VM_pidr

Приклад. Знайти похідну функції y заданої параметрично

При цьому ми використали неперервність логарифмічної функції і другу визначну границю.

При а = е маємо (ln x )' = 1 . x

8.2. Похідна від показникової функції

Нехай y = a x ( a > 0 ,a ≠ 1 ). Знайти y′ .

Прологарифмуємо обидві частини цієї рівності при основі е: ln y = x lna . Продиференціюємо обидві частини одержаної рівності,

231

використавши правило диференціювання неявної функції: y' = lna . y

Звідси, y' = y lna = a x ln a.

Якщо а = е, то ( e x )' = e x .

8.3. Похідна степеневої функції

Нехай y = xα , де α - довільне дійсне число. Функція

y = xα визначена для довільних α при x > 0 . Тому її можна прологарифмувати ln y = α ln x . Використавши правило

диференціювання неявної функції, одержимо 1 y′ = α 1 . y x

Звідси, y′ = αy 1 = αxα 1 = αxα − 1 . x x

§9. Таблиця похідних

Враховуючи правила диференціювання , встановлені формули похідних і узагальнивши їх на складні функції, складемо таблицю основних формул диференціювання.

232

9.1. Приклади на використання таблиці похідних

Знайти похідні деяких функцій:

а) y = ( x2 − 3x + 1 )4 .

Розв’язування. Використавши формулу (УІІ), одержимо y′ = 4( x2 − 3x + 1 )3 ( x2 − 3x + 1 )′ = 4( x2 − 3x + 1 )3 ( 2 x − 3 ).

Розв’язування. Перетворимо даний вираз, використавши дро-

2

233

234

§10. Похідні вищих порядків

Похідна функції у=f(x) є також функцією: у′=f′(x).

Ця функція також може мати похідну. Ця нова похідна називається другою похідною функції у=f(x) або похідною функції f(x)

другого порядку і позначаться y'' = f'' ( x ) або d 2 y . dx2

Похідна другої похідної, тобто функції y'' = f'' ( x ) називається третьою похідною або похідною третього порядку і познача-

yIV , yV ,..., y( n ) .

Приклад 1. Знайти похідну четвертого порядку функції y = x4 − 5 x3 + 2 x − 1 .

Розв’язування. Маємо y' = 4 x3 − 15 x2 + 2; y'' = 12 x2 − 30 x;

y''' = 24 x − 30; yIV = 24.

Приклад 2. Знайти похідні n-го порядку від функцій:

а) y = e x , б) y = sin x , в) y = cos x .

Розв’язування.

а) y′ = e x , y′′ = e x ,…, y( n ) = e x ;

б) y′ = cos x = sin( x + π );

2

y′′ = − sin x = sin( x + 2 π );

2

y′′′ = − cos x = sin( x + 3 π );

2

yIV = sin x = sin( x + 4 π )

2

і по індукції y( n ) = sin( x + π n ).

2

235

в) аналогічно знаходимо y( n ) = cos( n ) x = cos( x + π n ) .

2

§11. Диференціал функції

Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної називається диференціалом функції f ( x ) .

Позначається диференціал символом dy або df ( x ) . Отже,

Приріст x незалежної змінної також позначають так :

y′ = 3 sin2 2 x(sin 2 x )′ = 3 sin2 2 x cos 2 x( 2 x )′ = 6 sin2 2 x cos 2 x.Отже, dy = 6 sin2 2 x cos 2 xdx.

11.2. Геометричний зміст диференціала

Диференціал функції має просте геометричне тлумачення. Нехай маємо графік функції y=f(x). Візьмемо на цій кривій

236

точку М(х,у) і проведемо в ній дотичну до кривої.

y = f ( x ) в даній точці є приріст ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли x дістає приріст x.

11.3. Основні властивості диференціала

1). Диференціал сталої дорівнює нулю:

dc = 0.

2).Диференціал алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі диференціалів цих функцій:

d( u ± v ) = du ± dv

3)Диференціал добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної з функцій на диференціал другої функції:

d( u v ) = udv + vdu.

4) Диференціал частки знаходиться за формулою

237

Доведемо властивість 3):

d( u v ) = ( uv )′dx = ( u′v + v′u )dx = vu′dx + uv′dx = = vdu + udv.

11.4. Властивість інваріантності форми диференціала

Нехай дана складна функція y = f ( u ) , де u = ϕ( x ) .Тоді

yx' = f' ( u )ux' а dy = yx' dx = f' ( u )ux' dx = f' ( u )du .

Оскільки dy = d[ f ( x )] = f' ( x )dx , то можемо зробити ви-

сновок, якщо замість незалежної змінної х підставити довільну функцію від х, то форма диференціала не змінюється. Ця властивість носить назву інваріантності форми диференціала.

11.5. Застосування диференціалів при наближених обчисленнях

Диференціали використовують при наближених обчисленнях

238

§12.Основні теореми диференціального числення

Похідна функції є важливим інструментом при дослідженні властивостей функції. Перш ніж займатись дослідженням властивостей функції, доведемо деякі важливі теореми.

12.1. Теорема Ферма

Незважаючи на те, що в час, коли жив відомий французький математик П’єр Ферма (1601-1665), поняття похідної не було відоме, суть того методу, який він застосовував при знаходженні найбільших і найменших значень функції виражає теорема, яку справедливо називають теоремою Ферма.

ТЕОРЕМА ФЕРМА. Нехай функція y = f ( x ) визначена в

інтервалі ( a,b ) і в деякій внутрішній точці x0 цього інтервалу

приймає найбільше чи найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто f ′( x0 ) = 0 .

Доведення. Нехай в точці x0 функція f ( x ) приймає найбільше значення, тобто f ( x ) ≤ f ( x0 ) для будь-якого x ( a,b ). Це значить, що y = f ( x0 + x ) − f ( x0 ) ≤ 0 для будь-якої точки

Співставивши обидва співвідношення, одержуємо, що f′(x0)=0.

239

12.2.Теорема Ролля

ТЕОРЕМА. Якщо f ( x ) функція неперервна на замкнутому проміжку [а,b] і має похідну в кожній внутрішній точці

цього проміжку, а на кінцях його приймає однакові значення f ( a ) = f ( b ), то тоді принаймні в одній внутрішній точці промі-

жку її похідна дорівнює нулю.

Доведення. Розглянемо дві можливості.

1.Функція f ( x ) зберігає стале значення на всьому проміжку [а,b], тобто f ( x ) = C . Тоді f' ( x ) = 0 для всіх х є [а,b] і теорема

доведена.

2.Функція f ( x ) не є сталою. Як неперервна функція на за-

мкненому проміжку, вона досягає свого найбільшого М і свого найменшого m значення за теоремою Вейєрштраса. Принаймні одне з цих значень функція приймає всередині проміжку, бо тільки одне з них може прийматись на кінці проміжку. Припустимо для визначеності, що функція приймає все-

редині найбільше значення М в y точці x = x0 , тобто f ( x0 ) = M .

240