книги / Общая теория анизотропных оболочек

Имея (5.29) и (5.30), с помощью (5.28) можно найти следую­ щее, первое приближение. Каждое последующее приближение также найдется путем интегрирования уравнения (5.28).

Ограничимся рассмотрением нулевого приближения, ибо по­ дробные исследования показывают, что нулевое приближение в ряде случаев обеспечивает вполне удовлетворительную точность результатов.

Согласно (5.30), (5.29) из (5.24) в нулевом приближении получим

ции перемещения w.

Таким образом, поставленная задача решена. С помощью фор­ мул (5.18), (5.31), (5.32) легко найти характер напряженно-

необходимое для достижения максимальной температуры. Будем принимать, что в рассматриваемом диапазоне изменения

температуры модули упругости материала оболочки зависят от температуры линейно или хорошо аппроксимируются линейной функцией, т. е.

Приближенно будем считать, что и коэффициенты B(j. зависят от температуры линейно:

Вч == B<lj (1 - Х'Т), В?,. = Вч (д = const,

Подставляя значения С{ в (5.39), получим выражение для / (<) при т = 1, п=1 . Подставляя это выражение в (5.18), найдем нор­ мальное перемещение оболочки w (а, р, t):

где для сокращения записи введены следующие обозначения:

Таким же образом можно записать и выражение для искомой функции (р ( и, р, t).

Легко установить, что с увеличением t (т. е. с повышением температуры оболочки (5.33)) увеличиваются как амплитуда, так и условный период колебания нагреваемой оболочки. Обрат­ ную картину можно наблюдать при ее остывании, т. е. при повы­ шении жесткости оболочки.

Во многих прикладных задачах аргументы бесселевых функций, входящих в (5.42), имеют большие значения. Используя извест­

Простой анализ показывает, что приближенное решение, полученное в нулевом приближении при асимптотическом интег­ рировании уравнения (5.36), совпадает с точным решением (5.42)

§ 5] ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 429

где

Таким образом, мы получили уравнение, при помощи которого можно определить точное значение критической скорости U*. Однако, ввиду громоздкости уравнения (5.71), аналитическое определение U* затруднительно. Но если учесть, что модуль пер­ вого слагаемого функции / (£), т. е.

\ сА г~‘и е х Р [р2 (0 — (е + рУ2) £],

независимо от скорости потока убывает во времени, то критическая скорость может быть приближенно определена из указанного эк­ стремального условия, наложенного лишь на второе слагаемое функции / (£), т. е. из условия

— критическая скорость флаттера, найденная по квазистатической с точки зрения температуры теории (т. е. когда в окончатель­ ной формуле критической скорости для несогреваемой оболочки вместо модуля упругости Е подставляется выражение (Е ^-Е ^)).

Формула (5.74) показывает, что динамическая критическая скорость U* меньше критической скорости, найденной по квазистатической теории, и в случае достаточно малого затухания мо­ жет существенно отличаться от квазистатической скорости U*0.

§ 6. Флаттер цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии магнитного поля

Рассмотрим задачу устойчивости анизотропной круговой ци­ линдрической оболочки бесконечной длины, обтекаемой с внешней стороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкого газа с невозмущенной скоростью U, направленной по образующим ци­ линдра. Пусть во внутренней об­ ласти оболочки газ находится в по­

вдоль образующей, р — по дуге окружности поперечного сечения). Система координат а, р выбрана так, что А =1, B = l, R1= co, RZ= R (рис. 79).

Считается, что магнитные и диэлектрические проницаемости газа и материала оболочки изотропны и равны единице. Внутри )болочки предполагается справедливость уравнений Максвелла цчя вакуума. Электромагнитные эффекты в теле оболочки вовсе зе рассматриваются.