VM_pidr

Кожен елемент матриці має певний економічний зміст. Наприклад, a21 = 2 означає, що на виготовлення одиниці виду продук-

ції A витрачається 2 кг сировини Y ; елемент a12 = 4 означає, що

для виготовлення одиниці виду продукції B потрібно витратити 4 шт. одиниць сировини X .

Очевидно, що для знаходження витрат на виготовлення 6 комплектів продукції, потрібно обчислити матрицю 6 A , тобто

Зауваження. Множення матриці на число відрізняється від множення визначника на число. Матрицю множать на число k , помноживши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на число k , то множать на нього всі елементи одного якогось рядка (або стовпця).

Нехай матриця A містить m рядків і p стовпців, а матриця B має p рядків і n стовпців.

Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С, елементи сij якої дорівнюють сумі добутків елементів i-го рядка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B,

тобто cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ...+ aipbpj ( i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n ).

Добуток матриці A на матрицю B позначають АВ ( A× B ). Множення матриці A на матрицю B виконується за такою схемою:

Тут елемент cij знаходять як скалярний добуток елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j -го стовпця матриці B .

31

Добуток матриць характеризується властивостями:

1.AE = EA = A;

2.A 0 = 0 A = 0;

3.AB ≠ BA (некомутативність);

4.( AB )C = A( BC ) (асоціативність);

5.( A + B )C = AC + BC , (дистрибутивність);

C( A + B ) = CA + CB

6.( A B )T = BT AT .

Ця властивість має місце для довільного числа множників

і переконатись, що AB ≠ BA .

Розв’язування.

(Тут добуток BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).

32

33

Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою матрицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.

Приклад 11. Знайти добуток матриць:

Зауваження 2 . Добуток двох діагональних матриць одного і того ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.

Приклад 12. Знайти добуток діагональних матриць:

Для таких двох матриць добуток комутативний:

A B = B A.

Приклад 13. Торговельно-будівельна компанія уклала договір на будівництво 6 житлових будинків, 3 офісних будинків і 4 будинків відпочинку. Ціни на окремі види матеріалів такі:цегла – 32

у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс круглий - 44у.о./ м3 , оцинкова-

не залізо - 6 у.о./ м2 , скло - 5 у.о./ м2 .

Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівництва представлена в таблиці:

34

Портібно знайти:

1)загальну кількість матеріалів;

2)ціну матеріалів для кожного виду будови;

3)загальну вартість матеріалів.

Розв’язування. 1) Запишемо у вигляді матриці А дані, які характеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про ціни їх у вигляді матриці-стовпця С.

Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва, потрібно перемножити матриці В і А і знайти добуток BA , тобто

Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960 тис. шт. цегли;116 т цементу; 506 м3 круглого лісу; 2580 м2 оцинкованого заліза і 1780 м2скла.

2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду будівництва, потрібно перемножити матрицю А на матрицюстовпець С , складену із чисел, які характеризують ціни на відповідні матеріали :

35

Вартість матеріалів для будівництва житлового будинку становить 8860 у.о., для будівництва офісу – 9348 у.о. і для будівництва будинку відпочинку - 7740 у.о.

3) Для того, щоб знайти загальну вартість будівництва згідно договору 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку потрібно знайти добуток матриць

32

300

ВАС = ( ВА) С = [960 116 506 2580 1780] 44 = 112164.

65

Це саме число можна одержати ще так:

8860

ВАС = В( АС ) = [6 3 4] 9348 = 112164.

⎣7740

Таким чином, загальна вартість всієї будови становить 112164 у.о.

§ 6. Обернена матриця

Означення 1. Квадратна матриця А n − го порядку назива-

ється невиродженою (або неособливою), якщо її визначник ( А = ) не дорівнює нулю.

Означення 2.Квадратна матриця А n − го порядку назива-

ється виродженою ( або особливою), якщо її визначник А дорівнює нулю.

Означення 3. Матриця А−1 називається оберненою мат-

рицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо виконуються рівності AA−1 = A−1 A = E .

36

ТЕОРЕМА. Якщо матриця А n − го порядку невиродже-

на, то для неї існує обернена матриця А-1.

Доведення. Нехай задано квадратну невироджену матрицю А, тобто її визначник А ≠ 0.

Якщо i ≠ j , то маємо вираз, який є сумою добутків елементів

і-го рядка на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка визначника матриці А. За теоремою анулювання ця сума дорівнює нулю.

Якщо i = j , то вираз ciі = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ...+ ain Ain представляє собою суму добутків елементів довільного рядка на відповідні алгебраїчні доповнення цього рядка визначника матриці А. За тео-

ремою Лапласа така величина дорівнює визначнику матриці А( А ).

37

Тобто матриця С має вигляд:

Якщо кожен елемент цієї матриці С розділити на А (тобто

помножити її на А1 ),то одержимо одиничну матрицю Е , тобто

E = А1 С = А1 А В = А А1 В = А А− 1 .

Це доводить теорему.

Отже, обернена матриця має вигляд:

Дамо схему знаходження оберненої матриці для заданої квадратної невиродженої матриці.

1.Обчислимо визначник матриці A( A ).

2.Транспонуємо матрицю A , тобто одержуємо матрицю:

3. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента транспонованої матриці АТ і запишемо їх у вигляді матриці АП :

38

буде оберненою:

елементів транспонованої матриці, називається приєднаною ( або союзною) до матриці A .

Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд

AП , якщо транспонувати матрицю, складену із алгебраїчних доповнень елементів матриці A .

Приклад 1. Знайти обернену матрицю для матриці

і показати, що AA−1 = A−1 A = E . Розв’язування. Визначник цієї матриці

39

Обернена матриця А-1 для заданої матриці А має вигляд

Легко перевірити,що