книги / Общая теория анизотропных оболочек

Таким образом, заменяя Ъ выражением Z* (2.30), из уравнения

(1.8.35) получим уравнение устойчивости рассматриваемой сфе­ рической оболочки:

1с2(Д- f I)2- f 1 — (Д - f 2) w - f

Это уравнение должно решаться при соответствующих гранич­ ных условиях для w. В данном случае граничными условиями для w являются условия непрерывности и однозначности решений на

сфере.

Полагая в уравнении (2.31)

Рассматривая расчетные формулы (2.36)—(2.38), замечаем, что критическая сила, найденная с учетом явлений, связанных с поперечными сдвигами, при некоторых значениях отношений

как критическое давление, так и число полуволн существенным образом зависят от упругих характеристик материала оболочки. Очевидно, что изменяя ориентацию мате­ риала в теле оболочки, т. е. угол ср, полу­ чим для основных упругих коэффициентов оболочки В(к различные значения. Значения

Bik легко определяются с помощью формул

(1.1.34), (1.1.42).

Ясно также, что каждой группе коэффи­ циентов B ik будут соответствовать свои ко­

характеристики устойчивости оболочки.

5. Вопросы устойчивости слоистых ортотропных оболочек. Пусть оболочка собрана из произвольного числа однородных ортотропных слоев, расположенных в теле обо­ лочки так, что в каждой точке каждого слоя

главные направления упругости совпадают с главными геометри­ ческими направлениями оболочки а, [3, у (см. гл. I).

Очевидно, для слоистых оболочек в общем случае безмоментное напряженное состояние невозможно. В этом легко убедиться, рассматривая соотношения упругости многослойной оболочки (1.11.2). Поэтому при решении задач устойчивости многослойных оболочек, вообще говоря, следует докритическое состояние обо­ лочки считать моментным.

Таким образом, в отличие от предыдущих пунктов настоящего параграфа, будем считать, что основное, докритическое состояние оболочки является моментным. Будем полагать также, что диф­ ференциальные уравнения устойчивости анизотропной слоистой оболочки могут быть получены на основании уравнений теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 14).

Выберем координатную систему так, чтобы коэффициенты первой квадратичной формы были равны единице (Я = 1, В = 1), а координатная поверхность f = 0 проходила внутри какого-либо

слоя оболочки (в частном случае она может совпадать с поверх­ ностью контакта двух каких-либо слоев, т. е. А = 8<) (рис. 63).

Пусть начальное моментное состояние оболочки характеризу­ ется нормальным перемещением w ( а, р) и функцией напряжения

<р (а, (3). Тогда для определения начального напряженного состоя­ ния мы можем использовать уравнения (1.14.64)*):

а для жесткостей, входящих в линейные операторы (2.46), в случае ортотропной оболочки имеем

в= 1

п

*) Ради преемственности результатов здесь главные кривизны недеформированной координатной поверхности ■ (= () кг и к2 считаются положитель­

ными, если центр кривизны лежит с выпуклой стороны оболочки.

(2.50)

Таким образом, системой (2.45) будет определяться началь­ ное моментное состояние оболочки. Однако при определенных со­ отношениях геометрических и механических параметров оболочки это состояние может оказаться неустойчивым, и оболочка под действием малых возмущений 8и> и &р перейдет к новой, устой­

чивой форме равновесия. Тогда во втором состоянии будем иметь

Подставляя (2.52) в систему уравнений (2.45), получим следую­ щую систему линейных дифференциальных «уравнений в вариа­ циях» относительно 8ш и 8®:

(D — Z/°)8u>— L 3(d )bf — VflBep = L (8ц;, ?)-f-L(w, Sep),

Таким образом, решение задач устойчивости моментного на­ пряженного состояния многослойной анизотропной оболочки при­ водится к интегрированию двух систем дифференциальных урав­ нений: (2.45) и (2.53). К этим системам уравнений должны быть присоединены граничные условия, которые для системы (2.45) имеют обычный вид, а для системы (2.53) однородны и на основа­ нии (2.52) вытекают из граничных условий начального напряжен­ ного состояния. При этом необходимы будут также полученные ранее представления

На основании приведенных уравнений и расчетных формул могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния

R 2= R ) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торце­ вым линиям (и = 0, a=l\ I — длина оболочки) координатной по­

верхности Y= 0. Пусть оболочка загружена нормально приложен­ ной к внешней поверхности осесимметричной равномерно рас­ пределенной нагрузкой с интенсивностью q, т. е. Z = q , Х =0 ,

Г=0.

Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным. Для определения этого состояния из (2.45) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:

к которой должны быть присоединены следующие граничные

В силу осесимметричности начального состояния система дифференциальных уравнений устойчивости (2.53) перепишется следующим образом:

й 2ш d 2 ( 8ш )

: d^2 (jpa •

К уравнениям (2.61) необходимо присоединить следующие однородные граничные условия:

Решая уравнение (2.63) и удовлетворяя граничным условиям (2.60), получим для искомого перемещения и? (а) следующее выра­ жение:

а для постоянных интегрирования с точностью 1 ±е~2‘1да 1 имеем

Cl — (a sin tl — И22Яе~*; cos tl) Rq,

C2 — — (a sin tl -f-A^JR) Rq,

(2 .6 6 )

C3= — (a cos tl -f- A 22Re~“ sin tl) Rq, C4— (aesl — A 22Re~sl sin tl) Rq,