VM_pidr
.pdf
→
тор s має напрям протилежний як показано на малюнку , то кут
→ → |
буде дорівнювати π + ϕ . В обох цих випад- |
|||||||
між векторами n і s |
||||||||
ках sinϕ ≥ 0 , тому |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
→ → |
|
|
||
sinϕ =| cos( π − ϕ ) |=| cos( π |
+ ϕ ) |= |
| n s |
. Значить |
|
||||
→ → |
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
| n || s | |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
sinϕ = |
|
| Am + Bn + Cp | |
|
|
. |
(2.108) |
||
A2 |
+ B2 + C 2 |
m2 + n2 + p2 |
||||||
|
|
|
||||||
Формула (2.108) є формулою для знаходження кута між пря-
мою (2.104) і площиною (2.105).
Приклад 1. Знайти кут між площиною 3x − 2 y + z + 4 = 0 і
прямою |
3x − z + 1 = 0, |
|
|
= 0. |
|
|
2 x − y − 3 |
|
Розв’язування. Рівняння прямої приведено до канонічного ви-
гляду. Із першого рівняння знаходимо x = z − 1 , а з другого рівнян-
3
ня x = y + 3 , значить канонічний вид рівняння прямої буде
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
= |
y + 3 |
= |
z − 1 |
. Таким чином, направляючий вектор прямої |
||||
1 |
|
|
||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
s ( 1;2;3 ) , а нормальний вектор площини n( 3;−2;1 ) . Тепер за фо- |
|||||||||
рмулою (2.108) знаходимо |
||||||||||
|
|
|
sinϕ = |
3 1 + ( −2 ) 2 + 3 1 |
= |
2 |
≈ 0,1428 , ϕ ≈ 8015′ . |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 4 + 9 9 + 4 + 1 14 |
||||
§19. Криві другого порядку
Кривими другого порядку називаються лінії, рівняння яких є рівняння другого степеня відносно біжучих координат. Загальний вигляд рівняння кривої другого порядку
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 . |
(2.109) |
До кривих другого порядку відносяться коло, еліпс, гіпербола і парабола.
151
19.1. Коло і його рівняння
Означення 1. Колом називається множина точок площини рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром кола.
уМ(х,у)
r
С(а,b)
О х
Мал.50
Нехай центр кола знаходиться в довільній точці С( a,b ) (мал.50). Ви-
ходячи з означення 1, віддаль довільної точки M ( x, y ) площини до центра
C( a,b ) є величина стала і дорівнює r . За формулою (2.3) маємо
r = ( x − a )2 + ( y − b )2 . Підносячи
обидві частини цієї рівності до квадрату одержимо рівняння, яке називається нормальним рівнянням кола
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 . |
(2.110) |
Вияснимо умови, при яких загальне рівняння другого степеня з двома змінними (2.109) є рівнянням кола. В цьому рівнянні А,В і С
не дорівнюють нулю одночасно, тобто A2 + B2 + C 2 ≠ 0 . Коли в рівнянні (2.110) розкрити дужки, то одержимо
|
|
|
|
x2 + y2 − 2ax − 2by + ( a2 + b2 − r 2 ) = 0 . |
(2.111) |
|
|
|
Щоб рівняння (2.109) і (2.111) представляли одну і ту ж лінію |
||
потрібно, щоб коефіцієнт B = 0 , а всі решту пропорційні, зокрема |
|||||
|
A |
= |
C |
, звідси A = C ≠ 0 . Тепер рівняння (2.109) має вигляд |
|
1 |
|
|
|||
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 . |
(2.112) |
Рівняння (2.112) називається загальним рівнянням кола.
Обидві частини рівняння (2.112) поділимо на A ≠ 0 і доповнимо члени,які містять x і y до повних квадратів. Одержимо
+x
D 2 |
|
|
|
|
+ y + |
|
||
2 A |
|
|
F |
2 |
D2 + E 2 − 4 AF |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
(2.113) |
|
4 A2 |
||||
2 A |
|
|
|
||
Порівнюючи (2.113) з рівнянням кола (2.110) можна зробити висновок, що рівняння (2.109) є рівнянням кола при таких трьох умовах
1 )A = C , 2 )B = 0, 3 )D2 + E 2 − 4 AE > 0.
При виконанні цих умов для кола (2.113) центр знаходиться в
152
точці C |
− |
D |
,− |
E |
|
, а радіус r = |
D2 + E 2 − 4 AP |
. |
|
|
|
||||||
|
|
2 A 2 A |
|
2 A |
||||
Приклад 1. Привести загальне рівняння кола |
||||||||
x2 + y2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 до нормального вигляду. Розв’язування. Згрупуємо члени з x та y і доповнимо їх до
повного квадрату, то одержимо
( x2 − 6 x + 9 ) − 9 + ( y2 + 4 y + 4 ) − 4 − 3 = 0 , або
( x − 3 )2 + ( y + 2 )2 = 16. Координати центра кола a = 3,b = −2, а
радіус кола r = 4.
Приклад 2 (економічного характеру). Два підприємства, відстань між якими 80 км, виробляють деяку продукцію, причому фаб- рично-заводська ціна продукції на обидвох підприємствах однакова і дорівнює p. Нехай транспортні витрати на перевезення одиниці
продукції від підприємства A до споживача складає 10грн/км, а від підприємства B складає 6грн/км. Як буде розміщений ринок збуту, якщо витрати споживачів повинні бути однаковими?
Розв’язування. Осі координат проведемо через середину відрі-
y
M(х,у)
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
r = 75. |
|
|
y |
s2 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
О x |
|
|
|
|
C(-85,0) |
|
A(-40,0) |
|
B(40,0) |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Мал.51 |
||
зка AB . Припустимо, що споживач знаходиться в точці M ( x, y ); введемо позначення AM = s1 , BM = s2 (мал.51). Витрати спожи-
вача на покупку одиниці виробу з підприємства A складають
p + s1 10 , а у підприємства B p + s2 6 . Витрати споживачів оди-
накові, якщо p + 10s1 = p + 6s2 |
, або 10s1 = 6s2 , |
5s1 = 3s2 . |
З мал.51 видно, що s12 = ( 40 + x )2 + y2 , абоs1 = |
( 40 + x )2 + y2 . |
|
Аналогічно s22 = ( 40 − x )2 + y2 |
, або s2 = ( 40 − x )2 + y2 . |
|
153
Для споживача витрати на покупку продукції одинакові, якщо 5
( 40 + x )2 + y2 = 3
( 40 − x )2 + y2 . Піднесемо обидві частини до квадрату і згрупуємо. Одержимо x2 + y2 + 170 x + 1600 = 0 і, виді-
ливши повний квадрат відносно x, маємо ( x + 85 )2 + y2 = 5625 . Це
нормальне рівняння кола, центр якого знаходиться на осі абсцис з абсцисою “– 85”, а радіус кола r = 75.
Для споживачів, які знаходяться на цьому колі, витрати на покупку виробу одинакові. Для споживачів, які знаходяться поза колом , витрати на покупку продукції менші на підприємстві B, а для
споживачів, які знаходяться всередині кола – на підприємстві A. Значить ринок буде розподілений так:
а) споживачі, які знаходяться всередині кола, будуть закупляти дані вироби на підприємстві А;
б) для споживачів, які знаходяться на колі, однаково на якому підприємстві будуть проводитися закупки;
в) споживачі, які знаходяться поза колом, будуть закупляти вироби на підприємстві В.
19.2. Еліпс і його рівняння
Означення 2. Еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей від яких до двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала.
|
|
|
|
Виходячи із означення 2, |
|
|
у |
|
|
|
B1 |
M(x,y) |
виведемо рівняння еліпса. Нехай |
|
|
|
|||
|
|
|
|
задані дві точки, які називаються |
A2 F2 |
О |
|
F1 А1 x |
фокусами, F1 і F2 , віддаль між |
|
якими позначимо через 2с (фока- |
|||
|
B2 |
|
Мал.52 |
льна віддаль) (мал.52). Через фоку- |
|
|
|
|
си проведемо пряму, яку візьмемо |
за вісь абсцис, а за вісь ординат візьмемо пряму перпендикулярну до вісі OX , яка проходить через середину відрізка F1F2 (точка 0).
Оскільки віддаль між фокусами прийняли за 2с, то координати фокусів будуть відповідно F1 ( c,0 ) і F2 ( −c,0 ).
Нехай M ( x, y ) довільна точка еліпса. Відрізки F1 M і F2 M ,
які з’єднують точку еліпса з його фокусами називають фокальними радіус-векторами цієї точки і позначають r1 і r2 . Тоді r1 + r2 є вели-
154
чина стала за означенням, позначимо її через 2а: |
|
r1 + r2 = 2a |
(2.114) |
(2а>2с, тому, що в трикутнику F1 MF2 сума двох сторін більша за
третю). Покажемо, якому рівнянню задовольняють координати точ-
ки M(x,y).
Знайдемо r1 і r2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
r |
= |
|
( x − c )2 + y2 , |
(2.115) |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
|
( x + c )2 + y2 . |
(2.116) |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підносячи обидві частини (2.115) і (2.116) до квадрату і відні- |
||||||||||||||||||||
маючи, одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r 2 |
− r 2 |
= 4cx . |
|
|
(2.117) |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розписавши різницю квадратів в (2.117) і враховуючи (2.114), |
||||||||||||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
− r = 2 |
c |
x . |
|
|
(2.118) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розглянемо систему з рівнянь (2.114) і (2.118): |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r1 + r2 = 2a, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
(2.119) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
− r1 = 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
x. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||
З цієї системи знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= a − |
|
c |
|
|
x , |
(2.120) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= a + |
c |
|
x . |
(2.121) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Підставимо |
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
одержимо |
||||||||
(2.121) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.116), |
|||||||||||
a2 + 2cx + |
c2 |
x2 = x2 |
+ 2cx + c2 |
|
+ y2 , або |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − c2 = x2 ( 1 − |
c2 |
|
) + y2 . |
(2.122) |
|||||||||||||
|
|
|
a2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Позначимо |
|
|
|
|
a2 − c2 = b2 |
|
|
(2.123) |
||||||||||||
і тоді (2.122) перепишемо після простих перетворень у вигляді |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
+ |
y2 |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
(2.124) |
||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
155
Рівняння (2.124) є канонічним рівнянням еліпса.
Це рівняння другого степеня, значить, еліпс крива другого порядку. Рівняння (2.124) містить x і y в парних степенях, значить
крива, яка визначається цим рівнянням симетрична відносно осей 0 x і 0 y. Осі симетрії еліпса називають його осями. Точку 0 нази-
вають центром еліпса. Із рівняння (2.124) знайдемо y :
y = ±b 1 − |
x2 |
= ± |
b |
a2 − x2 . |
(2.125) |
|||
a2 |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Так як у, який знаходиться в першому квадранті є додатній, то |
||||||||
y = |
b |
|
a2 − x2 . |
(2.126) |
||||
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
З рівності (2.126) видно, якщо x = 0 , то y = b і при зростанні x від нуля до a , y спадає від b до нуля.
В першому квадранті частина еліпса це дуга A1B1 . Якщо провести дзеркальне відображення цієї дуги відносно осей координат,
то ми одержимо весь еліпс (мал.52). |
|
|
|
|
Якщо в рівнянні (2.124) y = 0, |
то |
x = ±a , a |
якщо x = 0 ,то |
|
y = ±b. Значить вершинами |
еліпса |
є точки A1 ( a,0 ), A2 ( −a,0 ), |
||
B1 ( 0,b ), B2 ( 0,−b ). Відрізок |
A2 A1 = 2a , |
а відрізок |
B2 B1 = 2b. Ці |
|
відрізки відповідно називаються великою і малою осями еліпса. Відповідно a і b - велика і мала піввісь еліпса.
Означення 3. Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі між фокусами до довжини великої осі.
Позначимо ексцентриситет через ε , то тоді |
|
||||
ε = |
2с |
= |
c |
< 1 . |
(2.127) |
|
|
||||
|
2a a |
|
|||
Якщо a = b ( ε = 0 ), то еліпс перетворюється в коло. Підста- |
|||||
вимо (2.127) в (2.120) і (2.121), то одержимо |
|
||||
r1 = a − εx , |
(2.128) |
||||
r2 = a + εx . |
(2.129) |
||||
Ці формули використовуються при розв’язуванні задач. |
|
||||
Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, знаючи, що велика вісь 2a = 10 , а ексцентриситет ε = 0 ,8.
156
Розв’язування. З рівняння (2.127) знайдемо c . Знаючи, що a = 5, c = a ε = 5 0,8 = 4. А тепер знайдемо b з рівності (2.123)
b2 = a2 − c2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9, |
b = 3. |
||||
Підставляючи a = 5 ,b = 3 в рівняння (2.124), одержимо |
|||||
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
||
259
19.3.Гіпербола та її рівняння
Означення 4. Гіперболою називається множина точок площини, абсолютне значення різниці віддалей яких від двох заданих точок, які називаються фокусами, є величина стала.
Ґрунтуючись на означенні 4 виведемо канонічне рівняння гіперболи. Нехай задані дві точки F1 і F2 є фокусами гіперболи, поз-
начимо віддаль між ними через |
2c, |
а абсолютну величину різниці |
||||
|
y |
|
|
віддалей точки гіперболи від |
||
|
|
|
точок |
F1 |
і F2 позначимо |
|
|
|
M(х,у) |
|
|||
|
|
|
через |
2a( a > 0 ). За вісь абс- |
||
|
|
|
|
|||
|
r2 |
r1 |
|
цис візьмемо пряму, яка про- |
||
|
|
|
ходить через фокуси, а за |
|||
|
|
|
|
|||
F2(-c,0) |
0 |
F1(c,0) |
x |
вісь ординат візьмемо пряму |
||
перпендикулярну до вісі аб- |
||||||
|
|
Мал.58 |
|
сцис, |
яка |
проходить через |
|
|
|
середину |
відрізка |
||
|
|
|
|
|||
F2 F1 (мал.58), тобто через точку 0. Тому щоF2 F1 = 2c , то координати фокусів будуть відповідно F1 ( c,0 ) і F2 ( −c,0 ) , а фокальні
радіуси відповідно |
r1 = F1 M , |
|
r2 = F2 M , |
| r2 − r1 |= 2a, де |
|
M ( x, y ) довільна точка гіперболи. |
|
|
|
|
|
Користуючись формулою віддалл1 між двома точками і озна- |
|||||
ченням 4, маємо рівняння гіперболи |
|
|
|
||
| |
( x + c )2 + y2 − |
( x − c )2 + y2 |= 2a . |
(2.130) |
||
Запишемо це рівняння в такому вигляді |
|
|
|||
|
( x + c )2 + y2 |
− |
( x − c )2 + y2 |
= ±2a |
або |
|
( x + с)2 + y2 |
= |
( y − c )2 + y2 |
± 2a . |
(2.131) |
157
Підносячи до квадрату обидві частини цього рівняння, одержимо,
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a |
( x − c )2 + y2 + 4a2 , |
або після спрощення xc − a2 = ±a ( x − c )2 + y2 |
. Знову підносячи |
обидві частини одержаного рівняння до квадрату, одержимо після спрощень
x2 ( c2 − a2 ) − a2 y2 = a2 ( c2 − a2 ). |
(2.132) |
||||||||||
Розділивши обидві частини рівняння (2.132) на a2 ( c2 − a2 ), |
|||||||||||
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
|
y2 |
|
= 1 . |
(2.133) |
|||
|
|
|
|
c2 − a2 |
|||||||
|
|
a2 |
|
|
|||||||
Покажемо, що c2 − a2 > 0 |
|
( c > a ). Тому що в будь-якому |
|||||||||
трикутнику різниця |
двох |
сторін |
менша |
третьої, то |
|||||||
| F2 M − F1 M |< F2 F1 , або |
2a < 2c, або a < c .Тоді |
c2 − a2 величина |
|||||||||
додатна і її позначимо черезb2 . Тобто |
|
|
|||||||||
|
|
c2 − a2 = b2 . |
|
(2.134) |
|||||||
Підставляючи (2.134) в (2.133), одержимо канонічне рівняння |
|||||||||||
гіперболи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
y2 |
= 1 . |
(2.135) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
||||
Рівняння (2.135) є рівняння другого степеня, значить гіпербола є крива другого порядку. Дослідимо форму гіперболи за її рівнянням (2.135). Оскільки рівняння містить x і y тільки в парних
степенях, то гіпербола симетрична відносно обох осей координат. Знайшовши y та x із рівняння (2.135), одержимо
y = ± |
|
b |
|
x2 |
− a2 , |
(2.136) |
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x = ± |
a |
|
y2 |
+ b2 . |
(2.137) |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Із рівняння (2.136) можна зробити такі висновки:
а) значення у уявні, якщо |х|<a значить гіпербола не перетинає вісі Оу і не має точок, що знаходяться в полосі, обмеженій прямими
х=± a.
158
б) коли x = ±a, y = 0, значить гіпербола перетинає вісь абс-
цис у двох точках A1 ( a,0 ) і A2 ( −a,0 ) , які називаються вершинами
гіперболи.
в) для кожного | x |> a, ордината y має два значення, які від-
різняються тільки знаком, звідси випливає, що гіпербола симетрична відносно осі 0 x.
Рівняння (2.137) показує, що гіпербола симетрична і відносно
вісі 0 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При необмеженому зростанні абсциси |
x ордината також нео- |
||||||||
бмежено |
зростає. Так |
|
|
|
|
|
|
|||
як |
гіпербола |
знахо- |
|
|
|
|
|
|
||
диться поза |
полосою, |
|
|
|
|
|
М(х,у) |
|||
обмеженою |
прямими |
|
|
|
|
|
||||
|
|
В1(0,в) |
||||||||
x = ±a , |
то |
гіпербола |
F2(-c,0) |
|
|
|
F1(c,0) |
|||
|
|
|
||||||||
складається |
Із |
двох |
|
|
|
|||||
окремих віток (мал.59). |
А2(-а,0) О |
|
А1(а,0) |
|||||||
|
Відрізок |
A2 A1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
В2(0,-в) |
|||||||
називається |
дійсною |
|
|
|
|
|
|
|||
віссю гіперболи, а точ- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
мал.59 |
||||||
ки |
A1 ( a,0 ) і |
A2 ( −a,0 ) вершинами гіперболи. Відрізок B1B2 , що |
||||||||
з’єднує точкиВ1 ( 0,b ) і |
В2 ( 0,−b ) називається уявною віссю гіпер- |
|||||||||
боли. Точки F1 ( c,0 ) і F2 ( −c,0 ) називаються фокусами гіперболи.
Гіпербола, яка визначається рівнянням − |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 має дій- |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
сну вісь B2 B1 = 2b, а уявну вісь A2 A1 = 2a (показано на мал.59 пунктиром) називається спряженою по відношенню до гіперболи
x2 − y2 = 1 . a2 b2
Якщо дійсна і уявна осі рівні, то гіпербола називається рівносторонньою, а її рівняння буде x2 − y2 = a2 .
Степінь стискування гіперболи характеризується її ексцентриситетом.
159
Означення 5. Ексцентриситетом гіперболи називається відношення віддалі між фокусами 2с до довжини її дійсної вісі 2a , тобто
|
ε = |
2c |
= |
c |
. |
(2.138) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2a a |
|
|
||
Так як для гіперболи с > a, то ε > 1. |
|
||||||
Примітка. Для гіперболи легко показати як пов’язані r1 і r2 з |
|||||||
ε , а саме |
r1 |
= −a + εx |
( x > 0 ), |
|
|||
|
r2 |
= a + εx |
( x > 0 ); |
(2.139) |
|||
|
r1 = a − εx ( x < 0 ), |
|
|||||
|
r2 |
= −a − εx |
( x < 0 ) . |
(2.140) |
|||
Формули (2.139) і (2.140) одержуються аналогічно як і для еліпса.
Представляємо читачеві самостійно переконатися в справед-
ливості формул (2.139) і (2.140).
|
19.4. Асимптоти гіперболи |
|
|
Означення 6. Пряма l називається асимптотою кривої |
|
( k ) , |
якщо віддаль d = MN від точки M кривої до точки |
N пря- |
мої l |
прямує до нуля при необмеженому віддалені точки |
M від |
початку координат вздовж кривої ( k ) в тому чи іншому напрямі
(мал.60).
Покажемо, що пряма Y = b x a
(2.141) є асимптотою гіперболи
(2.135). Для цього розглянемо пряму MN, яка паралельна осі Oy (мал.59). Абсциса точки M і точки N одна і та ж, тобто x, а ордината точки M є y, а точки N Y.
Знайдемо різницю між ординатами (Y-y) -точок N і M, які мають одну і ту ж абсцису
l
у
N
M
Ох
(k)Мал.60
160