VM_pidr
.pdf
cos α = |
x1 |
; cosβ = |
y1 |
; |
|
x12 + y12 + z12 |
x12 + y12 + z12 |
||||
|
|
|
cos γ = |
z1 |
. |
|
(2.9) |
|
|
|||
x12 + y12 + z12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівність |
Для |
напрямних |
косинусів |
справедлива |
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .(Це випливає з (2.9))
§9. Розклад вектора по ортам
Розглянемо прямокутну систему координат в просторі і вектор, початок якого в точці O (мал.19).Позначимо орти осей координат Ox,Oy,Oz відповідно
через |
|
|
|
→ → → |
||||||||
|
|
|
i , j ,k , причому |
|||||||||
|
→ |
|
= |
|
→ |
|
= |
|
→ |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спроектуємо вектор
→
OM на координатні осі (через точку M проведемо площини, перпендикулярні до координатних осей). Проекціями точки M на координатні осі будуть відповідно точки А,В,С (мал.19).
z
|
C |
|
|
→k |
→ |
M |
|
|
|
||
r |
|
В |
|
О |
→ |
|
|
|
у |
||
→ j |
|
||
|
і |
|
|
А
х D
Мал.19.
|
З прямокутника ODMC видно, |
що вектор |
→ |
→ → |
||
|
OM = OD+ OC , |
|||||
але |
з |
прямокутника |
AOBD одержуємо, |
що |
вектор |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
OD = OA+ OB . Тоді |
|
|
|
|
||
|
|
→ |
→ → |
→ |
|
|
|
|
OM = OA+ OB+ OC |
|
(2.10) |
||
→
Вектор OM , який сполучає точку O з точкою M(x,y,z) називається радіусом-вектором цієї точки.
→→ →
Вектори OA,OB,OC називаються складовими або
101
|
|
|
|
→ |
а їх величини OA = x ,OB = y,OC = z |
||
компонентами вектора OM , |
|||||||
координатами цього вектора. |
|
|
→ |
||||
Компоненти вектора OM виразимо |
|||||||
через |
його |
координати |
і одиничні вектори |
→ → → |
|||
i , j ,k , а саме |
|||||||
→ |
→ → |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
OA = x i , OB = y j , OC |
= z k . |
|
|
||||
|
Підставляючи ці значення в рівність (2.10), враховуючи, що |
||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
OM = r , одержимо |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
r = x i |
+ y j |
+ z k |
(2.11) |
|
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
→ |
|
Доданки x i , y j,zk є складовими або компонентами вектора r . |
||||||
→ → →
Трійка векторів i , j ,k називається координатним базисом, а
розклад (2.11) називається розкладом вектора по базису
основна формула векторної ал- |
|
D |
|
|
гебри. |
|
z |
||
Приклад 1. Побудувати век- |
C |
|||
→ |
|
|
|
|
тор r = ( −1;2;3 ). |
|
|
→ |
|
Розв’язування. |
Компоненти |
|
|
r |
|
|
|
||
|
→ |
→ |
→ → → |
вектора r єOA |
= − i,OB = 2 j і |
||
→ |
→ |
і їм |
відповідає пря- |
OC = 3 k |
|||
мокутний паралелепіпед, діагональ якого є шуканий вектор
(мал.20).
х
→ |
|
А |
k |
|
|
О→ → |
В |
|
і |
j |
|
→ → →
i , j ,k . Це
M
N
у
Мал.20.
§10. Дії над векторами, заданими в координатній формі
Якщо вектори задані в координатній формі, то дії додавання, віднімання, множення вектора на число можна замінити простими арифметичними операціями над координатами цих векторів за такими правилами.
Правило 1. При додаванні векторів їх однойменні координати додаються.
102
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
Нехай маємо вектори a( x1 ; y1 ; z1 ) і b( x2 ; y2 ; z2 ) . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
||
|
|
Знайдемо c = a |
+ b . Запишемо розклади векторів a і b по ор- |
|||||||||||||
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
тах. |
Тоді a |
= x1 |
i |
+ y1 |
j + z1 k , b |
= x2 i |
+ y2 |
j + z2 k . |
Додавши ці |
|||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
|
рівності, одержимо c |
= ( x1 + x2 ) i |
+ ( y1 + y2 ) j + ( z1 + z2 ) k . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
будуть |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, координати вектора c |
|
|
|
|
|
|||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Правило 2. Щоб відняти від вектора |
→ |
|
|
|
вектор |
|||||||||
|
|
a( x1 ; y1 ; z1 ) |
||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
b( x2 ; y2 ; z2 ) потрібно відняти від координат вектора |
a |
відповідні |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координати вектора b , тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
= a − b = ( x1 |
− x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ). |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
на число |
λ , потрібно |
|||
|
|
Правило 3. Щоб помножити вектор a |
||||||||||||||
кожну з його координат помножити на це число. Тобто , якщо |
|
|||||||||||||||
|
|
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
a = x1 i + y1 j + z1 k , то |
λ a = λx1 i |
+ λy1 j + λz1 k . |
|
|
||||||||||
|
|
Приклад |
|
|
Знайти |
вектор |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
якщо |
||||
|
|
1. |
c = |
3( a |
+ b ) − 2 b , |
|||||||||||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
=( 1;2;5 ) , |
b( 2;−3;4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Розв’язування. Виконаємо |
дії |
послідовно |
і |
знайдемо |
||||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+ b = ( 1;2;5 ) + ( 2;−3;4 ) = ( 3;−1;9 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
3( a |
+ b ) = 3( 3;−1;9 ) = ( 9;−3;27 ) , 2 b = 2( 2;−3;4 ) = ( 4;−6;8 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
→ |
= |
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значить, c |
3( a |
+ b ) |
− 2 b = ( 9;−3;27 ) − ( 4;−6;8 ) = ( 5;3;19 ). |
|||||||||||
§11. Скалярний добуток двох векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин (модулів) на косинус кута між ними.
103
→ →
Скалярний добуток векторів a і b позначається символом
→ →
a b . За означенням
→ → |
|
→ → |
|
|||||||
a b |
= |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos ϕ , |
(2.12) |
|
|
|
|
|||||||
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ϕ ≤ π |
де ϕ - кут між векторами a і b (мал.21), причому 0 |
||||||||||
На основі формули (2.7) формулу (2.12) можна записати так:
а)
О
→ |
|
|
|
б) |
|
→ |
|||
в |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
φ |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
→ |
||
|
→ |
|
|
|
|
|
|||
|
Мал.21. |
а |
|||||||
|
а |
|
|
||||||
|
|
→ → |
|
→ |
→ |
|
|||
|
|
a b |
= |
|
a |
|
Пр→ b |
(2.13) |
|
|
|
|
|
||||||
a
або аналогічно
→ → |
|
→ |
→ |
|
||
a b |
= |
|
b |
|
Пр→ a |
(2.14) |
|
|
|||||
b
Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модуля одного з них на проекцію другого вектора на напрям першого.
Поняття скалярного добутку випливає із задач механіки. Відомо, що робота A сили F при прямолінійному переміщенні матеріальної точки на шляху l знаходять за формулою
|
(2.15) |
A = F l cos( F ,l ) |
Розглянемо деякі властивості скалярного добутку:
→→ → →
1)a b = b a - переставний закон.
Доведення. За означенням скалярного добутку
→ → → → |
|
→ → → → |
|
→ → |
|
= |
→ → |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a b |
= |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos |
ϕ і b a = |
|
b |
|
|
|
a |
|
cos ϕ, але |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
a |
|
як добуток |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чисел, то a b |
= b a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ |
|
`→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2) |
|
|
|
λ( a b ) |
= ( λ a ) b - сполучний закон. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Доведення. |
На |
|
основі |
формули |
(2.14) |
|
|
маємо, що |
|||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( λ a ) b |
|
= |
|
b |
|
Пр→ ( λ a ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b
104
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
||||
Згідно з властивостями проекцій §6 Пр→ ( λ a ) = λПр→ a . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
||||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ → |
→ |
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|||||||||
( λ a ) b = |
|
b |
|
Пр → ( λ a ) = |
|
b |
|
|
λ Пр → a |
= λ |
|
|
b |
|
Пр → a . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ → |
|||||
З другого боку, на основі формули (2.14), маємо |
|
b |
|
Пр→ a |
= a b . |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
→ → |
|
b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Отже, ( λ a ) b |
= λ( |
|
b |
|
Пр→ ( λ a ) = λ( a b ) . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b
→→ → → → → →
3)a( b+ c ) = a b+ a c - розподільний закон.
Доведення. На основі формули (2.14) маємо
→ → |
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a ( b + |
c ) = |
|
a |
|
Пр → ( b + |
c ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Згідно з властивостями проекцій Пр→ ( b |
+ c ) = |
|
Пр→ b |
+ |
|
|
Пр→ с |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
→ → → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
→ |
|
→ → |
|
→ → |
|
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a( b+ c ) = |
|
a |
|
|
Пр→ ( b+ c ) = |
|
a |
|
( Пр→ b+ Пр→ c ) = |
|
a |
|
Пр→ b |
+ |
|
a |
|
Пр→ с . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ → |
→ |
|
|
|
|
→ |
|
→ → |
|||||||||||||||||
На основі формули (2.14) маємо, що |
|
a |
|
Пр→ b = |
|
а b і |
|
a |
|
Пр→ с |
= |
а с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
→ → |
→ |
|
→ |
|
→ → → → → |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значить a( b |
|
+ c ) |
= |
|
|
|
a |
|
|
|
Пр→ b |
+ |
|
a |
|
Пр→ с = a b+ a |
c . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ → |
|
|
|
|
→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) a |
a = |
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Доведення. За означенням скалярного добутку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ → |
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
→ 2 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a a |
= |
|
a |
|
|
|
a |
|
cos0 = |
|
a |
|
|
|
, якщо a ≠ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо a |
|
= 0 ,то добуток a a |
= 0 , але тут |
|
a |
|
= 0 і рівність |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ → |
|
|
|
|
→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a a |
= |
|
a |
|
|
|
|
|
|
також правильна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Скалярний добуток a |
a називають скалярним квадратом век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
тора a , тобто a a |
|
= a |
|
= |
|
a |
|
|
і звідси |
|
a |
|
= |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
105
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ → |
= 0 . |
|||
|
5) a b = 0 , якщо a |
b і навпаки, якщо a b , то a b |
|||||||||||||||||||||
|
Доведення. |
За |
|
означенням |
|
|
|
|
|
|
скалярного |
|
добутку |
||||||||||
→ → |
|
→ → |
|
ϕ = π , то вектори |
→ → |
|
|
||||||||||||||||
a b |
= |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos ϕ. Якщо |
a і b |
перпендикулярні, |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то cos ϕ = 0 , ϕ = π , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
→ → |
→ → |
|
|||||||||
cos ϕ = 0 і a b = 0 .Якщо a b = 0 , але |
|
a |
|
|
|
b |
|
≠ 0 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тобто вектори a і b перпендикулярні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
◙Скалярний добуток векторів в координатній формі.
→→ →
Тому що одиничні вектори (орти) i , j ,k осей Ox,Oy,Oz
прямокутної системи координат взаємно перпендикулярні, то на основі п’ятої властивості скалярного добутку, маємо
|
→ → → → |
→ → → → |
→ → → → |
|
||||||||
|
|
i |
|
j = j |
i = 0 , j k = k |
j = |
0 , i k = k i = 0. |
(2.16) |
||||
Крім цього, за четвертою властивістю скалярного добутку |
||||||||||||
|
|
|
|
→ → |
→ → |
→ → |
|
|
||||
|
|
|
|
i |
i |
= 1, j |
j = 1, k k = 1. |
|
(2.17) |
|||
Нехай задано два вектори з своїми координатами |
|
|||||||||||
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= ( x1 ; y1 ; z1 ), b |
= ( x2 ; y2 ; z2 ). |
|
|
|||||||
Запишемо розклади цих векторів по ортам (формули 2.11) |
||||||||||||
→ |
|
→ |
→ |
→ → |
→ |
→ |
→ |
|
||||
a = x1 i + y1 j |
+ z1 k , b = x2 i + y2 j |
+ z2 k . |
|
|||||||||
Знайдемо скалярний добуток цих векторів |
|
|||||||||||
→ → |
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|||
a b = |
( x1 i |
+ y1 j + z1 k )( x2 i + y2 j |
+ z2 k ) . |
|
||||||||
Використовуючи формули (2.16), (2.17) знаходимо |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b = x1 x2 + y1 y2 |
+ z1z2 |
(2.18) |
|||||
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі |
||||||||||||
добутків однойменних координат цих векторів. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
a = b , |
то |
x1 = x2 , |
y1 = y2 , z1 = z2 . При |
цьому |
|||||||
отримаємо на основі рівності (2.18), що |
|
|
||||||||||
|
→ 2 |
= x12 + y12 + z12 , або |
→ |
= |
x12 + y12 + z12 |
|
||||||
|
a |
|
a |
(2.19) |
||||||||
Довжина вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат.
106
Із формули (2.12) знаходимо кут між двома векторами
|
|
|
|
→ → |
|
|
||||
|
|
|
cos ϕ = |
|
a b |
(2.20) |
||||
|
|
|
|
→ → |
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
Формулу (2.20) на основі формул (2.18) і (2.19) запишемо у |
||||||||||
вигляді |
cos ϕ = |
|
x1 x2 + y1 y2 + z1z2 |
|
(2.21) |
|||||
|
x12 + y12 + z12 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x22 + y22 + z22 |
||||||
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо вектори a |
і b є колінеарні, то вони задовольняють |
|||||||||
умові (2.6) , а саме |
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
||
b |
|
= λ a |
(2.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
де скалярний множник λ > 0 , коли вектори b і |
a мають одинако- |
|||||||||
вий напрям, і λ<0 якщо протилежні напрями. Рівність (2.22) в координатній формі запишеться так:
x2 = λx1 , y2 |
= λy1 , z2 = λz1 |
або |
x2 |
= |
y2 |
= |
z2 |
= λ |
(2.23) |
|
x1 |
y1 |
z1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Умова (2.23) |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
є умовою паралельності векторів a |
і b .Отже, |
|||||||||
→→
якщо вектори a і b колінеарні, то їх однойменні координати пропорціональні і навпаки.
Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності
→ → |
→ → |
= 0 або в координатній формі |
|
векторів a і b є рівність a b |
|
||
|
x1 x2 + y1 y2 + z1z2 = 0 |
(2.24) |
|
Умова (2.24) є умовою перпендикулярності двох векторів.
→
Приклад 1.Знайти проекцію вектора a = ( 4;4;2 ) на напрям
→
вектора b = ( 2;1;2 ).
Розв’язування. Із формули (2.14) одержимо
|
|
|
→ → |
= 4 2 + 4 1 + 2 2 |
= 16 . |
||||||
|
Пр→ a = a |
b |
|||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
→ |
22 + 12 + 22 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
→ |
|
|
Приклад 2. Виразити |
|
через орти i , j ,k |
|
орт a вектора |
||||||
→ |
= ( 3;−2;6 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
Розв’язування. Одиничний вектор
→ |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
3 i |
− 2 j |
+ 6 k |
= |
3 |
→ |
− |
2 |
→ |
+ |
6 |
→ |
|||||
a = |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k . |
||||||
→ |
32 + ( −2 )2 + 62 |
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приклад 3. Підприємство випускає продукцію чотирьо видів в кількості 210, 160, 172 і 300 штук. Ціни в одних і тих же грошових одиницях задані в такому порядку: 4,3;1,2;7;2,1. Обчислити сумарну ціну всієї продукції.
Розв’язування. Запишимо дані про випуск продукції у вигляді
→
векторів а = ( 210;160;172;300 ) , а також ціни одиниці кожної із
→
виду продукції b = ( 4,3;1,2;7 ,0;2,1 ) .Тепер сумарна ціна П всієї продукції запишеться на основі формули 2.18.
→→
П= a b = 210 4 ,3 + 160 1,2 + 172 7 ,0 + 300 2,1 = 2929 .
§12. n-мірний вектор і векторний простір
Множина всіх векторів, які ми розглядали на площині або в просторі і для яких визначені операції додавання векторів, множення вектора на число є простими прикладами векторного простору.
Означення 1. Упорядкована множина n дійсних чисел, записаних у вигляді ( a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) називається n- мірним векто-
ром. |
Числа |
a1 ,a2 ,a3 ,...,an називаються координатами вектора |
→ |
→ |
|
a , тобто a |
= ( a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) . |
|
Поняття n-мірного вектора широко використовується в економіці, наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати
|
→ |
= ( a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) , а відповідно ціни вектором |
вектором a |
||
→ |
= ( b1 ,b2 ,b3 ,...,bn ). |
|
b |
||
Якщо в n-мірного вектора одна координата дорівнює одиниці, а всі решту рівні нулю, то такий вектор називається одиничним. Очевидно, що існує n різних одиничних векторів
→ |
|
→ |
→ |
|
e1 |
= ( 1,0 ,0 ,...,0 ), |
e2 |
= ( 0 ,1,0 ,...,0 ),... en |
= ( 0 ,0 ,0 ,...,1 ), |
які виходять із початку координат точки О. Всі означення і дії для
108
двомірних і тримірних векторів, заданих в координатній формі, розповсюджуються і на n-мірні вектори (n≥4).
Два n-мірні вектори рівні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні компоненти рівні.
→ |
→ |
|
Вектор a = ( a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) і вектор b |
= ( b1 ,b2 ,b3 ,...,bn ) |
|
рівні, коли ai=bi ( i = 1,2,3,...,n ). |
|
|
Сумою двох n-мірних векторів |
→ → |
|
a і b є третій n-мірний вектор |
||
→
с , координати якого дорівнюють сумі відповідних однойменних
|
→ |
→ |
|
|
координат векторів a |
і b , тобто сi = ai + bi ( i = 1,2,3,...,n ). |
|||
|
|
→ |
на дійсне число |
λ називається вектор |
|
Добутком вектора a |
|||
→ |
→ |
|
|
|
d |
= λ a , координати |
якого |
di дорівнюють |
добутку числа λ на |
→
відповідні координати вектора a , тобто di = λai ( i = 1,2,3,...,n ).
Вектор, у якого всі координати дорівнюють нулю, називається
→
нульовим вектором і позначається 0 = ( 0 ,0 ,...,0 ).
Операції над довільними векторами задовольняють властивостям:
→→ → →
1.a + b = b+ a - переставний закон;
|
→ |
|
→ → |
→ |
→ |
→ |
2. |
( a |
+ b ) + с |
= a + ( b+ c ) − сполучний закон; |
|||
|
|
→ |
→ |
сполучний закон, відносно числового |
||
3. |
α( β a ) = ( αβ ) a - |
|||||
множника; |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
розподільчий закон відносно суми |
||||
4. |
λ ( a |
+ b ) = λ a + λ b - |
||||
векторів;
→→ →
5.( α + β ) a = α a + β a - розподільчий закон відносно суми
числових множників.
→ |
= ( 0 ,0 ,...,0 ), такий,що |
→ |
→ |
→ |
6. Існує нульовий вектор 0 |
a |
+ 0 |
= a |
|
→ |
|
|
|
|
для довільного вектора a ; |
|
|
|
|
109
|
|
→ |
→ |
7. |
Для довільного вектора a |
існує протилежний вектор (- a ), |
|
|
→ |
→ → |
|
такий, що a + ( − a ) = 0. |
|
||
|
→ |
→ |
→ |
8. |
1 a |
= a , для довільного вектора a (особлива роль число- |
|
вого множника 1).
Означення. Множина векторів з дійсними координатами, в якій визначено операції додавання векторів і множення вектора на число, які задовольняють вище приведеним восьми властивостям називається векторним простором.
→ → →
Зауваження. Якщо під векторами a , b і с можна розглядати
елементи довільної природи, то відповідна множина елементів називається лінійним простором.
Лінійним простором є, наприклад, множина всіх алгебраїчних многочленів степені яких не перевищують натурального числа n . Якщо множина всіх многочленів точно дорівнює натуральному числу n, то не буде лінійним простором тому, що сума двох многочленів може виявитися многочленом, степінь якого менше n.
§13. Базис. Розклад вектора по даному базису
Введемо поняття лінійної комбінації, лінійної залежності, а також базису і розклад вектора по базису.
→
Означення 1. Вектор b називається лінійною комбінацією
→ → →
векторів a 1 , a 2 ,...,am векторного простору Rm , якщо він дорівнює сумі добутків цих векторів на довільні дійсні числа
→ |
→ |
→ |
|
b = k1 a 1 |
+ k2 a 2 |
+ ... + km am |
(2.25) |
де k1 ,k2 ,...,km - дійсні числа.
Означення 2. Вектори |
→ → |
→ |
називаються лінійно |
|
a 1 , a 2 ,...,am |
||||
залежними, якщо існують такі числа |
k1 ,k2 ,...,km , які не |
|||
дорівнюють одночасно нулю, що |
|
|
||
→ |
→ |
→ |
|
|
k1 a 1 |
+ k2 a 2 + ...+ km am |
= 0 |
(2.26) |
|
110