Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

§ 4 J

ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА

251

где <р(s, к) — функция интенсивности, f(s) — функция изменяе мости.

Функция интенсивности может быть представлена в виде асимптотического ряда

?(*. k)via0( s ) + ° - ^	°2 («)	I	an(s)	I	(4.13)
	*2	t	ft»	“
в котором o0, Oj, . . . , a( не	зависят		от большого		параметра к,

а °0 ф 0.

Ограничиваясь первым приближением асимптотического инте грирования, окончательно для искомой функции °(s) получим

следующее выражение:
о =	(Ег cos р — Fxsin Р) е~^-J- (Е2cos р -j- F2sin р) е3 -f-
	-j- i [(Z^ sin p -j- Fxcos P) e^ — (E2sin p — F2cos P) e^J,	(4.14)
где
		(4.15)
E{,	Fi — постоянные интегрирования, которые должны	быть
определены из граничных условий.

Подробные выкладки, необходимые для получения решения (4.14), здесь опущены; они приведены достаточно полно в книге автора «Теория анизотропных оболочек».

Рассматривая ход получения решения (4.14), легко заметить, что это решение с такой же точностью можно получить непосред ственно из исходных уравнений (1.2.17), (1.2.18), если в них пренебречь третьими и четвертыми членами, т. е. теми членами, которые содержат отношения С221СХ1 и D22IDU. В силу этого можно утверждать, что ограничивающее предположение С221Сп= = D M/Dii, принятое для слоистой оболочки, теряет свою силу, т. е. если ограничиться точностью первого приближения асимпто тического интегрирования, то ограничивающее равенство C22/Cll—D22/D11 не будет влиять на дальнейший ход расчета оболочки вращения в общем случае симметричной слоистости и ортотропной анизотропии.

Путем элементарных рассуждений нетрудно показать, что первое приближение асимптотического интегрирования разре шающих уравнений симметрично нагруженной ортотропной обо лочки вращения имеет погрешность порядка \Jh/Rv малую по сравнению с единицей.

В настоящей работе мы ограничимся лишь первым приближе нием, так как для целей инженерного расчета точность его вполне достаточна. При желании, исходя из уравнения (4.11) в случае

252	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК	[ГЛ. II
однородной оболочки или из системы уравнений (1.2.17),		(1.2.18)

в случае слоистой оболочки, можно построить второе приближе ние, точность которого не будет ниже точности исходных пред положений классической теории.

Общее решение разрешающего уравнения (4.1),

очевидно,

представится

суммой

решений

(4.14)

и (4.5). Учитывая

(4.2),

(4.9),

получим

а= W — tA

V = {Ег cos (3 — Fxsin j3) e-P -f-

-f- (E2COSp -f- F2sin P)

-f- i [(£j sin p-f- Fxcos P) e~?—

— (Et sin p — F2COSP) ep] +

(4.16)

Отсюда, отделяя мнимую и вещественную части, будем иметь

W =

(Ехcos р — Fxsin Р) е~?-f-

-j- (Е2cos р-f- F2sin P)

(4.17)

V =

- я г К Е , sinp +

^ c o s p)e-P-

— (E2sin p— F2COSp) <?] — cos ft .

(4.18)

Таким

образом,

формулами

(4.16) —

(4.18) представляются решения как си

стемы

уравнений

(1.2.17),

(1.2.18),

так

эквивалентного

разрешающего

уравне

ния

(4.1).

Решение уравнения

(4.1)

можно представить

в несколько

ином виде. Введем новую переменную

(рис.

45)

<4t9>

Тогда для

основных искомых функций W (s) и

V (s) получим

следующие формулы:

W =

Аге~^cos р-f-Вге^ sin р-j-A2e~?‘ cos pt -f-В2е~$‘ sin Рх,

(4.20)

V =

—

{Аге^ sin p — Bte^ cos p -f- A2e~&sin px —

cos W

- S i F .

(4.21)

где Aif B{ — новые постоянные интегрирования.

Функции,

входящие

в (4.20) и (4.21),

табулированы

(см.

таблицу 1). Для этих функций вводим следующие

обозначения:

0 (р) = е р cos р,

С,(Р) = е р sin р,

(4.22)

т < Р )= ® (Р > + с (Р ). Ф (Р )= ® (Р )- С (Р )-

§ 4 ]	ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА				253
				Т а б л и ц а	1
3	?(?)	Ф (?)	в (Э)	с (?)
0	1,0000	1,0000	1,0000	0
0,1	0,9907	0,8100	0,9003	0,0903
0,2	0,9651	0,6398	0,8024	0,1627
0,3	0,9267	0,4888	0,7077	0,2189
0,4	0,8784	0,3564	0,6174	0,2610
0,5	0,8231	0,2415	0,5323	0,2908
0,6	0,7628	0,1431	0,4530	0,3099
0,7	0,6997	0,0599	0,3798	0,3199
0,8	0,6354	-0,0093	0,3131	0,3223
0,9	0,5712	-0,0657	0,2527	0,3185
1,0	0,5083	-0,1108	0,1988	0,3096
1,1	0,4467	-0,1457	0,1510	0,2967
1,2	0,3899	—0,1716	0,1091	0,2807
1.3	0,3355	-0,1807	0,0729	0,2626
1.4	0,2849	-0,2011	0,0419	0,2430
1.5	0,2384	—0,2068	0,0158	0,2226
1.6	0,1959	—0,2077	-0,0059	0,2018
1.7	0,1576	-0,2047	-0,0235	0,1812
1.8	0,1234	— 0,1985	-0,0376	0,1610
1.9	0,0932	—0,1899	— 0,0484	0,1415
2,0	0,0667	—0,1794	—0,0563	0,1230
2,1	0,0439	—0,1675	—0,0618	0,1057
2,2	0,0244	—0,1548	-0,0652	0,0895
2.3	0,0080	—0,1416	—0,0668	0,0748
2.4	—0,0056	-0,1282	—0,0669	0,0613
2.5	—0,0166	-0,1149	—0,0658	0,0492
2.6	-0,0254	—0,1019	—0,0636	0,0383
2.7	—0,0320	-0,0895	— 0,0608	0,0287
2.8	—0,0369	-0,0777	—0,0573	0,0204
2.9	—0,0403	-0,0666	-0,0534	0,0132
3.0	—0,0423	—0,0563	-0,0493	0,0071
3.1	— 0,0431	—0,0469	-0,0450	0,0019
3.2	—0,0431	—0,0383	-0,0407	-0,0024
3.3	-0,0422	—0,0306	—0,0364	— 0,0058
3.4	-0,0408	—0,0237	—0,0323	—0,0085
3.5	-0,0389	-0,0177	—0,0283	—0,0106
3.6	—0,0366	—0,0124	—0,0245	-0,0121
3.7	—0,0341	-0,0079	— 0,0210	-0,0131
3.8	—0,0314	—0,0040	— 0,0177	-0,0137
3.9	—0,0286	— 0,0008	—0,0147	— 0,0140
4.0	—0,0258	0,0019	—0,0120	— 0,0139
4.1	—0,0204	0,0057	—0,0074	-0,0131
4.2	— 0,0204	0,0057	-0,0074	-0,0131
4.3	-0,0179	0,0070	-0,0054	-0,0125
4.4	— 0,0155	0,0079	—0,0038	—0,0117
4.5	-0,0132	0,0085	—0,0023	-0,0108
4.6	— 0,0111	0,0089	-0,0011	—0,0100
4.7	-0,0092	0,0090	—0,0001	—0,0091
4.8	— 0,0075	0,0089	0,0007	-0,0082
4.9	-0,0059	0,0087	0,0014	—0,0073
5,0	—0,0046	0,0084	0,0019	—0,0065

254	Н А П РЯЖ ЕН Н О Е СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ О БО ЛО ЧЕК								[ГЛ . II
						Т а б л и ц а 1		(продолжение)
3	9(3)		Ф(3)			3(3)			c (3)
5,1	-0,0033		0,0080			0,0023		-0,0057
5,2	—0,0023		0,0075			0,0026		-0,0049
5,3	-0,0014		0,0069			0,0023		-0,0042
5,4	— 0,0006		0,0064			0,0029		—0,0035
5,5	0,0000		0,0058			0,0029		-0,0029
5,6	0,0005		0,0052			0,0029		-0,0029
5,7	0,0010		0,0046			0,0028		-0,0018
5,8	0,0013		0,0041			0,0027		-0,0014
5,9	0,0015		0,0036			0,0026		-0,0010
6,0	0,0013		0,0031			0,0024		—0,0007
Между этими функциями имеют место соотношения
			3^2		:2с,				(4.23)
			3^2
			— С:			26.
			— С:			26.
Учитывая введенные обозначения					(4.22), из (4.20)			и (4.21) мы
получим для искомых функций V и W, которые представляют
решение	уравнения (4.1),		следующие			окончательные расчетные
формулы:
	W =	А,0 (3) +	В+. (Р) +	А26 (р2) +			(&),		(4.24)
V =		® - А ^ №) + В $		(Pi) -		А *	(W1 “	•	да25)
Входящие в эти представления постоянные интегрирования
А{, В( должны быть определены из граничных условий.
3.	Внутренние силы и моменты, напряжения,							перемещения.
Подставляя выражение для однородной части V из (4.25)									в одно
родные формулы (1.2.11)			и прибавляя соответствующие частные
решения	(4.6),	получим	для внутренних				тангенциальных сил
Тх и Т2 следующие выражения:
Т1= ADU [А£ (р) - ВхО(Р) + Л 2С (р,) -					В20(р,)] ^ +

+	R ^ W	[ f e ° ~ S r (Xcos& +		Z sin	ds] ’
		L	*0		J
T2 = ADn \|Л2<>(p,) + B2? (PO - A J (p) - B # (p)l -
-	[ S ~	i r (X COS ® + Z sin		dsl +	R&-

(4-26)

(4.27)

4]	ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА				255
Подставляя значение V из (4.25)			в	третью из формул	(1.2.11),
получим для поперечной силы N следующее выражение:
	N = ADU[В,6 (Р) -	А£ (?) +	Я26 (РО - Л 2С(p2)j		(4.28)
	Подставляя значение	W из (4.24)		в (1.2.16) и при этом пре

небрегая членами порядка \jh/Rдля внутренних изгибающих мо ментов Мх и М2 будем иметь

Г-А 1? (Р) -

В л (Р) -

(РО+

в 2<]>(рж)|.

(4-29)

Л/2 =

Л 12 у Гщ

[А1Г(Р) -

В $ (Р) -

П2? & ) +

В2<]>(Р2)1 +

В22 [А,6 (Р) +

(Р) +

л 26 (Р2) + 5 2С(Р,)1 ^ .

(4.30)

случае

однородной

оболочки

напряжения

определяются

с помощью

обычных

формул

(1.1.16).

случае

же слоистой

оболочки,

подставляя

значения

е.

из

(1.2.15)

значения

^ из

(1.2.6)

соответствующие формулы

(1.10.8),

получим для нор

мальных

напряжений в слоях оболочки следующие выражения:

L<(v

Ь ) _ т (в -

B‘nwJ ^ ) ,

(4.31)

( _____ ________ дь

Q„

d V

, Дis [ T, sin ft

(4.32)

* =

з г +

£ ( » ' ^

- т ) - т ( в

!£

« . и,г7

- ).

где, как и раньше,

All — B\iC12— В\2Сп,

Д22 =

В'&СХ2— B\£w

Ala =

В'цС22— В\2С12,

Д|| =

ВуСи

В\2С12.

Кстати,

формулы

(4.31)

(4.32)

могли

быть

получены из

более

общих формул

(1.12.14)

(1.12.15)

путем отбрасывания

членов,

которые содержат

коэффициенты К (к.

Отличное от нуля касательное

напряжение т ^ = t* определя

ется

из

(1.10.10).

Подставляя

значения

напряжений о*

и о*

в (1.10.10)

(а* =

з*,

а < = :а ‘ ,

т{?=

т^ =

удовлетворяя

усло

виям

контакта

смежных слоев

(1.10.12)

на внешних поверх

ностях

(1.1.13),

получим для касательного

напряжения t* сле

дующие формулы:

для

наружных слоев:

2ш+2-< diW

CnBfr«-<

С12\ d2V

ds-

U i2f +2“ ‘'

Cn )

ds‘t

*| P2m+2-< dJW. ,

CnR\y+*~*

■Rlf+i-f

'1 2

I £ 1 .

(4.33)

Ги

d«2 + я<>

ds2 1

256 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

для внутренних

слоев

(г =

1, 2, 3,

. . /те-J-1):

v -

72 D i dm

cuBUfB{,

cl2\dzv

D„

1 ~ л

2 B llds*

(

!20

cn) ds* 2^n

ds*

h CuRUfRU

Cn\0V

(4.34)

Q 0 \ R U

C u ) d s * >

где \ — hj2 (рис. 32),

а также

P% =

B*Jk (32 -

82+1)j ,

(4.35)

^ ■

[

№

2 ^

( 8

s - 8

e+1) ] .

(4.36)

Подставляя значения

и s2

из

(1.2.15)

в (1.2.21), получим,

для радиального и осевого

перемещений:

(4.37)

« , =

<! +

i [ V

.Ш * -

со, •

(4.38)

Компоненты перемещения могут быть представлены и несколько иначе. Из (1.2.9) имеем для деформаций et и е2:

Si = (C22r i - C 127’2)2 - ,> £2= ( а д - а д ) 2 Г -

(4-39)

Подставляя значения ех и е2 из (4.39) в (1.2.15), получим сле дующие выражения для перемещений:

	cr = r(C u7’2- C 127’1)S ; 1,	(4.40)
«, = ej + Sв	Sin & + 2 -1( В Д - СпТ2) cos Ъ] ds.	(4.41)
во

Значения функций F(s) и W(s) не подставлены в расчетные формулы (4.26)—(4.41) ввиду громоздкости получаемых при этом выражений. Для облегчения вычислений, связанных с ука занными расчетными величинами, приведем окончательные выра жения необходимых производных искомых функций V и W . Согласно (4.24) и (4.25) легко получить

J T =

У щ [А (Рг) + В,<р (РО - A J (?) - В1?(PJ1 -

§ 5] КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ 257

c S fe [Л 16 (Р )+ в iC (р )+		л *6 (Pi)+ < & > ! •
= ~ У ш , ^	(?) - ВЛ (Р) - А2?(PI ) + Щ (Р01*
^ = ^ ^ С<Р) “	<Р)'+	<Pi>- В*9<Pt)l-

При получении этих формул мы ограничивались принятой здесь точностью, т. е. пренебрегали членами порядка \JhjR. по сравне нию с единицей.

Наконец, укажем, что мы не можем требовать от приведенных здесь расчетных формул, чтобы они во всех точках оболочки обе спечивали точность первого приближения асимптотического ин тегрирования. В особых точках расчетные формулы могут дать неприемлемые результаты.

4. Замечания. В частном случае круговой цилиндрической оболочки, когда 1/Л1= 0 , i?2=/?=const, &=0 , полученные выше расчетные формулы являются точными, т. е. имеют точность исходных уравнений.

С помощью приведенных в этом параграфе формул могут быть решены задачи определения напряженного и деформированного состояния однородных и симметрично собранных относительно срединной поверхности слоистых оболочек вращения, находя щихся под действием внешних осесимметричных воздействий. Решения конкретных задач мы не приводим, так как эти решения могут быть получены элементарным образом и широко освещены в современной литературе.

§ 5. Краевой эффект в анизотропных оболочках вращения

Рассмотрим вопрос о распространении краевых воздействий по оболочке вращения, изготовленной из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки главные направления упругости совпадают с главными геометрическими направлениями обо лочки — с меридианами, с параллелями, и с нормалями.

Если начало отсчета координаты s совместить с одним краем оболочки, а длину оболочки по дуге меридиана обозначить через L, то для значений В, соответствующих краям оболочки, согласно (4.15) и (4.19) будем иметь

Р = о .

о	2
Тогда, как нетрудно заметить	из (4.19), через Pi=<*<>— Р

будет представлена координата текущего поперечного сечения оболочки, отсчитанная от края s=L (рис. 46).

ПС. А. Амбарцумян

258	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК				[ГЛ. II
Рассматривая		решение	(4.24),	(4.25) разрешающего	уравне
ния	(4.1), легко	заметить,	что	входящие в эти представления

функции 0(Р), С(Р) убывают при удалении от края s=0, а функции 8 (РХ), £(рх) — при удалении от края s = L . Как видно из таблицы 1, эти функции уже при р=гс имеют порядок 0,04. Поэтому, если исследуемая точка находится на окружности поперечного сече ния оболочки, удаленной от края оболочки настолько, что при заданных значениях упругих постоянных и геометрических харак-


z	теристик оболочки				параметр (3
	становится		больше		или		равен

,s = Z , ( р = с г о ) , ( р ~ 0 )	к	и),	то влиянием				этого
	края	на напряженное				состоя

	ние точек		рассматриваемой ок
	ружности или более удаленных
	точек,	с	точностью			техниче
	ского	расчета		(1+0,05 л* 1),
	можно пренебречь.				Это		усло
	вие можно сформулировать не
S=0,(J}=0),(JS=O(o}	сколько иначе,			а именно: если
	упругие постоянные (Ег,
Рис. 46.	v,, v )	и геометрические харак
	теристики (h, t., R2) оболочки
	таковы, что р ^			г.	при		задан-

Ном s, то влиянием края на напряженное состояние части оболочки, соответствующей s, можно пренебрегать.

Таким образом, если ограничиться указанной выше точностью, то можно утверждать, что краевые воздействия в глубь оболочки могут распространяться до тех поперечных сечений, для которых Р ^ я, т. е. ширина зоны распространения краевого эффекта может быть установлена из условия (3=я.

В реально существующих оболочках зона распространения краевого эффекта достаточно узка, и в пределах этой зоны, с до статочно высокой точностью, можно считать Л 2постоянным. Если теперь в выражении (4.15) не считаться с изменяемостью R2, то для (3, согласно (4. 9), получим

(5.2)

Полагая в (5.2) р=п, получим формулу для определения длины (по дуге меридиана) зоны распространения краевого эффекта:

(5.3)

Отсюда следует, что если длина оболочки по дуге меридиана L ^ s*, то взаимным влиянием краев можно пренебрегать. Это

5 5]	КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ	259
означает,	что при L ^ s* нагрузка, приложенная к краю	\|3=0,

практически не влияет на напряженное состояние другого края (Р = а 0), и наоборот.

При однородной ортотропной оболочке, на основании (1.1.25), (1.1.34), (1.2.15), из (4.9) получим

(5.4)

Подставляя значение А из (5.4) в (5.3), получим формулу для определения длины зоны распространения краевого эффекта в случае однородной ортотропной оболочки толщиною h:

(5.5)

В частном случае изотропной оболочки, учитывая, что E9~ E t= E t

v = v #= v=l/m , для зоны	распространения краевого эффекта
получим известную формулу:
	(5.6)
Формулы (5.3)—(5.6)	выведены с некоторой погрешностью

(они точны для круговой цилиндрической оболочки) ради про стоты и получения единых формул для всех типов оболочек вра щения. Допущенные при этом погрешности незначительны, ибо, как нетрудно заметить из формул (5.3)— (5.6), длина зоны распространения краевого эффекта для реальных оболочек в дей ствительности мала, а в узком кольце оболочки вращения изме няемостью радиуса кривизны R2можно пренебрегать. Однако при необходимости в каждом частном случае квадратуру формулы (4.15) можно вычислить точно и найти необходимое значение длины зоны распространения краевого эффекта.

Сравнивая формулы (5.5) и (5.6), замечаем, что, в отличие от изотропных оболочек, в анизотропных оболочках соответствую щим выбором упругих постоянных можно существенным образом изменить величину зоны распространения краевого эффекта и тем самым влияние краевых условий (при заданной длине обо лочки L) на общее напряженное состояние оболочки.

На этом мы завершаем исследование краевого эффекта в ортотропных оболочках вращения в классической постановке, т. е. когда исходное разрешающее уравнение построено на основании гипотезы недеформируемых нормалей. Однако вопрос этот требует

дальнейших исследований	и	разъяснений, и поэтому мы бу
дем возвращаться к нему	в	некоторых параграфах настоящей
главы.

17*

260 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

§ 6. Длинные оболочки вращения

Анизотропные оболочки вращения, применяемые в инженерной практике, в основном являются длинными оболочками, для кото рых взаимным влиянием краев можно пренебрегать.

Рассмотрим длинную оболочку вращения, по краям (s=0, s—L) которой действуют изгибающие моменты М®, М\- и пере

резывающие	силы №, N L (рис. 47,	48).
Учитывая	основное свойство длинных оболочек, отбросим
в расчетных	формулах (4.24)—(4.30)	функции Рл при вычислении

величин, относящихся к краю s= 0, и функции								р при вычисле
нии величин, относящихся к краю					s=L.		и В ( и подставив
Определив постоянные интегрирования А						(
их в формулы (4.24)—(4.30), получим следующие выражения
для	основных искомых		функций	F(s), W (s)			и	внутренних	сил
и моментов:
W =	[.R I N о ? ( р ) +	s/ Щ	А М \ Ь ( р ) +		R \ N ^ ( p j ) -
					- у / Э р л ^ е д а ,)],				(6.1)
V =	[Д § Л Г °< \| » ( р ) — ^ Щ	а М % ( р ) - f R L N L ty ( Р л ) +
			-f N/2flp'^(P i)l-S iy.						(6.2)
T l =	[ s / Щ А М % ( р ) —	R ° 2 N ° ty ( Р ) — R % N ^ ( Р , ) -				\ / Щ А М % ( Р л)\| ^			+
	+		f Й -	f	r <Х cos	8	+		(6.3)
								Z sl n 9 ) ‘' ’ ' I '

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб3Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf