Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>


$ 4]	ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА				401
	Из (4.5) видно,		что характер движения оболочки может быть
установлен согласно частоте колебания ш, которая при					любых
заданных значениях к и п				может быть определена из (4,6).
	Если	мнимая	часть	частоты колебания ш положительна
(Im	ш >	0), то невозмущенное движение устойчиво по отношению

кмалым возмущениям. Если же мнимая часть частоты колебания

шотрицательна (Im ш< 0), то движение оболочки неустойчиво.

Таким образом, из условия Im ш ^ О получим для скоростей невозмущенного потока газа, при которых невозмущенное дви жение оболочки устойчиво, неравенство

U < V ( 1 + T ) ’	(4 Л°)
где второй член представляет конструктивное	демпфирование,

a V=Q/k является фазовой скоростью распространения упругих волн в оболочке и имеет вид

		V2=	1 /д«*	. _ L ii\		(4.11)
			?h\k*
Из неравенства		(4. 10)	для	критической	скорости	(условие
Im ш -0)	получим
		£ Л = 7 ( 1 + ^ ) .				(4.12)
Как было указано выше, коэффициенты упругости В(к опре
деляются	из (3.57),	отсюда, согласно (3.46)			и (3.47),	следует,

что величины А {к и Dik зависят	от ориентации материала оболочки
в теле оболочки, т. е. от угла	tp. В силу этого из (4.9)—(4.12)

легко заметить, что критическая скорость невозмущенного по тока существенным образом зависит от ориентации материала оболочки в теле оболочки.

Очевидно, наибольший интерес представляют те значения ар гументов к и п , вблизи которых критическая скорость U* при нимает минимальное значение.

В частности, например, если имеет место симметричная форма потери устойчивости, то ге= 0 и критическая скорость принимает минимальное значение при

m = k R ~ s jR tfflh ^ r	(4.'13)
В этом случае для скорости получим
i o + 7 ) -	< «

Если же устойчивость теряется по несимметричной форме, то, учитывая, чтоп2 мало по сравнению т2 (это подтверждается вы числениями), членами порядка n2Dik/m2Dn , n2Aik/m2A2i можно

26 С. А. Амбарцумян

402 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ш

пренебречь. Тогда критическая скорость принимает минималь ное значение вблизи тех значений ти п , которые удовлетворяют

уравнению	I
(Dum -f- 2D16n) (A22m2— 2А2втп)2— R2(A22m— Л 2вп) = 0,	(4.15)

n = 1, 2, 3, . . .

В этом случае для критической скорости получим следующую

приближенную	формулу:
г/- “ ~	т	У ° " т г +	+	■ <4\|в>

Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли фор мулы для определения критической скорости в зависимости от ме ханических характеристик (включая и ориентацию) рассматривае мой оболочки.

Для	иллюстрации рассмотрим оболочку, для которой h=
= 0,01 R,	s= 0.

Считаем, что оболочка теряет устойчивость по осесимметрич

ной форме, т. е. имеем га=0 .
Рассматриваются	четыре случая			комбинаций упругих по
стоянных:
Случаи	е [	E i	Gi2	”1	/
Случаи	е [	E i	Gi2	”1	”2
I	Е	2Е	0,5Е	0,165	0,230
II	2Е	Е	0,5Е	0,230	0,165
III	10Е	Е	0,5Я	0,349	0,035
IV	Е	Ш	0,5£	0,035	0,344

Исходя из приведенных данных, с помощью формул (4.14), (3.46), (3.47), (3.57) вычислены значения критической ско рости в зависимости от угла <р. Результаты подсчета U*min \Jph/2RE помещены в таблице 10.

Т а б л и ц а 10

Случаи

I I I I I I IV

0°	1.151	1.151	13.506	13.506
30°	1,100	1,114	12,261	10,545
45°	1,094	1,094	11,185	11,185
60°	1,114	1,100	10,545	12,261
90°	1.151	1.151	13.506	13.506

$ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

403

Для наглядности результаты подсчета критической скорости в двух последних случаях (случаи III и IV) приводятся и гра фически (рис. 74).

На основании рассмотренных примеров заключаем, что при осесимметричной форме потери устойчивости максимальные зна

чения критической скоростиполучаются при tp = s-у (s = 1, 2, 3 ,...),

т. е. когда главные направления упругости материала оболочки совпадают с главными геометрическими направлениями обо лочки.

Минимальные значения критической скорости при Е[ < Е\

достигаются вблизи				углов		S T . <	tp j <	S 7 t +		тт/4 и Зк/4+«тт<
< 'P s < (H -l)r c		(S= 0,		1,	2 , . . . ) ,		а
при Е\^>Е\ — вблизи					тс/4< <PI <
S т:—(- тг/2 И		S rt-f- тс/2<[ <р2				Sir -f- Зя/4
(e = 0,	1, 2, .. .).
2. Устойчивость анизотропной слои
стой	круговой цилиндрической						обо
лочки,	обтекаемой		сверхзвуковым				по
током газа. Рассмотрим круговую ци
линдрическую		оболочку			бесконечной
длины и постоянной толщины h, собран
ную из произвольного числа однород
ных анизотропных слоев. Принимается,
что координатная поверхность f = 0							сов
падает с внутренней граничной поверх
ностью оболочки,			которая			представ
ляется	ортогональными координатами							а,	Р ( Л = 1, В = 1, 7?х = оо,
/?2=Т?)	(рис.	73,	75,	а	также рис.			35	и	36).

Предполагается, что в каждой точке каждого слоя имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди натной поверхности Y = 0.

26*

404

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. III

Пусть оболочка обтекается сверхзвуковым потоком сжимае мого газа с невозмущенной скоростью U, направленной вдоль образующих оболочки. Для получения исходных уравнений за дачи в уравнениях статики оболочки (1.13.13) заменим грузовые члены, согласно (1.3), (1.5), (1.6) и (4.2), выражениями

dSw P^T^I2’ дзш fdfdF-'

			dtp к		д'2 /ди,ди\					(4.17)
Z = -	CM -	2CfT t		9 д Р \ д а ~ * ~ д $ )			**
		I	п	д2 fd2w . t)2w\		xpm dw		хрда TJdw
		I" 9 д П W			д ? 2)	am	d t	Ооо	U da *
а для	приведенных			плотностей (при			А = 0)	имеем:
			П			П
	с , =		2	р. <s. -	v . ) = f	2	т. (8. -		а- . ь
			f» l			«=1
			7*			»
			2 р . ( 8! - 8« ) = 5 2 т . й - ® г - . ) '							(4.18)
			2 р . ( 8! - 8« ) = 5 2 т . й - ® г - . ) '
			«-1			»=1
	D 9=	■j	2	р* (s. — 8»-i)= i		2	T»(3' ~		8«-i)

(р, — плотность материала i-ro слоя, yt — удельный вес ма териала г-го слоя, g — ускорение силы тяжести, п — число слоев).

Произведя соответствующие преобразования, получим сле дующую исходную систему дифференциальных уравнений по ставленной задачи:

£ „ (С) и+ Ln (О и +	L„ [СК) и, -			С,		+	К,	=	0,
L „ tC )a + L n (C)o +	L^C K )w -			С	, ^ + К			, ^ =	0,
Lv {СК) и + /.-л{СК) v -f-L-ii (CKD) w-f- Ct ^							+		(4.19)
	d2u	к	d2v		r>	d^tp
+ 2с / £ + Х,9 да dt2		Рф <«2			^9 да‘2 d i2
	I	д*1Р	■ *P c о dw			. xpa,		J, d tp __„
	P (ip2 dt2			a m	dt	am		da	’

§ 4]

ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

405

где линейные операторы L ile имеют вид:

Ьи (С) =

Са ^

2Смдад2

—

-Г^бвмг •

t ' M

C6B£

2Ci

да

-f- ^22^р2 >

да%

"'26да д$

£j2(С) — С16^2 +

(^12 +

С6б) fafjpд* 4-С

Cj3 (СЛГ) _

R (С12— - f С;* ^

— ЛГИ^

дз

— ЗЛчв

—

2К<*> дГдр ~

К2йзр-,г

L »(C K ) =

± (C n % +

Cm± ) - K

a %

— ък, ; ^ 2^; “ ■ (^12 +

2^ee) 5р^г ~

^ie

(CKD) =

± Ca- £ ( K a £

2Kn £

i +

^22 аа?) +

да

+ 4£>ie55^р +

4£>гв

2 (Д12+

да

- д 22

_да_

2Ай) 5^2

Решение системы (4.19) ищем в виде

р, t) =

if f

* fttj—Tea- •— ^

u (а,

v(a,

р, t) =

if f

iUt-ka- ^ Л

(4.20>

ш (а, р, *) =

f3e

где

fk — некоторые

комплексные

коэффициенты,

ш — частота

колебаний, к= л/Х — волновое число, X — длина полуволны в на

правлении

образующих оболочки, п — целое

число

волн по

ок

ружности поперечного сечения

оболочки.

Подставляя значения и,

w из (4.20)

уравнения

(4.19),.

придем к следующей системе алгебраических уравнений:

У р р ~

у + 1[ 2гсо+

р 0 ° -

S- * 0 ] 8>*} f* -= °

(/ = 1 ,2 ,3 ), (4.21)

406

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. III

в которой введены следующие обозначения:

&12 =

С^тп2 2С^тпп-J—С$$п2,

*12=

*21 =

Сц™2“Ь (^12 “Ь ^бб) тП~h ^2вп2’

Ь22~~ C*0gW2-j—2C2^trtn I

C22n2,

*i3=

*3i == ^i2m ~Ь ^ 26n ~Ь д- [^ n ^ 3 “b 2Kiem2n-f-

(K12+

2K J mn* +

Kv.n%

*23 =

*32 =

С 22П +

C 2Sm + J

1 К ‘22п3 +

Ш ^ Ш П 2 - f

(4.22)

( ^ 12+

2KM) m2n +

Kl6ms],

*33 =

C22+

{Kl2m2- f 2K2emn- f K22n2) - f

+ jp [**11^

^Diem4 - f 2 (Dl2 + 2DJ m2n2+

+ iD^rrm3+ Z>22n4],

x22

—

flj2— ^2i — 0 ,

*33 '

л |

m2+ n2

<" Ca ~~№

Ял — a

(4.23)

К Pm

Kf n

a s i — «13 —

a 23 —

fl32 —

*Poo

0 0

m = kR,

8 .t =

0 0 0

(4.24)

dcoC

0 1

Из системы алгебраических уравнений (4.21) легко опреде лить критическую скорость U*.

Система (2.2) имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из коэф фициентов этой системы. Приравнивая нулю указанный опре делитель, получим необходимое уравнение для определения критической скорости:

<VU)2+ i [ ( 2e + n)“>— j f ^ ] 8/*| = 0 -

(4-25)

Невозмущенная форма равновесия оболочки устойчива, пока все значения и> лежат в левой полуплоскости комплексного пере менного. Наименьшее значение U, при котором один из показате лей со переходит на правую полуплоскость, оставаясь при этом комплексным, является критической скоростью.

Если частота собственных поперечных колебаний оболочки мала по сравнению с частотой собственных колебаний в поверх-

$ 4]	ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 407
ности	f = 0 , то тангенциальными составляющими сил инерции

можно пренебречь. В этом случае уравнение (4.25) принимает вид

о»2— io) (2s -J- fi) A ■			Q*(m, n) +			i ^ A U = 0 ,		(4.26)
где Q2 — квадрат	частоты	собственных				поперечных		колебаний
оболочки в вакууме — имеет			вид
Q2(т	1	"13д 13				~~ '
	_ *						^23-423
		^	^	+ бд.'ИзЗ —				(4.27)
’	С pi?'2	а13Л13 — агз^23 + азз^зз ’

а для коэффициента А имеем
	А		*зз		а33^33			(4.28)
	а13-^13 +		а23^ 23 +
Здесь A j3— миноры второго порядка					детерминанта (4.25).
Для любых заданных значений т и п из							(4.26) можно опре
делить значение соответствующей				частоты			ш. Бели	ее мнимая

часть положительна, то невозмущенное движение устойчиво по отношению к малым возмущениям. Наличие частот с отрицатель ной мнимой частью означает неустойчивость оболочки. Условия отсутствия корней уравнения (4.26) с отрицательными мнимыми частями могут быть представлены в-форме, аналогичной известным условиям Рауса—Гурвица. Поступая обычным образом, полу чим из этих условий для критической скорости следующие вы ражения:

C T = V (m ,n )(	1 + \| ) ,	(4.29)
где V (т, п) = — 2 (т, п) — фазовая	скорость	распространения

упругих волн в оболочке.

Наибольший интерес представляют те значения аргументов т и п, вблизи которых критическая скорость принимает минималь ное значение. Эти значения могут быть определены из следующей

системы нелинейных алгебраических	уравнений:
дЦ* = 0, d U *	= 0.	(4.30)
дт

В общем случае система (4.30) может быть решена численным методом. Для получения результатов в замкнутой форме рас смотрим случай, когда влиянием инерционных членов, возникаю щих вследствие несимметричного строения оболочки, можно пре небречь. Тогда, если имеет место симметричная форма потери устойчивости, то га=0 , а критическая скорость принимает мини мальное значение при т 4= Л JA3 и равняется

v'w* = ± V A t + 2 д а ; (1 + j ) .

(4.31)

408

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. III

где для коэффициентов А ( имеем

	R Т "	R ( C nCee- C h )	*	(4.32)

л	O n , 2 K » K i £ n - K h C M - K l , p tt
3~ 0 2 -г		O2(0 uc 66- q e)
Рассматривая	формулы	(4.31), (4.32),	замечаем, что мини

мальное значение критической скорости, а также величина пара метра т (следовательно, и длина полуволны в направлении обра зующих) существенным образом зависят от механических харак

теристик оболочки и согласно	(3.57) являются	периодическими
функциями углов ориентации	каждого слоя	в теле оболочки.

Рис. 76.

Рассмотрим двухслойную оболочку, слои которой имеют оди наковые толщины, изготовлены из одинакового ортотропного ма териала, но различно ориентированы по отношению к главным

геометрическим направлениям (а,	Р) оболочки.		Пусть	ориента
ция первого слоя характеризуется	углом	а	второго	слоя —
углом ер2.

На рис. 76 приведена картина изменения минимальной кри тической скорости потока газа в зависимости от углов ориента ции (рх и tp2.

Из рисунка видно, что при заданном материале слоев и при заданной геометрии оболочки ( 8<( Я), варьируя углами ориента ции материала слоев оболочки, можно значительно расширить область устойчивости оболочки.

| 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

409

Устойчивость

гибкой

ортотропной оболочки, обтекаемо

сверхзвуковым

потоком

газа,

учетом

поперечных

сдвигов.

Рассмотрим шарнирно опертую по всему контуру, гибкую,

весьма

пологую

орто-

тропную

оболочку,

ко

торая

обтекается

сверх

звуковым

потоком

газа

невозмущенной

скоро

стью

направленной

вдоль

оси

Ол0 (рис.

77).

Систему координат в сре

динной

поверхности

обо

лочки

выбираем так,

что

А = 1,В=1.

В выбранной системе ко-

Рис. 77.

ординат согласно

(1.5.46),

(1.7.56), (4.1)

и (4.2)

получим

следующую исходную

систему:

I / 1___ oCl2N

д *Р

C * .d * F

да* ■TACee

a ) даЩ-i T

d2w d'2w

( d2w

£*2ш I i.

dp2

Hat

~да? dp

U’

ДЗ Гд<?

d~F .

d2w d2P __

12 \da

•"

да2

д а 2

dp*

— 2 d?w d2F

d2w d2F

, d2w

r, ,

да д$ да

dfi2 ^da2- P hW

~ 2phs* —

(4.33)

d*w

h? Г

/в .

12о [б88^ п ;

1да2>~

(?2ф 1

, k3

+ г « $ ) + ^ , - М « > я 1 У + й * = о,

» S

’ + ( Du +

20« )

да*

А5 Г

1 2 0

<гр

+ В„ Й ) + ( £ „ + г ,.) Д ] + п t = о-

Здесь наряду с принятыми выше обозначениями считается также, что W^ W Q+ W, где ш0=ш 0 (a, Р) — уравнение недеформированной

срединной поверхности			оболочки,			M=U/aCD— число				Маха для
невозмущенного потока.
Граничные условия шарнирного опирания запишутся так:
при a = 0 ,	a =	a
и> =	0,	5 =	0,	^ =	0,	ф =	0,	=	0;	(4.34)
при р= 0 ,	р = Ь
w=	0,	5 = 0 ,		Т2 =	0,	<р=	0,	М2=	0.	(4.35)

410 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III

Напомним,

что Tt

M v

входящие

граничные

условия,

через искомые

функции

представляются

следующим

образом:

д - F

гр

d^F

d*F

(4.36)

' Жд р ’’

да* »

°~

да д$

" . = - О . . | г ~

Й + « * ° i . I ) .

(4.37)

Для

функций,

характеризующих

поперечные

сдвиги (ради

компактности записи),

введем

обозначения:

ф1 (а > Р*

0 — #а1<Р (<*, Р,

t) =

а д , J

Ф *(«.

Р. 0 =

Д г Ж « .

Р.

*) =

«иФ1-

(

Решение

системы

(4.33)

приближенно

будем искать в

виде

w(а,

М )

fa (*) sin х<а sin *чР>

t=l А»1

(4.39)

фх (<*>

) =

( о cos х<а sin |»иР.

*=1

A?~l

Ф2 (а, р, t) =

й <* (0 sin Х,я cos Р-Д

♦=i

*=1

ЛкъЛ

•у

IJla

(4.40)

Х<=

Т ’

где а и b — размеры оболочки в срединной поверхности (рис. 77). В (4.39) функции fik(<), pik(t) и Rik(г) подлежат определению. Рассматривая (4.39) и граничные условия (4.34) и (4.35), замечаем, что некоторые из них удовлетворены. Подставляя

(4.39)

первое уравнение системы

(4.33),

найдем функцию

F (а,

р,

t),

удовлетворяющую

остальным граничным условиям.

Затем,

подставляя

значения w, Ф 17

Ф 2 с учетом

(4.38)

в по

следние два уравнения системы

(4.33),

получим алгебраическую

систему относительно pik

(t) и Rik (t). Решая эту систему и исполь

зуя (4.39),

найдем Ф х

и Ф 2, представленные через ftk (t).

f(k (t).

Теперь

остается

неопределенной

функция

времени

Д ля

определения fik

(t) воспользуемся вторым уравнением си

стемы (4.33).

Решая это уравнение методом Бубнова—Галеркина,

найдем

следующую

систему уравнений:

2e^

S +

“ ?*/« +

®P«(/ n . •••./ «»

М) =

(4'41>

(I =

..., п;

к =

2, 3, ..., т),

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4541 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf