Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4527 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

6]		ДЛИННЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ				261
Т2 = —У щ		[ 2 m * (Р) +		\/2RIA МЦ (Р) +	2Щ№Ъ (PJ +
+ s jW iA M im ] +			R*Z	И х COS&+ Z sin&)ds j,(6.4)
N =	(P) — ^Щ А M% (P) - f
			+	(Pi) + у/ Щ *	(Pi)] ^ ,	(6.5)
M 1 = 2R* Y m x № (P )+				V § 2M> (P) -
			- 2RL* У щ г NK (P i)+ V f t Mtv (&>•			(6 -6)
M2= p	M, +	A	[R im cp (P) + sjw u M?6 (P) +
" ll		" l l"		(Px) - VЩА му (Px)]
			+	(Px) - VЩА му (Px)]		(6.7)

Формулы для определения напряжений (4.31)—(4.34) и пе ремещений (4.37)—(4.41) остаются без изменений. При этом в процессе определения указанных величин нас будут интере совать:

5 7 = У щ [ ~ 2«;д-«в (S) _ V2« p				д/;+ щ -	2« ; л " о	« у	-
- V 2H p	» » f f 01 +	B ^ —	j ^ y r g - j r f X c o s S +				Z sm ejisJ ,
" = - 2 ^	щ	« и	- s r ,
		+	2 i	V n ? ^	«> ■ > -	Я Г . V g f		( Ы -

Для полноты картины приведем граничные условия в рассмат риваемом случае. Граничные условия ничем не отличаются от граничных условий изотропной оболочки вращения.

Выпишем три основных варианта граничных условий (см.

гл. I, § 2):
к р а й р= 0 с в о б о д н ы й :
	№ = 0, А/х=	0 ;	(6.8)
к р а й Р= 0	ш а р н и р н о о п е р т ы й :
	н> = 0, М; =	0;	(6.9)
к р а й Р= 0	з а д е л а н н ы й :
	+ \/ЩА Ml =	0, w= 0 .	(6. 10)

262	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК				[ГЛ. 11
	Соответствующие граничные условия по краю Pi=0 имеют вид
	NL =	0,	Aff = 0,		(6.11)
	u> =	0,	М [= г 0,		(6.12)
	— \1Ш%АМ{ = 0, 11>=г 0.				(6.13)
	Для нормального перемещения w, входящего в граничные
условия, согласно (1.2.22),		(4.40),		(4.41) имеем
w =	CU- *Q С'2? 1 г cos Ь -f-1ej -f- j			(W sin Ь -f-
	^		*0
	+		~	cos b)ds sin 6.	(6.14)

Замечание. С помощью приведенных в этом параграфе рас четных формул без какого-либо труда могут быть решены за дачи определения напряженно-деформированного состояния длинных ортотропных оболочек вращения (однородных и сим метрично собранных слоистых), находящихся под действием осесимметричных внешних воздействий. Предложенным здесь методом решены многочисленные задачи. Читатель может найти их в соответствующих публикациях.

§ 7. Решение некоторых задач для оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны,

составленных из произвольного числа слоев

Здесь будут рассмотрены оболочки, составленные из орто тропных слоев, плоскости упругой симметрии которых взаимно параллельны, а главные направления упругости совпадают с главными направлениями координатной поверхности оболочки

(см. гл. I, § 12).
Полагая ^		= 00,	из	(1.12.1)			получим	следующую	систему
разрешающих дифференциальных							уравнений задачи:
d2V	sin9dF	C22sin29 T;r			Р 1 <№W . Р 2— P-s sin 9 dW
-JT;	— п		— V — — —					ds
d s2		Cu	r2				d s 2	ds
d~W	s i n & d W	D 22 —		s i n 2 9		W :		d '-V	(7.1)
ds2		A i —			7-2		U 0 ( D u —	D I J ) d s1
		,	P2~\- P ]			s i n	9 d V ,
		" r Q 0 ( Z ) 1 1 - Z ) l° 1)				г
	■ Г	P3		s i n 2 9
		(Оц -	0 Ji)		r2

§ 7J ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ

263

Предполагая, что

(7.2)

систему дифференциальных уравнений (7.1) можно свести к од ному разрешающему дифференциальному уравнению второго порядка следующего вида:

dr-о	iP,		ds\			iP i________^ sin ft
( * - ^ цОо(Рн '		Hi) /	ds\		VCц2о (Pii
		iP		s	ft ,	i'JQо	cos ft
		•a_______\		in2				] =
- К	*	(Dи ~	D°n) )		r:	VCnfOn-O?,)		] =
						Ф n - £>?,) ® ,(*).		(7-3)
где искомой является комплексная функция
		1= w + ‘ V m £ ± m v-						<7

Таким образом, задача о -напряженном состоянии несиммет рично собранной многослойной ортотропной оболочки вращения при предположении (7.2) свелась к решению линейного диффе ренциального уравнения (7.3). Имея значения функции о, с по мощью (7.4) можно легко определить значения основных иско мых функций W и V, через которые выражены все расчетные величины задачи.

Остановимся несколько подробнее на случаях конической и цилиндрической оболочек. При этом будем рассматривать лишь соответствующие однородные уравнения, полагая, что частные решения, отвечающие грузовым членам, точно или приближенно определены.

1. Цилиндрическая оболочка. Для круговой цилиндрической

оболочки имеем
7?! = со, г = Д 2= R = const, & =	0.	(7.5)
Тогда исходное разрешающее уравнение (7.3),	которое	в этом

случае из системы	уравнений (7.1) Получается без упрощающих
предположений (7.2), примет		вид
	g - b	=	W	( S),	(7.6)
	SoU3! —i		^цЦо(Рц —Дll)]		(7.7)
	*[CnOo(0 i i - B f i ) + ^ l ]
					’
^ ( s ) “ C n Q 0 ( £ > п —	D f i ) + P \ ( C n 2 o		( A i	D °n) ф 2 ( s )

- CuP,®i (*) + 1s/CuQ0 (Du - D°n) [CnФ, (*) + Л Ф 2(*)]}.

(7.8)

264	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК					[ГЛ. II
Решение соответствующего (7.6) однородного					уравнения получим
в виде			tBj) е(а+Шг + (At + lBt) e~(a+ib)',			(7.9)
	О = ( 4 Х+		tBj) е(а+Шг + (At + lBt) e~(a+ib)',			(7.9)
где
	а =	1/Ч	1^цОо(Оц - Р У 1) + ^ ! - Л 1
		V	2 R I C 11Q0 ( D U	- D « 11) + P l ]	’	(7.10)
						(7.10)
	ь — Л.г Од К Д Г Й > п -			РЬ) + Р'{ + Л1
		г	2R [Сп2о(Д и - £ ? !) + ■??]		’
так как принято,		что	\]к= a-fifc,
			\]к= a-fifc,			(7.11)
А (,	В. — вещественные постоянные интегрирования,					которые
должны быть определены из краевых условий.
	Приравнивая	выражение (7.9) к (7.4), после серии преобра

зований получим для основных искомых функций F(s) и IF(s) следующие формулы:

V = \| / М ^ П Е И 5 [BlXl (,) +	AlVl (s) + В2у (s)		(,)], (7.12)
W L A M (s) - BlVt (s) + А& (») + В я (s),			(7.13)
где		e~“*sin bs,
у (s) — e~al cos bs,	7j (s) =		(7.14)
& (s) = eMcos bs,	fh (s) =	ea‘ sin bs.

Имея значения искомых функций V и W, с помощью формул (1.12.9)—(1.12.13) легко определить все расчетные величины задачи.

Исходя из решений (7.12), (7.13) и поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, получим соотношение для определения длины зоны распространения краевого эффекта:

s* __ п т/ 2R [Спй0 (Рп — Р%х) + Р\\

(7 15)

'й0[V^CJJQQ(Z)U -- ^11)+ ^ ? -- Рll

Рассматривая (7.15), замечаем, что, как и в (5.3), длина зоны распространения краевого эффекта существенным образом зависит как от геометрии оболочки и ее слоев, так и от механиче ских характеристик материала отдельных слоев оболочки.

2. Коническая оболочка. Для круговой конической обо лочки имеем

= со, г = (s '— s) sin a, & = a,

S 7]	ОБОЛОЧКИ ВРАЩВНИЯ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ			265
где	s' — длина образующей оболочки,	2а — угол	конусности,
г0 — радиус основания конуса.
	В рассматриваемом случае разрешающее уравнение			(7.3)
примет вид
	£ - r b - £ - [ - ( 7^ + V	. ^ ] « =	0.	(7.17)
	Как было указано выше, мы будем рассматривать лишь одно

родное уравнение. Будем считать, что частное решение разре

шающего уравнения	(7.3)	с требуемой точностью известно.
Для коэффициента к0,		аналогично (7.7), имеем		следующее
выражение:			_______________
____ ОоЕ1 — УСцОр (Дц — ffii)]				(7.18)
V			— ^11) + ^?]	(7.18)
V

Полагая
Х =	2 ^ ( s '	s) ctg a.		(7.19)
Х =	-----—	\/h	, х = \/хз,	(7.19)
		\/h
из (7.17) получим следующее разрешающее уравнение:
■ ё —	[ ( ®	- т ) г г + ь ,А ] , = 0 -		<7-20>

где h — полная толщина оболочки.

Таким образом, задача конической оболочки свелась к урав нению типа Бесселя, общий интеграл которого можно представить

в следующем виде:
* = у!х [C J ijr (i \!hrjt0x) -f- C%Y*iT (t V ^ A " X)]>	(7.21)

где 7V, Y y — функции Бесселя соответственно первого и второго рода индекса v; Си С2 — комплексные постоянные.

Ограничимся рассмотрением оболочек с малым углом а; при этом будем интересоваться лишь точками, достаточно удаленными от вершины конуса. Тогда вместе с х аргумент бесселевых функ ций принимает большие значения, и для них будут справедливы асимптотические разложения (с точностью 1Iz)

К (z) = N/2/яа cos (z — J ) ,

(7.22)

= № s in (z — -y — -J ).

Далее, в силу (7.4), (7.19), (7.21) и (7.22) получим для иско мых функций W и V следующие выражения:

W : : Аг cos^— b0 \jr0h х — ~ — \/Х тг^ch (а0\Jr0h х ) -f-

si« ( — i%'JrJ* * — X “

s h (a0 \frjix) - f

266	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК										[ГЛ. II
	+ А2	sin		b0 \Jr0h X— J. _				^ л) ch (а0\Jr0hх) —
	— В2~	cos ^— Ь0 \jrji х — ~							sh (а0 \JrJix),		(7.23)
v =	'		{^ T f C o s ^ — b0s]T^x — -£•—
	— \J\ njch(a0\Jr0hx) — .dj-^L-sin (— b0\Jr0hx —
	7C	\J\iz^sh(a0\Jr0h x )-j-В2-^= sin( — b0\]rji x —
	T	\J\iz^sh(a0\Jr0h x )-j-В2-^= sin( — b0\]rji x —
	— ~		ch (a0\Jr0hx)-f-					cos ^— b0 \lr0h x —
						—	£- —		sh (a0 \/r0A z ) j ,		(7.24)
где,	аналогично		(7.10)	и	(7.11),
					Фо =		« о +	г Ь о>			(7.25)
	.		1/4	[ ^ IIQQ(On ~ Д?i) + ^					- Pil
	Х° —		Г	2r0[CnQ0(Du - D ? L) +					P12l	’	(7.26)
	ь	__l / " [^C11Q0 :P n -p ? i)-b P f+ P i]									(7.26)
	ь	__l / " [^C11Q0 :P n -p ? i)-b P f+ P i]
	0 - V			2 r 0 [Cua0 (Dn - D»n) +					Pf]
Входящие в (7.23) и (7.24)						постоянные А. и В. вещественны
и должны быть определены из граничных условий.
Имея значения W				и	V,	по	формулам			(1.12.9) — (1.12.13)
можно определить все				расчетные величины.

§ 8 . Интегрирование разрешающих уравнений технической теории цилиндрических оболочек методом одинарных тригонометрических рядов

Метод решения задач о равновесии цилиндрических оболочек с помощью одинарных тригонометрических рядов широко осве щен в современной литературе. В связи с этим здесь будут изло жены лишь те основные положения, которые, как нам кажется, достаточны для случая анизотропных цилиндрических оболочек.

Здесь в основном будут освещены вопросы интегрирования однородного разрешающего уравнения круговой ортотропной оболочки. Что же касается частных интегралов неоднородных уравнений, то они, как известно, могут быть найдены из неодно-

§ 8]	ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК			267
родных	систем уравнений	(1.13.13), (1.13.15), или,	в частном
случае,	из неоднородного	разрешающего уравнения		(1.13.27).

Во многих практически важных случаях для обычно встречаю щихся поверхностных нагрузок частный интеграл можно строить по безмоментной теории.

1. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля. Рассмотрим ортотропную многослойную цилиндрическую обо

лочку	открытого			кругового
профиля, у которой в каждой
точке	каждого		слоя	главные
направления		упругости совпа
дают	с направлениями коорди
натных линий. Пусть				оболочка
перекрывает			прямоугольный
план (aX&i) и имеет следующие
размеры: по		образующей — а;
по дуге поперечного круга — Ь;
радиус кривизны координатной
поверхности		(у = 0 )—R. Пусть,
далее,	система		координат вы
брана	так,	что	коэффициенты
первой квадратичной формы А
и В равны единице				(рис. 49).

Рассматриваемая оболочка свободно оперта по поперечным криволинейным краям а = 0 , а=а, т. е. по криволинейным краям

имеем следующие граничные условия:
при а=	О
	0,	Тг = 0 ,	II о
при a =	а		(8.1)
при a =	а
	0, У = 0	т, = о,	М1 = 0,

На прямолинейные кромки оболочки никаких ограничений не ставится, т. е. граничные условия на прямолинейных краях обо лочки (р= р1т р=|32) могут быть произвольными.

Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае однородной задачи записывается следующим образом:

Р	< )8 Ф	д8ф	д8ф
Р	1 С>а8	1 + Р-о	Pi да12д$в

<Э8ф	д * Ф	<?вф
+ Р 2 <?Р8	2Q 1 дав - 2<?3
	- 2 Qt	дбф	1	Й4Ф	_	О	(8 .2)
	- 2 Qt		1	Й4Ф	_	О	(8 .2)
			Д2	dai	~	‘

268 НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

Решение разрешающего уравнения (8.2) будем искать в форме

		СО
	Ф =	2	Ф. (Р) sin Хи«,	Х„ = - S L ,		(8.3)
		т = 1
где т — целое	число,		фт(Р) — новая	искомая	функция, завися
щая лишь от одной переменной \|3.
Подставляя значение Ф = Ф (а, \|3) из (8.3)					в уравнение	(8.2),
придем к соотношению вида
		2	rfmOU sinXma = 0,			(8.4)
		т = \
которое может быть выполнено, если потребовать, чтобы
4 . ( t . ) = Р*	- Р Л n f c - + 1 Р Л +
+ т		., ) ^ г - ( р л + 2< ? л > - ^ +
			+ ( Р Л + Ц > Л + я т К ) ъ = 0 -			(8.5)

К интегрированию этого обыкновенного линейного дифферен циального уравнения с постоянными коэффициентами и приво дится задача нахождения то-го члена разложения (8.3). Уравне ний типа (8.5) будет столько, сколько членов удерживается в ряду (8.3). Каждому члену ряда (8.3) соответствует некоторое напря женное и деформированное состояние многослойной ортотропной цилиндрической оболочки.

Вспомогательные искомые функции w—w(a, (3) и cp=tp(a, р) могут быть вычислены с помощью формул (1.13.36).

Подставляя значение Ф (а, (3) из (8.3) в указанные формулы,

получим
=	sin \та, ? = 2 <Р« sin 1та,	(8 . 6)

где для коэффициентов И^т( р) и <рт(|3) имеем следующие представ ления:

W =	С22	<4.	(8.7)
W =	Q0	<гв4 »	(8.7)
	Q0	<гв4 »
%	if 12^11— ^ 1111°12С-
%
if 22^11 — if 12^12 2 if ее К11^22 — if 12^22 \12		d4o
	Q0	лр*

^ 12^22 — ^ 22^12

(8.8)

Со

# 4 '

§ 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 269

Подставляя значения Ф (я,		р), w (я,		р), tp (я, р) соответственно
из (8.3), (8 .6) в	формулы (1.13.31)		— (1.13.34), (1.13.40), каж
дую из расчетных величин представим в виде
Ti = 2	TimSinX^R,	M . =	2	M im S l n X m a >
т			m
S =	cos Хтя,	н =	2	н тcos K a>
m			m

=cosXma, N2= ^!l N2msin \m ,

		m			m	(8.9)
И=		2	Umcos Xma,			(8.9)
И=		2	Umcos Xma,	v = m		s i n K a>
		m		v = m		s i n K a>
^	=	2m ° L 8in Xma>		3L	= 2 ° / msin Хтя,
^	=	2m ° L 8in Xma>			m
^	=	2	T«pm c o s x ma ,	? 2	= 2 f2msin xma.

Здесь в первых двух формулах под индексом i надо подразу мевать 1 или 2 , а в формулах для напряжений индексом i обозна чается г-й слой оболочки. Последняя формула представляет угол поворота какого-либо продольного сечения, который определяется известной формулой tp2= —w,?+v/R.

Выпишем выражения для коэффициентов представлений (8.9): внутренние силы:

__ __ Г_1_Т2

d i]2Cu — ^11^12

^2Ф,в __

1 _ Д d fr - * »“ г "

Q g

( К

22^11

—

^ 1 2 ^ 1 2

9 ^ 6 6

^ 1 1 ^ 2 2

— К ] уС1 2 ^ 1 2

^ Ф т

с66

)

т dp

(8.10)

12^22 —

КааС

dp6 J>

22^12

2щ

-1х4ф

4 - К ™Сп ~ К "£л& Х8ф

тТ tn

ml ft

22^11

—

^ 1 2 ^ 1 2

___ О ^ 6В

п ^ 22 —

^ 1 2 ^ *1 2 N y i

^ ? Ф т

- (

£2n

С g g

Q g J

« ~

K „ c lt X2m^

L t

(8.11)

_1 ^3

^12^11— ^11^12 ^5

^Ф:

R m

__/ ^ 22^11 — ^ 12^-12 __ о /Tgg .

-^11^22 — ^ 12^12 \ \3

d34ln

^06

®0

”

dpa

^42^22— -^22^12 1

Щщ .

/8 19\

Q g

d p s '

‘

270

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. II

изгибающие и крутящий моменты:

= (»„ - OJ.)а„+(/>„- ОД ОД+

+ -------- ц;---------У2- ’

(8.13)

м 2т=

(£»22-

Д у с 2т +

(Да2-

Д У Gle +

^ gl1 -

Т2т ~h

. ЛГюАа — кчэ.Сп_ Т.

(8.14)

+■

нп=

( Д

ЩЬ* — Gn>п+

(8.15)

Лх* -£fe

ilia - ,

(8.16)

•m dpi

’

°1т-- Т^ЧА.

V^ee

S0У m dp2

C22

^®Фт

(8.17)

^11 )1d"*m 11f

dtyffl

2 £i£) x2 d[34

" o T

’

Wm--

”

dpa

1 1

S0 j m

\Свб

2£nVi d3^)M

(?22 v

ilia , .

(8.18)

(|1

^11 >s dim ,

•

m d65

v12m—

SoО

“

dpГ

I 1

s 0У m

д .

^' c66

тангенциальные перемещения и угол по

t/.

4 ^ - ^ ф

с ,

, * , , -

с , ,

( * , ,

« «*>

а - ^

Йп

^66^0

d^„,

, Си(#1, + 2Км) —#«(Cli±£g**« "dpr+

^66Q0

\ Со21

ха..

(8.19)

„

‘ 1

£3п

“

#22

<*5Фт

С ц # М

—

^12 (#12 +

j # g g l X2 " ^ 3

7П-

—

/У

Г\

) .

d*m _

Й?5

Сбб£3°

g n (# 1« +

2# i « ) - # i i ( ciajfc-g - >*

Соб^о

C]2^ > 2 i i s

( 8.20)

C22ifim

4 J L -

•G TJ X’B

<*?

\C*

" л " а 0

К22

£ 22.^if^m___ ГJ_ £ «

* * - = (,#

Q0 У

dp5

[_Д2 £2n

<гзФ» •+

----------- W

у wpii

V ^66

#11 (gn + i ^ - К ~~ ~2 T

(o£)x2 1

d<pm

(8.21)

So / "J

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4527 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf