

Наприклад, y = x2 - парна функція, y = x3 - непарна функція. Зауважимо, що графік парної функції симетричний відносно осі Оу ,

а графік непарної функції - симетричний відносно початку координат.

г) Періодичні функції:

Означення 5. Функція y = f ( x ) , яка визначена на всій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число T ≠ 0,

жині U , а функціяu = ϕ( x ) визначена на множині D і всі її значення u U . Тоді змінна y через проміжну змінну u є функцією x : y = f ( ϕ( x )). В цьому випадку y є складною функцією або

функцією від функції.

Наприклад, y = u2 , u = cos x. Тоді y = cos2 x є складною фу-

нкцією x .

е) Обернені функції:

Нехай функція y = f ( x ) задана на множині D , а множина

значень (область зміни функції ) є Е . Якщо кожному значенню y Е відповідає одне значення x D , для якого y = f ( x ) , то на

множині Е можна визначити функцію x = f −1 ( y ) так, що кожному значенню y Е буде відповідати одне значення x D , для якого f ( x ) = y.

Функція x = f −1 ( y ) називається оберненою відносно функції y = f ( x ) , яка задовольняє для всіх y Е умові x = f ( f −1 ( y )).

176

нянням вигляду F ( x, y ) = 0 , то у припущенні, що на деякій мно-

функціями.

Означення 7. Основні елементарні функції, а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять лише скінчене число арифметичних дій (+,-,×,:) і суперпозицій основних елеме-

нтарних функцій, називаються елементарними функціями.

- елементарна функція.

Елементарні функції поділяються на такі класи:

1)Цілі раціональні функції:

Цілі раціональні функції – це функції вигляду

y = a0 xn + a1 xn− 1 + ...+ an , де ak ( k = 0,1,2,...,n ) − сталі дійсні числа.

Такі функції називаються ще многочленами, а числа ak - коефіцієнтами многочлена; якщо a0 ≠ 0 , то число n називають степенем

многочлена.

2) Раціональні функції:

Раціональні функції – це функції вигляду

177

раціональних функцій (многочленів).

Якщо m ≠ 0 , b0 ≠ 0 , то раціональна функція називається

дробово-раціональною.

3)Ірраціональні функції:

Ірраціональні функції - це функції, які задані за допомогою суперпозицій раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками і чотирьох арифметичних дій, застосованих

5)Трансцендентні функції:

Елементарні функції, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними елементарними функціями. Можна показати, що тригонометричні, обернено тригонометричні, показникова і логарифмічна функції є трансцендентними елементарними функціями.

6) Деякі неелементарні функції:

1. y = x - абсолютне значення, або

модуль,числа

y

O x

178

P на вироблений товар, зрозуміло, що чим менша ціна на товар, то більший попит при певній купівельній спроможності населення , і навпаки, якщо ціна на товар зростає, то пропозиція зростає.

лежать від зовнішніх причин ( благополуччя населення, політичної ситуації, пори року і т.д.).

179

Графіки даних функцій мають вигляд:

§3. Границя числової послідовності

3.1.Числова послідовність

Означення 1. Кожна функція f визначена на множині натуральних чисел N = {1,2,3,...,n,...} називається числовою послі-

довністю.

Запишемо значення функції f :

Отже, числову послідовність (3.1) можна записати так : x1 , x2 , x3 ,..., xn ,..., або скорочено

де x1 , x2 ,... називають членами послідовності, а xn - “енним ” або

то задано закон утворення її членів, тобто надаючи номеру n значень 1,2,3,... можна однозначно визначити всі її члени

180