VM_pidr
.pdf
◙ Найпростіші задачі на застосування методу координат. |
|
|||||||||
а) Віддаль між двома точками на площині. |
|
|
|
|||||||
у |
|
B |
|
|
Нехай |
задані |
дві |
точки |
з |
|
|
|
своїми координатами: A( x1 ; y1 ) |
, |
|||||||
d |
|
|
||||||||
B2 |
|
|
B( x2 ; y2 ) . |
Треба знайти |
віддаль |
|||||
|
|
|
|
|||||||
A2 |
A |
C |
|
між цими точками. Зробимо малю- |
||||||
О |
A1 |
B1 |
х |
нок (мал.6). |
|
|
|
|
||
|
Точки A і B спроектуємо на |
|||||||||
Мал.6 |
|
|
|
координатні осі. Їх проекції на |
||||||
вісьOx позначимо відповідно |
через |
A1 |
і |
B1 , а |
на вісь Oy |
- |
||||
відповідно через A2 |
і B2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді ОA1 = x1 , ОB1 = x2 , ОA2 = y1 , ОB2 = y2 . |
|
|
|
|||||||
Через точку A проведемо пряму, паралельну осі абсцис до пе- |
||||||||||
ретину з прямою BB1 в точці C . З одержаного прямокутного три- |
||||||||||
кутника ABC за теоремою Піфагора знаходимо |
|
|
|
|||||||
d 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
На основі формули (2.2) дану рівність перепишемо так: |
|
|||||||||
d 2 = |
|
x2 − x1 |
|
2 + |
|
y2 − y1 |
|
2 , абоd = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 |
(2.3) |
|
|
|
|
Знак перед коренем у формулі (2.3) береться (+) тому, що віддаль – величина додатна.
Зауваження. Різниця координат у формулі (2.3) підноситься до квадрату і тому немає значення, яку точку вважати першою, а яку другою.
Приклад . Знайти віддаль між точками A( 4;5 ) i B( 9;−7 ) . Розв’язування. За формулою (2.3) знаходимо
d =
у
B2 y2
C2 y
A2 y1
О
Мал.7
( 9 − 4 )2 + ( −7 − 5 )2
B
C
A
х1 х х2
A1 C1 B1 х
= 
25 + 144 = 
169 = 13.
б) Поділ відрізка в заданому відношенні.
Нехай на площині задано дві довільні точки A(x1,y1) і B(x2,y2) Вважаємо A(x1,y1) першою точкою, а B(x2,y2) другою точкою. Проведемо через ці точки пряму(мал.7).
Нехай точка С( x, y ) лежить
91
на відрізку AB і ділить його на два відрізки AC і CB , причому
відношення їх дорівнює λ , тобто λ = AC (число λ відоме). Випа-
CB
док, коли точка С співпадає з точкою B виключаємо, бо знаменник перетворюється в нуль. Наша задача полягає в тому, щоб знайти координати точки С( x, y ) через координати точок A( x1 , y1 ) ,
B( x2 , y2 ). та число λ .
Спроектуємо точки A, C та B на координатну вісь Ox (мал.7) і позначимо їх проекції через A1 , C1 та B1 . Використовуючи теорему про пропорційні відрізки, що містяться між паралельними
прямими, |
одержимо |
A1C1 |
= |
AC |
|
= λ . |
Відомо, |
що |
|||
C1B1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
CB |
|
|
|
||||
A1C1 = x − x1 , C1B1 = x2 − x , тоді |
|
x − x1 |
= λ . |
Розв’язуючи |
цю |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 − x |
|
|
|
||||
рівність відносно x, знаходимо |
|
|
|
|
x = |
x1 + λx2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + λ |
|
|
Аналогічно, спроектувавши точки A, C та B на координатну вісь Oy (мал.7) і зробивши необхідні викладки, як вище, знаходимо
ординату точки C : |
|
|
y = |
y1 + λy2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + λ |
|
Отже, координати точки С( x, y ) , яка ділить відрізок AB |
||||||||||
у відношенні λ (рахуючи від A до B ), обчислюються за форму- |
||||||||||
лами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
+ λx |
2 |
|
|
|
|||
x = |
|
|
|
|
, |
|
||||
|
1 + λ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
||||
y = |
y1 |
+ λy2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 + λ |
|
|
|
|
|
|
||
Якщо точка C є серединою відрізка AB , то λ = 1 і тоді |
||||||||||
|
x |
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
, |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
(2.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
y1 + y2 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. При одержанні формул (2.4) ми допускали, що відрізок АВ не паралельний ні одній з осей координат. Однак
92
одержані формули (2.4) справедливі і тоді , коли відрізок АВ паралельний вісі Ox ( y = y1 = y2 ), або осі Oy ( x = x1 = x2 ) .
Крім цього, все викладене вище справедливе й тоді, коли точка С( x, y ) знаходиться зовні АВ , тобто на його продовженні.
Приклад 1. Дано дві точки A(7;-2)і B(-3;-5). На продовженні прямої АВ знайти точку C(x,y), віддаль від якої до точки A в п’ять раз більша за віддаль до точки B. Знайти довжину AC .
|
Розв’язування. Зробимо малюнок. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
За умовою |
задачі |
(мал.8) |
у |
|
|
|
||||||
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
λ = |
= −5. Тепер за формулою |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
CB |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
х |
||
|
|
|
|
|
-3 |
1 |
|
7 |
|||||
(2.4) знаходимо |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
-2 |
|
A |
|
|||||
|
7 + ( −5 )( −3 ) |
|
22 |
|
11 |
|
|
|
|
||||
x = |
= |
= − |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + ( −5 ) |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
− 2 + ( −5 )( −5 ) |
= |
23 |
= − |
|
23 |
. |
|
|
|
|
|
|
B |
-5 |
|
|||||||||||||
|
1 + ( −5 ) |
|
|
− 4 |
4 |
|
|
|
|
|
C |
|
Мал.8 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Значить, точка C( − |
11 |
;− |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Довжину |
|
АС |
|
знаходимо за формулою (2.3) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
АС |
|
= (7 + |
11 |
)2 + ( −2 + |
23 |
)2 = |
5 19 |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
Приклад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2. |
|
|
|
Знаючи |
|
|
|
координати |
вершин |
трикутника |
||||||||||||||||||
A( 2;3 ) , B( −4;5 ) і C( −2;−5 ) , |
знайти точку |
M перетину медіан |
|||||||||||||||||||||||||||
трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Розв’язування. Координати точки D (середина сторони BC ) |
||||||||||||||||||||||||||||
буде xD = − 4 − 2 = −3 , yD |
= |
5 − 5 |
= 0 ,тобто D( −3;0 ) . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Шукана |
точка |
|
M |
ділить |
кожну медіану у |
відношенні |
||||||||||||||||||||||
λ = 2 : 1 , рахуючи від вершини. Тепер підставляючи у формули
(2.4) λ = 2 та координати |
точок A і |
D , знайдемо координати |
||||||||||
шуканої точки M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xM = |
2 + ( −3 ) 2 |
= |
2 − 6 |
= − |
4 |
; yM |
= |
3 + 0 2 |
= |
3 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 + 2 |
3 |
3 |
|
1 + 2 |
3 |
|
||||||
93
Отже, |
|
|
|
M ( − 4 ;1 ). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
§3. Декартова прямокутна система координат в просторі |
||||||||||
Положення точки в просторі будемо визначати відносно |
||||||||||
прямокутної |
системи |
координат |
в |
просторі. |
Дана |
система |
||||
Оxyz складається із трьох взаємно перпендикулярних осей |
Ox,Oy |
|||||||||
та Oz , які перетинаються в одній точці O ,яка називається початком |
||||||||||
координат. Вісь Ox називається віссю абсцис, вісь Oy - віссю орди- |
||||||||||
z |
|
|
|
нат і вісь Oz - віссю аплікат. |
|
|
||||
|
|
|
|
Нехай точка M є довільною |
||||||
C |
|
|
|
|
||||||
|
|
M |
|
точкою простору (мал.9). |
|
|
||||
|
|
|
|
Знайдемо проекції точки |
M |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
B |
на координатні осі. Для цього через |
||||||
|
|
точку |
|
M проведемо три площини, |
||||||
|
|
|
y |
|
||||||
x A |
|
Мал.9 |
які будуть перпендикулярні до ко- |
|||||||
|
ординатних |
осей |
Ox,Oy |
та |
||||||
Oz .Нехай ці площини перетинають вісі Ox,Oy і |
Oz відповідно в |
|||||||||
точках A,B і C . Тоді координата x точки A на осі Ox називається |
||||||||||
абсцисою точки |
M , |
координата |
y точки |
B на |
числовій |
вісі |
||||
Oy називається ординатою точки M , |
а координата z точки C на |
|||||||||
числовій вісі Oz називається аплікатою точки |
M . Значить, |
величи- |
||||||||
ни направлених відрізків ОА, ОВта ОС , тобто числа x,y,z є коор- |
||||||||||
динатами точки M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким чином, в даній системі координат кожній точці |
M |
|||||||||
простору відповідає єдина упорядкована трійка чисел ( x; y; z ) . В |
||||||||||
цьому записі |
x означає перше число, |
y - друге, z - третє. І навпаки, |
||||||||
кожній упорядкованій трійці чисел ( x; y; z ) відповідає тільки одна |
||||||||||
точка простору M. Отже, прямокутна система координат в просторі |
||||||||||
встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх |
||||||||||
точок простору і множиною упорядкованих трійок чисел. |
|
|
||||||||
Площини Oxy, Oyz, і Oxz називаються координатними |
|
|
||||||||
площинами і поділяють весь простір на вісім частин. |
|
|
|
|||||||
Приклад 1. Побудувати точки M1(1;–2;3), M2(–1;1;2). |
|
|
||||||||
94
|
Розв’язування. На вісі Ox відкладаємо відрізок OA = 1 . Через |
|||
точку |
A проводимо пряму, |
z |
||
паралельну вісі |
Oy і на ній |
|||
|
||||
відкладаємо відрізок AB= -2. Через точку B проводимо пряму, паралельну вісі Oz і відкладаємо відрізок BM1=3
Кінець цього відрізка дає шукану точку M1 (мал.10). Точка M2(-1;1;2) будується аналогічно.
М1
M2
A |
01 |
1 |
y |
B |
|
|
|
x Мал.10
§4. Скалярні і векторні величини
Уфізиці, математиці, економіці і інших науках зустрічаються величини двох видів: одні з них характеризуються тільки числом, а інші – числом і напрямом в просторі.
Величини називаються скалярними або скалярами, якщо кожна із них визначається своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць, наприклад, довжина, площа, об’єм, час, температура.
Величини називаються векторними або векторами, якщо кожна із них визначається числовим значенням і напрямом. Наприклад, сила, швидкість, прискорення.
Означення. Напрямлений відрізок прямої називається век-
тором.
→
Вектор будемо позначати символом AB . Перша буква означає початок вектора, а друга – його кінець. Вектор також будемо познача-
→ти однією малою буквою з стрілкою на
a |
|
→ |
А |
В |
верху, наприклад a (мал.11). |
Мал.11 |
|
Якщо початок і кінець вектора |
|
|
→ |
співпадають, то вектор називається нульовим і позначається 0 або просто 0 .Віддаль між початком і кінцем вектора називається його
→ →
довжиною , або модулем і позначається AB або а .
Ми будемо вивчати вільні вектори. Такий вектор можна переносити по його лінії дії або паралельно самому собі.
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних прямих, або на одній і тій же прямій, називаються колінеарними.
95
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних площинах або на однійі тійжеплощині, називаютьсякомпланарними.
Відповідно, компланарні вектори, які приведені до одного і того ж початку, будуть знаходитися на одній площині.
Означення. Два вектори рівні, якщо вони однаково напрямлені і модулі їх рівні .
Означення. Два вектори, в яких модулі рівні, а напрямки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|||||
протилежні, називаються протилежними a і ( − a ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
||||
Одиничний вектор (орт) |
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює |
a |
і |
||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
→ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
позначається так: |
= |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
§5.Дії над |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) Добуток вектора на число. |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
на число λ називається |
|||||||||||||||||||||
Означення 1. Добутком вектора a |
|||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|||||||
вектор b |
= λ a , який |
має довжину |
|
b |
|
|
= |
|
λ |
|
|
|
a |
|
і напрям |
його |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
→
→співпадає з напрямом вектора a , якщо
a |
→ |
→ |
|
λ > 0 і протилежний йому, |
||||||
b |
= λ a(λ > 0 ) |
|||||||||
|
(мал.12). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Мал.12 |
→ |
|
→ |
|
|
||
|
|
|
|
Умова |
b |
= λ a |
|
|
||
є умовою |
колінеарності двох |
|
|
|
|
|
||||
векторів. |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
||
|
б) Додавання векторів. |
a |
→ |
|
→ |
→ |
||||
|
Означення 2. Сумою двох |
|
= |
|||||||
|
|
c |
a |
+ b |
||||||
→ → |
век- |
|
|
векторівa і b називається |
→ |
||
→ → → |
|
||
|
b |
||
тор с = a + b , початок |
якого |
||
|
співпадає з початком вектора
якщоλ < 0
(2.6)
→
b
Мал.13
→ |
|
→ |
a , а кінець співпадає з кінцем вектора |
b , при умові що початок |
|
→ |
співпадає з кінцем вектора |
→ |
вектора b |
a (правило трикутника) |
|
(мал.13).
96
→
Зрозуміло, що вектор с в цьому випадку є діагоналлю пара-
→ →
лелограма, побудованого на векторах a і b (правило паралелогра-
ма) (мал.13).
Для векторної суми справедливий переставний закон
→ |
→ |
→ |
→ |
a |
+ b |
= b |
+ a. |
Легко переконатися, що для векторної суми має місце сполучний
→ → → → → →
закон. ( a + b )+ c = a + ( b + c ) .
Виходячи з означення 2, легко знаходимо суму, наприклад, чотирьох
→ → → →
векторів a , b , c ,d . (мал.14).
|
→ |
→ |
c |
|
|
b |
|
→ |
→ |
a |
d |
→ |
|
e |
Мал.14 |
→ |
→ |
Вектор e |
сполучає початок першого вектора a з кінцем век- |
→
тора d (правило многокутника).
в) Віднімання векторів.
ВС Дію віднімання векторів
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можна розглядати як обернену дію |
||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
щодо додавання векторів. |
|
|
|||
|
b |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
→ → |
||
|
|
→ |
c |
= a |
− b |
Означення. |
Різницею |
a − b |
|||||
|
|
a + |
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
називається вектор |
→ |
який в |
||
|
О |
a |
|
|
|
А |
|
с , |
|||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
сумі з вектором |
→ |
дає |
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Мал.15 |
|
|
|
|
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (мал.15), тобто a − b = |
с. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
→ |
|
|
Як видно з мал.15, що одна діагональ OC є сумою |
a |
+ b , а |
|||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
друга діагональBA є різницею векторів a і b . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Дамо ще одне означення різниці векторів. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Означення. |
Різницею |
→ |
→ |
які |
мають |
||||||
|
|
двох векторів a і |
b , |
||||||||||
→
спільний початок, називається вектор с , який сполучає кінці цих векторів і напрямлений в сторону зменшуваного.
97
§6. Проекція вектора на вісь
Нехай маємо
→
a
А
φ
А1
Мал.16.
довільну вісь |
l |
на площині і деякий вектор |
||
В |
→ |
→ |
|
|
AB = a |
(мал.16). |
|||
|
||||
СОпустимо із початку A век-
|
тора і |
з кінця |
B перпендикуляри на |
|
В1 |
вісь l |
. Основами |
перпендикулярів |
|
l будуть |
точки |
A1 |
і B1 , які назива- |
|
ються проекціями точок A і B . Величина A1B1 називається
|
→ |
→ |
проекцією |
вектора AB на вісь l |
і позначається Прl AB , тобто |
A1B1 = Прl |
→ |
|
AB . |
|
→
Означення 1. Проекцією вектора a на вісь l називається величина відрізка A1B1 взята із знаком плюс, якщо напрям відрізка A1B1 співпадає з напрямом вісі l , і з знаком мінус, якщо на-
прями протилежні.
З точки A проведемо пряму, паралельну осі l , яка перетне ві-
→
дрізок BB1 в точці C .Вектор a утворює з віссюl кут ϕ . Величина
відрізка AC дорівнює величині відрізка |
A1 B1 , а тоді з |
ABC зна- |
|||||
ходимо |
|
|
|
|
|
||
→ → |
→ |
|
→ |
|
|||
Прl AB = |
AB |
cos ϕ або Прl |
a |
= |
a |
cos ϕ |
(2.7) |
Означення 2. Проекція вектора на будь-яку вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між віссю і вектором.
→
Якщо кут ϕ гострий, то проекція Прl a додатне число, а якщо
→
кут ϕ тупий, то проекція Прl a - від’ємне число.
◙Властивості проекцій.
→→
1.Якщо вектори a і b рівні, то величини їх проекцій на одну
→ |
|
→ |
й ту ж вісь l також рівні, тобто Прl a |
= Прl |
b . |
98
2. Проекція суми векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі проекцій доданків на ту ж вісь, тобто
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
Прl ( a |
+ b |
+ c ) = Прl a |
+ Прl b |
+ Прl c . |
|
3. Проекція різниці двох векторів на вісь l дорівнює різниці величин проекцій на ту ж вісь, тобто
|
→ |
→ |
→ |
→ |
Прl ( a |
− b ) = Прl a |
− Прl b . |
||
→ |
помножений на будь-яке число λ , то вели- |
|||
4. Якщо вектор a |
||||
→ |
на вісь l |
також помножиться на число λ , |
||
чина проекції вектора a |
||||
тобто
z
О
у
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
||
|
|
|
Прl ( λ a ) |
= λПрl a . |
|
|
||||||
|
|
|
§ 70. Проекції вектора на осі координат |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглядається прямокутна сис- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тема координат |
Oxyz в прос- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
торі і довільний |
вектор AB . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
= x, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
А |
|
|
|
|
|
|
Нехай Прx AB |
||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прy AB = y, Прz AB = z. |
|||
|
|
А1 |
|
|
|
|
В1 |
|
Проекції x, y,z |
|
→ |
|
|
x1 |
|
|
|
|
х |
вектора AB на |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатні осі називають ко- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ординатами вектора і запису- |
|||
Мал.17. |
→ |
|
|
|||||||||
ють AB = ( x, y,z ) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Якщо задані дві точки A( x1 ; y1 ; z1 ) і B( x2 ; y2 ; z2 ) , то коор-
→
динати вектора AB знаходяться за формулами
x = x2 − x1 , y = y2 − y1 , z = z2 − z1 . |
|
|
Дійсно, проведемо через точки |
A і |
B площини, |
перпендикулярні до осі Ox і позначимо |
точки |
їх перетину |
відповідно A1 і B1 (мал.17). Точки A1 і B1 мають на осі Ox координати x1 і x2 , але A1B1 = x2 − x1 на основі формули (2.1) , а тому x = x2 − x1 . Аналогічно доводиться, що y = y2 − y1 , z = z2 − z1 .
99
§8. Напрямні косинуси вектора
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
Нехай маємо вектор a( x1 ; y1 ; z1 ) = OM і будемо вважати, що |
||||||||||||
він виходить з початку ко- |
|
z |
|
|
|
|
|
||||||
ординат і не знаходиться ні |
|
|
|
|
|
|
|||||||
в |
одній |
координатній |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
площині. |
Через |
точку |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
проведемо |
|
площини, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
перпендикулярні |
до |
осей |
|
|
γ →а M |
|
|
||||||
координат і разом з коорди- |
|
|
|
|
|||||||||
натними |
площинами |
вони |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|||
|
О |
|
|
β |
|
|
|||||||
утворять |
|
паралелепіпед, |
|
|
|
|
у |
||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
діагональ |
|
якого |
відрізок |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OM (мал.18). Через α ,β ,γ |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
позначимо кути, які утворює |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
Мал.18. |
|
|
|
вектор a = OM з осями ко- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ординат. |
Величини cos α ,cosβ ,cos γ |
називаються напрямними ко- |
|||||||||||
синусами |
|
вектора |
→ |
Координати |
|
вектора |
|||||||
|
a . |
|
|||||||||||
x1 = OA, у1 = OВ, z1 = OC .
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів довжин трьох його вимірів.
Тому
|
2 = |
|
2 + |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
→ |
|
2 |
|
2 + y1 |
2 + z1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
OM |
OA |
OB |
+ |
OC |
або |
а |
|
= x1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + y1 |
2 + z1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
= |
x1 |
|
|
|
(2.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.8) виражає довжину вектора через його координати. Тоді на основі формул (2.7) і (2.8) будемо мати
x1 = 
x12 + y12 + z12 cos α ; y1 = 
x12 + y12 + z12 cosβ; z1 = 
x12 + y12 + z12 cos γ .
Звідси для напрямних косинусів одержуємо
100