§ 11] ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 301
06 |
■ V |
Еа |
(hi |
|
|
(11.24) |
3 I 1 + v“ + l ' |
1 + V* |
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
_ |
j T fim+iym+ifc3+] |
у |
fi«v« |
з Л |
0 |
(11.25) |
|
Ъ у l _ ( v ” >+l)2 ^ Z i 1 |
— (7 )2 |
У1» |
|
|
|
|
Таким образом, из (И . 10) и (И . 16) для нормального перемеще ния оболочки, когда она загружена сосредоточенной силой —Q, приложенной в центре оболочки (х=а/2, у=Ы 2), и в случае, когда оболочка нагружена равномерно распределенной нагруз кой с интенсивностью —q, получим соответственно
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
nit |
miza |
nit$ |
4Q |
a* ' V |
|
V ) |
(m- -f л2п-)2 sin -g- sin ~ 2 |
|
sin —— |
sin —g- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.26) |
Dab |
|
Z |
|
Z i |
|
|
|
|
C a* |
|
|
|
|
(m<2+ X2W2)^ + |
|
-|- Ajn2X2)2 |
|
|
m |
|
n |
^ |
^ |
|
l y |
^ |
v |
i |
|
|
. |
|
|
miza |
|
mcB |
|
|
K + № |
)>smV S mT |
(11.27) |
Юл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z)T.B |
m |
n |
['(m~ + |
I-2П2)4 |
+ |
Д |
|
( ^ 2 m 2 |
+ |
A j / l 2A 2) 2J l |
|
|
Далее, используя |
тождество |
|
|
|
|
|
|
___________ (m2+ ^2n2)2_________ |
|
|
|
|
|
|
(т * + А2/г=)4 + |
С а* |
, |
, |
- . |
|
(да2 + |
А2п2)2 |
|
у |
|
|
(*2т 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D TC4(^2m2 + *1n2X2)2 |
(11.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( m 2 + |
* 2n 2) 2 [ ( m 2 + |
A 2n 2)4 |
+ |
- | - ^ |
(A 2m 2 + |
A ^ X 2) 2] ’ |
получим из (И . 26) и (И . 27) для нормальных перемещений обо лочки WQ и wд следующие выражения:
да4
(11.29)
где
. дате |
пте |
тка |
пк3 |
sin — |
sin - у |
sin —у |
sin у - |
|
^ = |
^ т2 п |
2 |
(да2+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
,, |
, |
|
. wit . |
«к |
. т-кт. |
пкВ- |
L. |
(А2т 2 + Ajn2/.2)2 smу sin |
~ 2 |
sin - у - |
sin -у- |
4 a 4 C V 1 V |
|
|
|
|
|
|
302 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
|
|
_ |
1 6 V IV I' |
пт& |
|
|
|
|
|
|
W]1 |
теб |
Z-i |
Z-i mn (m2+ \"n2)2 ’ |
|
|
|
|
it® |
til |
> |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
( k2m - + |
rrnza |
nic& |
|
1 6 a4 C |
22 |
к1ra2X2) 2 s i n — - — |
s i n —j — |
W . |
|
|
тпУтП |
|
itio D |
|
|
|
|
|
|
|
= (Ш* + X V )2[ ( V |
+ |
X V )*+ |
4 - S (M »* + |
W ) 2] • |
Первые члены в формулах (11. 29) представляют прогибы соответственно нагруженных прямоугольных (axb) изотропных пластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки, обусловленные кривизной срединной поверхности оболочки. Зна чения первых членов могут быть заимствованы из известных таблиц, составленных для расчета прямо угольных изотропных пластинок.
Что же касается вторых членов, то они вычисляются при помощи доста точно быстро сходящихся рядов, сходимость которых существенно быстрее сходимости рядов, входящих
вформулы (11.26) и (11.27).
2.Многослойная сферическая оболочка под действием сосредото ченной силы. Рассмотрим много слойную изотропную сферическую оболочку, находящуюся под дейст вием радиаль'ной сосредоточенной силы Q, приложенной в произволь ной точке (ос0, р0) координатной по верхности 44=0 (рис. 55). Очевидно,
поставленная задача может быть решена на основании резуль
татов, изложенных в п. |
3 § 14 гл. I. |
|
Введем безразмерные |
координаты |
а, р, |
которые с поляр |
ными координатами г, & |
и |
координатой у (см. гл. I, § 14, п. 3) |
связаны зависимостями |
|
|
|
(11.35) |
а = |
кг, |
р = &, |
-fi = ку. |
Коэффициент к, с помощью которого вводятся безразмерные |
координаты, имеет вид |
|
|
|
|
к*-. |
|
С ( Р ~ Р о) Q,____ |
(11.36) |
|
|
|
' т \ ( Р — р » ) с + с ^ \ >
§ 11] |
|
|
ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК |
где, как и раньше (рис. 33, 34), |
|
|
|
|
с = |
т - \ - п |
|
|
l)f |
|
т - f-1 |
|
|
2 |
|
|
сп— 2 5«2(8,- 8_,). |
° = Г 2 |
^ К ^ - ^ - З |
Д И |
- ^ О |
+ |
ЗА2^ |
- ^ ) ] . |
в = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-{-п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 f2 l(8 ? ~ |
^ |
~ |
З Д (8 * ~ s* - i } + |
з д 2 {8 * ~ |
»=i |
|
|
|
т + я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
~ |
2 |
в ‘ 1(82 - |
■ |
2Д в - |
8- iH ’ |
|
|
|
|
8 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-\-п |
|
|
|
|
|
|
|
* 12 = Т |
2 |
|
|
- |
2Д(8» - |
8-l)l. |
|
|
|
|
8=1 |
|
|
|
|
|
|
D0- |
,С( К* + КЪ)-2ККъСъ |
0 . |
п* |
|
----------ОТ |
> |
* 2'-- ° |
-- 0 12- |
303
(11.37)
(11.38)
(11.39)
|
Согласно (11.35) система |
разрешающих |
уравнений |
(1.14.62) |
|
примет вид |
|
|
|
|
|
|
(D — Dc) Ш ю — d^FVVcp + -I. V* = |
—(а’ g)- , |
|
|
|
|
|
R |
|
(11.40) |
|
£-**VV<p + |
d ^ W w — lr Vw = |
0, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
v = |
i i |
+ l |
i . + A |
i i |
(11.41) |
|
|
da2~ |
а да |
’ a2d(J2 ’ |
|
|
|
а также, наряду с (11.39), |
|
|
|
|
|
d12= |
(СК12 |
C,2K)IQ2. |
|
(11.42) |
Далее в выбранной безразмерной системе координат из (1.14.54), (1.14.58) и (1.14.60) получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:
+ < W [ T — (1 - % Щ ъ
( D |
( l — ^ 5 # ) £ ] » + |
(11.43) |
|
+ ® [ 4 v + ( i - ^ ) - g ] f , |
|
304 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК
т _к2(—— -4- — — ф Т — к2—
С |
то/'1 ^ |
1 |
д2 |
г, |
S ~ * U 2^ |
а (?st (?р/ |
|
лг„ = |
-А ? ± v l(Z) - |
Z>°) u; - d12ср], |
|
|
V |(D - |
Л®) w - dn9], |
где, наконец, наряду с (11.37)— (11.42), имеем также
d = |
(CK — |
C12KV1)/Q2, |
|
dee = |
ЛГ66/С6в, |
Z)?2= |
[2ККпС - Са (К2+ |
K2n)]IQit |
0«в= |
АГ§в/С66, |
|
m-f-n |
|
|
|
|
^66 = |
^ -®6б(^ |
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
m+w |
|
|
|
|
* 6 6 = 4 2 |
5 ee 1(3; - Ч-г) ~ |
2Д С8* - |
8,-01. |
|
|
«=1 |
|
|
|
|
m-f-1
=4 2 [(8«- 8*-l) ЗД1й- 8*-‘)+ЗД2(8*- V01-
*=]
[ГЛ. II
(11.44)
(11.45)
(11.46)
Очевидно, во всех формулах (11.3)—(11.42), (11.46) имеем также известные представления
В‘= - |
Е ' |
К , • |
в 1 ! — |
v D > |
- ° в в — |
|
|
___ |
/?< — |
V*'R>' |
R< — |
|
|
1 — (v*)2 |
|
|
|
2 (l+ v «V |
Сосредоточенную радиальную нагрузку Q представим с по мощью 5-функции Дирака:
2 ( « , P ) = v 8 (“ - “»’ Р ~ Р » )-
Частное решение системы уравнений ( 11. 40), отвечающее на грузке (11. 47), может быть найдено различными способами. Например: элементарным образом получают решение для случая, когда сила Q приложена в полюсе сферы, а затем заменой коор динат находят частное решение, когда сила Q приложена в произ вольной точке ( а0, ро) поверхности сферы; или для этой цели поль зуются методом интегральных преобразований Ханкеля. В итоге для частного решения, полученного методом преобразования Ханкеля, получим
w* (“ - Р ) = х *l*(sp)® + К" (*?)I’
(11.48)
ср°(а, р) = 4 У ( D ~d~ U~ I ( s?) + К 0(Я?)],
§ И ) ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 305
где |
|
|
|
|
|
Р2 = |
« 2 + |
я о — |
2 я я о c o s (Р1 =— V —Р о )»1 . |
(11.49) |
s2—- |
|
|
- к ^ |
*12 |
|
|
|
|
|
|
r ( D — |
D Q )d l2 |
|
/(О - д ° )dn |
|
}
AT0 — модифицированная функция Бесселя второго рода. Применяя к представлениям (11.48) теорему сложения цилиндри ческих функций нулевого порядка, с учетом (11.49) получим для частного решения:
при я < я0
w° = |
А 2 |
К lSn( а |
о Qn) |
(Я) + |
|
Тп( Яо )F« ( я ) 1 |
c oпs ( Р |
— |
Ро)> |
|
|
|
|
|
Я=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.51) |
|
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? ° = |
|
1 Г |
Х»2 |
1 |
|
(Fя >‘»>( а |
) |
- т- |
|
|
|
|
|
|
c o |
s и |
(р |
- |
|
Р о ); |
|
|
я=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при я > а 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
А я2=0 К 1р п (Яо) Т п (Я) + |
|
Qn К |
|
)S n ( Я)1 |
C 0 S» ( |
Р |
—Ро)» |
|
|
(11.52) |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Хп1К(*о) S„ (я) |
- |
Qn( яо) |
Т„ (а) Jcos п(8 - |
ро), |
|
|
|
|
где введены следующие |
обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп ( я |
) = |
т |
|
( * |
« In) +( |
« ) |
1 |
» |
|
<?„ ( |
1 |
= |
у |
I/ я |
( |
* « ) |
- |
|
|
( » ) 1 , |
|
|
я 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.53) |
5 , И |
= |
Т 1 Д Я(5Я) + |
^ |
Я(5Я) ] ’ |
т п ( я ) = |
4 |
Г * » |
( * я ) - |
я „ ( $ я )1; |
|
|
|
здесь |
1п — модицифированная |
функция |
Бесселя |
первого |
|
рода. |
В формулах (11.51) и |
(11.52) для |
коэффициента Хя имеем: Хя=1/2 |
при |
л= 0 ; |
Хя=1 |
при |
п > |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение однородной системы уравнений |
(11.40) |
(при |
Z (я, |
р)= 0 ) запишем в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(я- |
Р ) = |
2 |
[С ,Л |
(я) + |
|
C2nQB(я) + |
а д |
|
(я) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Ь СinТ1, (я) 1cos re (Р |
р0) -{- Ф (я, |
Р), |
|
(11.54) |
о ' ( я |
, |
_ |
1 / (0 - |
О0)В, |
|
2 |
[<71«<?Я(Я) — С'2/ я(«) + |
|
|
|
|
|
) =Р |
— |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
С |
3я7’я ( |
« |
|
м=0 |
а |
д |
) |
( я ) | |
с |
о Фя |
г( е«( |
,3Р |
) .- |
р |
9)( 1+ 1 . 5 |
|
|
|
|
) |
- |
306 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. II |
Здесь |
гармонические |
функции |
Ф ( я, |
Р) и T f i , |
(3) имеют |
вид |
Ф (я, |
р) = |
% + |
ь0In я + |
2 |
(а,«" + |
ЬяаГп) cos п (Р — р0), |
|
|
|
|
|
|
Я = 1 |
|
|
|
|
(11.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (я, р) = |
С0 + |
d0In а + |
2 |
(ся« и + |
dnaTn) cos п (р — р0), |
|
|
|
|
|
|
Я=1 |
|
|
|
' |
|
|
где ап, bn, сп, |
dn — действительные |
постоянные |
коэффициенты. |
Постоянные интегрирования, входящие в решение однородной |
системы уравнений (11. 54), (И . 55), |
в зонах оболочки |
я < |
я№ |
и я > |
я0 принимают различные значения. Для четкости последую |
щих рассуждений постоянные интегрирования, относящиеся к зоне а < а 0 > пометим звездочкой, т. е. положим:
|
|
|
|
Г * |
Г • |
|
|
* |
я |
< |
я |
0 |
|
ч . |
Ся> « С |
^ 1 » * |
^ 2 я* |
|
я |
> |
я |
0 |
^ 1 я ’ |
^ 2я> ^Зя> ^ 4 я » |
а * |
с я> |
|
|
|
|
я ’ |
Ч . |
Поскольку мы рассматриваем сплошную сферическую оболочку, т. е. оболочку с полюсом, то, очевидно, в полюсе оболочки моменты, силы и перемещения должны иметь конечные значения. Для удов летворения этим условиям необходимо положить
^ = ^ |
= « = 5 = 0, |
(11.57) |
так как при я —> 0 функции |
Sn(я) —> оо и |
Тп(я) —> со. |
Таким образом, в случае оболочки с полюсом определению под
лежат четыре группы констант типа С*к (т. |
е. в |
зоне я < я0) |
и восемь групп констант типа Cik (т. е. в зоне |
я > |
я0). (В случае |
отсутствия полюса, когда имеем сферический пояс, в обеих зонах
определению |
подлежит по восемь групп постоянных |
интегриро |
вания). |
|
|
|
За исключением перерезывающей силы Na, которая |
при |
пере |
ходе через |
окружность я = я0 претерпевает разрыв |
вида |
kQ 2 \ cos (3 — (30), расчетные величины оболочки являются непре- ««о
я = 0
рывными. Из условий непрерывности расчетных величин оболочки между постоянными интегрирования устанавливаются следующие соотношения:
— CJ«* |
|
— С ,, а — а , |
|
|
|
'1 я * |
^ 2 я ---- |
|
2я’ |
“ я " |
(ге = |
0 , 1, 2, |
... ), |
С* = Сь = |
Ъя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с* — с _ QlLar* |
d |
— •i f ао (п = 1, 2, |
(11.58) |
сп — сп |
2ип 0 |
’ |
а* ~ |
|
|
|
* |
п |
т* |
|
QR |
|
|
|
|
§ Н1 |
ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК |
307 |
|
Здесь неопределенными остаются четыре постоянные интегриро вания Си , С2н, ап, сп, которые находятся из граничных условий на краю я = av Постоянная с0 принята равной нулю, так как она на напряженно-деформированное состояние оболочки не влияет.
При определении (11.58) и при удовлетворении граничным условиям необходимо иметь значения тангенциальных перемеще ний, которые, согласно (1.14.50), (1.14.51), (1.14.54) и (1.14.56), определятся с помощью следующих формул:
(11.59)
“ = - г а ) ф<!— ‘ й ( г г ; » -
(11.60)
Таким образом, поставленная задача решена. Складывая част ное решение (11. 51), (11. 52) с общим решением однородной си стемы (11. 54), (11. 55), получим общее решение системы разре шающих уравнений (11. 40) в случае, когда на оболочку действует радиальная сосредоточенная сила Q.
При а а0
Щ= Л 2 |
(“о) Qn(*) + Т„ (ао) ь\ (“) + |
п=О |
|
|
+ |
C1«F« ( а ) |
+ С2„Qn ( “ ) + a»a”i C 0 Sп № — |
Ро)> |
(1 1 |
( со |
Fп |
~ ' Т« (ао) <?.(«) |
|
ClnQn(а) -)- C2nFn(а) -)- |
2 |
|
м=0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
£.*"] cos п № — Ро) — 2 27Г ( 3 " |
cos п (р — ft>)| • |
(11.62) |
|
|
|
Я= 1 |
|
|
J |
|
При а > а 0 |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
w = A ^ |
kn[Fn(а0) Т, (а) - f Qn(а0) S„ (а) + |
|
|
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
C iA («) + C2nQ„ (а) + a *”] cos » (р - |
р0), |
(11.63) |
СО |
|
|
|
|
|
|
Q R |
|
* 1.К ) $ .(“ ) - < ? „ (“ •) T» (a) |
- |
Cin<?n(a) + с 2пг я(*) + |
0—2— 2 |
М |
+ с»а"1 cos п ф - Р0) + 1 |
In а - 2i ( ? ) " |
|
\ |
|
COS » ф - |
fc) . |
(11.64) |
Я = 1
308 |
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II |
Напомним, что постоянные интегрирования, входящие в фор мулы (11. 61)—(11. 64), определяются из граничных условий а— а1.
Имея значения w и tp, с помощью формул (11.43)— (11.45), (11.59), (11.60) можно найти все расчетные величины задачи.
§12. Решения некоторых задач анизотропных оболочек
спомощью уточненных теорий
Здесь будет определено напряженно-деформированное состоя ние анизотропных слоистых оболочек при помощи так называе мых уточненных теорий, учитывающих влияние поперечных деформаций (е^, е , е^) и напряжений (з^, т^, т^) на общее напря
женно-деформированное состояние оболочки. Эти теории, изло женные в §§ 6—9 гл. I, приводят задачи теории оболочек к раз решающим дифференциальным уравнениям, решения которых отличны от соответствующих решений классической теории и содержат специфичные особенности, отражающие учет поперечных деформаций и напряжений в оболочке.
В частности, в тех случаях, когда отношения типа Gi3/Eik или ES3/Eik существенно меньше единицы, что зачастую имеет место в слоистых оболочках, расхождения между результатами классической теории и уточненных теорий становятся значитель ными. В этих случаях пренебрежение поперечными деформа циями и напряжениями может привести к существенным погреш ностям.
Рассматриваемые здесь задачи, как правило, не доводятся до конца, т. е. до получения окончательных формул всех расчет ных величин задачи. Нашей целью является выявление некоторых специфических особенностей напряженно-деформированного со стояния оболочки при учете поперечных деформаций и напряже ний. Однако укажем, что при необходимости в каждом частном случае нетрудно получить окончательные формулы для расчет ных величин.
1. Еще раз о распространении краевого эффекта. §§ 5, 7 и 9 настоящей главы были освещены некоторые вопросы распростра нения краевого эффекта в анизотропных слоистых оболочках. Возвратимся к этому вопросу в связи с теориями, в которых учи тываются эффекты от поперечных деформаций и напряжений.
В качестве иллюстрации рассмотрим пример ортотропной круго вой цилиндрической оболочки с учетом лишь тех уточнений, кото рые происходят от поперечных сдвигов.
Из |
уравнений (1.7.56) для |
осесимметричной деформации |
(ф=0, |
у=0, ср= ?(*), F = F { я), |
w=w (а)) круговой цилиндриче |
§ 12] |
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ |
309 |
ской оболочки (Д 1= о о , В2= В ) получим следующую систему раз решающих дифференциальных уравнений:
|
|
1 |
d% F |
h3 |
dip |
|
р |
|
|
|
l t ~ |
d ^ |
~12^ ~da |
|
|
|
|
|
C u |
d * F |
1 d2w |
= |
0, |
( 12. 1) |
d3w |
ЪГ- |
й 0 d a * |
R da2 |
n |
d - f |
, |
h3 |
|
|
|
D11 Тйз |
10 assD n fa* + |
1 2 ^ = ° - |
|
В этом случае, согласно (1.7.48), (1.7.51), (1.7.54), (1.7.55), получим для внутренних сил, моментов и тангенциального пере мещения следующие формулы:
d*F
Т , = daa’
М \ = - D u
N i '-ii |
|
a|s |
ъ |
|
|
d 2w |
|
A2 as s D u |
f a > M 2 |
- 1,12 Л/ |
+ |
daz |
1 10 |
CJ2 |
d*/? |
D u |
du |
|
|
dot |
Qd |
da% * |
|
Напомним, что в случае однородной ортотропной оболочки имеем
c |
|
|
— |
|
|
л |
|
|
E y h |
|
а55 — ;М3 |
|
|
V j V 2 |
’ |
|
|
|
1 — |
Y j V 2 |
’ |
° |
l |
l |
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° 1 2 |
4 l E . , h |
|
_ |
4 Е 1 h |
|
n _ |
, |
(12-4) |
c |
, |
|
— |
P P |
1 |
“ 1 - v |
^ |
’ |
- 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
___ |
|
|
|
|
n |
|
|
V1 |
•*jE\h3 |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (1 - V!V2) |
|
|
|
1 2 ( 1 — |
v j v 2 ) |
’ |
~ |
12 ~ |
1 2 ( 1 |
Решение системы (12. 1) имеет вид
4
4
“’ = т г 2 с - Т Г ^ ' + ^ + с . ' |
(12.5) |
|
4 |
|
? = 2 с ‘ т г !" ‘ + с ’“ + С ! - <=i
Здесь р. являются корнями следующего характеристического урав нения:
6 |
йп |
1 |
йо |
1 |
0; |
( 12.6) |
|
|
|
Сц Оц R'i |
|
|
310 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Нетрудно видеть, что
Р\ = а ~{' tb, Ръ—-в, — ib, р3 = —а |
ib, |
р4= —а — ib, (12.7) |
где |
|
|
|
а = |
п + т |
2 |
’ |
|
|
|
|
|
1 |
( 12.8) |
т ~ 5 “ И С п Ш ' |
QQ |
R - C n D n ' |
Заметим, что в рассматриваемых здесь реальных оболочках
п^>т.
Учитывая (12.7) и (12.8), окончательно для искомых функ ций получим
? = т w i w ис . (< ■ ■ -*■ )- 2< > ч « " ь - +
+ [С2 (а2— б2) + 2£>6] еа° sin 6а - f [Cs (а2— b2) + 2Ciab\e~°*cos 6a - f
|
|
- f [Ct (,a2— b2) — 2C3ab) e'** sin 6a}, |
«> = |
^ 6 2 U^i (a cos Ьл + * sin 6a) - f |
|
-}- C2 (a sin 6a — 6 cos 6a)]ee®-f- [C3(6 sin 6a — a cos 6a) — |
|
— C4 (6 COS 6a -f- a sin 6a)] e-e“} -f- Cga -f- Ce, |
-j^ r = |
fl2-^ UCi (a cos 6a |
6 sin 6a) -(- C2 (a sin 6a — 6 cos 6a)] e®“ -j- |
|
-f- [C3 (6 sin 6a — a cos 6a) — C4 (6 cos 6a -(- a sin 6a)J 6"““}. |
Имея значения искомых функций, с помощью формул (12.2) |
и (12.3) легко определить |
все расчетные величины задачи. По |
стоянные интегрирования Ci должны быть определены из гранич ных условий на торцах оболочки.
Имея в виду исследование вопроса о распространении краевого эффекта, рассмотрим полубесконечную оболочку (а = 0 , а=оо). Очевидно, в этом случае выражения для искомых функций <р(а),
w (а) и |
F ( а) перепишутся следующим образом: |
|
ч = ш |
W T W <1С> (а‘ ~ * 7 + 2с‘аг’1сю ы + |
|
|
-}-[С4 (а2— 62) — 2C3a6] sin 6а}, |
(12.9) |
г |
Д л -в а |
|
XV= |
а2 + ь-21С3 (6 sin 6а — a cos 6а) — |
|
|
— С4 (6 сор 6а -)- a sin 6а)], |
(12.10) |
|
Sin Ы ~ й C° S Ьа) ~ |
|
|
— С4 (6 cos 6а -f- a sin 6а)]. |
(12.11) |
