VM_pidr

шим) значенням функції f ( x ) на множині D , якщо для будь-якого x D правильна нерівність f ( x ) ≤ f ( x ) ( f ( x ) ≥ f ( x )). Най-

менше і найбільше значення функції не завжди існують. Однак правильна теорема.

ТЕОРЕМА 2 (Вейєршрасса). Якщо функція f ( x ) неперервна на відрізку [a,b], то серед її значень на цьому відрізку існує

m ≤ f ( x ) ≤ M , де m і M - сталі величини. Тоді для такої множини {f ( x )} значень функції існує точна верхня межа. Нехай

μ = sup{f ( x )}. Припустимо, що μ ≠ f ( x ) , коли x [a,b].

Розглянемо нову функцію ϕ( x ) = 1 .

μ − f ( x )

Оскільки μ − f ( x ) ≠ 0, x [a,b], то функція ϕ( x ) неперервна на відрізку [a,b], а значить за теоремою 1 вона обмежена, тобто існують числа α і β такі, що α ≤ ϕ( x ) ≤ β ( β > 0 ) .

Остання нерівність показує, що число μ не може бути точною

верхньою межею. Отже, наше припущення неправильне. Теорема 2 доведена.

6.3. Теорема про перетворення функції в нуль

Для доведення наступної властивості функцій, неперервних на відрізку, потрібна одна локальна властивість неперервної функції.

211

всіх точок x якого значення функції f ( x ) за знаком будуть таки-

ми ж, як f ( x0 ) .

ТЕОРЕМА 3 (Больцано-Коші). Якщо функція f ( x ) неперервна на відрізку [a,b] і якщо значення цієї функції на кінцях цьо-

го відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка с (а,b), значення функціївякійдорівнюєнулю, тобто f ( c ) = 0 .

Доведення. Нехай для означеності f ( а ) < 0 , f ( b ) > 0 . Оскільки функція f ( x ) в точці x = a неперервна справа , а в точці x=b не-

f(x)<0. Ця множина непорожня, оскільки [a,a + δ) D . Вона обме-

жена зверху числом b − δ . Така множина має точну верхню межу. Позначимо її через с = sup D . Ясно, що a + δ ≤ c ≤ b − δ і, отже,

с ( a,b ). Доведемо рівність f ( с) = 0 .

212

Припустимо, що f ( с) ≠ 0 . Оскільки с ( a,b ), то за наслідком 1 допоміжної теореми знайдеться окіл ( с− δ1 ,с+ δ2 ) точки с , в

знову ж таки суперечить означенню числа с як верхньої грані множини D , бо за властивістю верхньої грані в проміжку ( с− δ1 ,с)

Отже, f ( с) = 0 і теорему 3 доведено.

§7. Деякі економічні задачі і їх розв’язування

Задача 1. Бюро економічного аналізу підприємства встановило, що при виробництві x комплектів меблів щоквартальні витрати V ( x ) виражаються формулоюV ( x ) = 2050 + 15 x (гривень), а дохід

D( x ) , одержаний від продажу x комплектів меблів визначається

формулою D( x ) = 25 x − 0,1x2 (гривень) .

Кожного кварталу підприємство виробляє 80 комплектів, але прагне збільшити випуск меблів до 110 одиниць. Обчислити приріст витрат, доходу та прибутку. Знайти середню величину приросту прибутку на одиницю приросту продукції :

Розв’язування. Запланований приріст продукції буде x = 110 − 80 = 30 (одиниць продукції).

Приріст витрат :

V ( x ) = V ( 110 ) − V ( 80 ) = ( 2050 + 15 110 ) − ( 2050 + 15 80 ) =

= 3700 − 3250 = 450.

Приріст доходу:

D( x ) = D( 110 ) − D( 80 ) = ( 25 110 − 0,1 1102 ) − ( 25 80 − 0,1 802 ) =

= 1540 − 1360 = 180.

Позначимо прибуток через Р( x ). Тоді прибуток буде:

213

P( x ) = D( x ) − V ( x ) = 25 x − 0,1x2 − 2050 − 15 x =

= −2050 + 10 x − 0,1x2 .

Приріст прибутку буде таким:

P( x ) = P( 110 ) − P( 80 ) = −2050 + 10 110 − 0,1 1102 −

− ( −2050 + 10 80 − 0,1 802 ) = 1100 − 1210 − 800 + 640 = −270

тобто зменшиться на 270 гривень. Середня величина прибутку на

одиницю приросту продукції буде P( x ) = − 50 = −1,67.

( x ) 30

Задача 2. В одному із обласних центрів в усіх вищих навчальних закладах навчається 35 тис. студентів. Щорічно кількість студентів збільшується на 3%. Яка кількість студентів буде у вказаному обласному центрі через вісім років?

Розв’язування. Використаємо формулу зростання за складними відсотками:

На основі формули зростання за складними відсотками маємо:

Задача 3. Вкладник надає банку 2000 гривень під складні відсотки з умовою їх неперервного зростання на 12% річних. Обчислити нагромадження капіталу за 4 роки.

Розв’язування. Використаємо формулу неперервного зростан-

Якщо p > 0 , формула називається показниковим законом зростання, а при p < 0 - показниковим законом спадання.

На основі формули неперервного зростання за складними відсотками одержуємо таку відповідь:

К4 = 2000 е4 0 ,12 = 3,2322тис.грн.

214

Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Закономірності, які вивчають різні галузі науки, в тому числі й економіки, описуються за допомогою функцій. Описавши процес функцією, дослідження процесу зводиться до вивчення властивостей функції. Відповідь на такі питання , як швидкість процесу в даний момент, проміжки часу, коли буде прискорення чи уповільнення процесу та інші можна одержати за допомогою похідної даної функції.

§1. Означення похідної

Уточнимо поняття похідної функції, з яким знайомі з шкільного курсу математики.

Нехай задано функцію y = f ( x ), визначену на проміжку ( a,b ).Візьмемо деяку точку x0 з цього проміжку. Значення функції

Знайдемо границю відношення (4.1) при умові, що x прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її називають похідною функції

Якщо похідна існує для всіх точок проміжку,то вона є функцією від х . Для кожного конкретного значення x = x0 похідна є чис-

ло.

Означення. Похідною функції у = f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументy прямує до нуля.

215

xx

4.Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

приріст аргументу x прямує до нуля

22

3.Складаємо відношення приростів

216

4.Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

x→ 0.

Отже 2 ′

, (sin x) = cos x.

Таким способом можна довести, що ( сosx )′ = − sin x .

§2. Задачі, що приводять до поняття похідної

2.1.Геометричний зміст похідної

Однією з задач геометрії, яка тісно пов’язана з історією виникнення диференціального числення є задача про проведення дотичних до кривих.

ведемо січну МР і позначимо кут нахилу її до додатнього напрямку осі Ox через ϕ . Позначимо кут, який утворює дотична

MT з додатнім напрямом осі 0 x через α .

Якщо пересувати точку Р по кривій до точки М, то граничним положенням січної МР буде дотична МТ до графіка в точці М. Як видно з

малюнка AM = f ( x ), BP = f( x + x ),

217

QP = BP − BQ = f ( x + x ) − f ( x ) = y; MQ = AB = x .

Отже, похідна в даній точці x дорівнює тангенсові кута, утвореного дотичною до графіка функції в точці M ( x, y ) з додатнім

напрямом осі Ox . Інакше, похідна в точці x дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці ( x, f ( x )).

2.2. Дотична і нормаль до графіка функції Задача. Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої, заданої

рівнянням y = f ( x ) в точці з абсцисою x0 .

Розв’язування.Точка M на кривій має координати x = x0 y = y0 = f ( x0 ) . Кутовий коефіцієнт дотичної k = f ′( x0 ). Викори-

ставши рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом на площині, що проходить через задану точку M , одержимо рівняння дотичної:

y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).

Нормаль до кривої в заданій точці перпендикулярна до дотичної, проведеної в цій точці. А тому кутовий коефіцієнт нормалі на основі умови перпендикулярності двох прямих

218

2.3. Механічний зміст похідної

Нехай матеріальна точка рухається по прямій, починаючи з точки O і шлях, пройдений нею, описується рівнянням s = f ( t )

Зафіксуємо момент часу t ,коли точка знаходилася в положенні M .Надамо часу t приріст t .За цей час точка перейде в по-

Отже, похідна від пройденого шляху s по часу t виражає миттєву швидкість руху в момент t. Це є механічний зміст похідної.

2.4. Економічний зміст похідної

Якщо слово “швидкість” розуміти більш широко , як швидкість зміни функції в залежності від зміни аргументу, то можна вказати економічний зміст похідних від функцій, які описують певні економічні процеси.

Нехай витрати виробництва V однорідної продукції є функцією кількості продукції x , тобто V = V ( x ). Припустимо, що кіль-

(або граничними) витратами виробництва при умовах хоча би простого відтворення виробництва продукції.

Вкажемо на економічний зміст похідних для інших залежнос тей, які найбільш часто вживаються.

219

Позначимо через D( x ) та P( x ) відповідно дохід і прибуток

при виробництві і реалізації x одиниць продукції. Тоді, якщо підприємство збільшує випуск продукції на x одиниць, ці

функції одержать приріст

D( x ) = D( x + x ) − D( x ) , P( x ) = P( x + x ) − P( x ) ,

а тому маржинальний дохід

§3. Зв’язок між неперервністю та диференційовністю фукції

Означення. Функції, які мають похідні в точці x називають диференційованими в цій точці.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює наступна теорема.

ТЕОРЕМА. Якщо функція y = f ( x ) диференційовна

в точці x0 , то вона неперервна в цій точці.

Доведення. Оскільки функція y = f ( x ) диференційовна в точці x0 , то вона має в цій точці скінчену похідну. Це означає, що

А з означення неперервності функції випливає , що y = f ( x ) неперервна в точці x0 . Теорема доведена.

Обернене твердження неправильне.

Так, функція y = x неперервна в точці x = 0 (мал.3), але вона немає похідної в цій точці. Дійсно,

220