Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

9 з]	ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ	391
где, как	обычно,
	(3.60)
Таким	образом, уравнение (3.59) ничем не отличается	от
соответствующего уравнения классической теории. Однако		это

сходство лишь внешнее. Коэффициенты, входящие в (3.59), принци пиально отличаются от соответствующих коэффициентов клас сической теории. Здесь в Qs и р входят частота свободных колеба ний (о и критическая сила/**, которые содержат члены, происходя щие от учета поперечных сдвигов, — (1.12), (1.16), (1.25), (2.6) (2.9), (2.36).

Как известно, учет поперечных сдвигов может существенным образом изменить как частоту колебаний, так и критическую силу. Эти изменения естественным образом изменяют также картину динамической устойчивости оболочки. В частности, как показывают подсчеты, учет поперечных сдвигов приводит к су жению области устойчивости оболочки (см. формулы (3.54)).

4. Продольный удар вращающейся анизотропной полубесконечной круговой цилиндрической оболочки о жесткую стенку. Рас смотрим удар, о жесткую стенку полубесконечной цилиндрической оболочки радиуса Я, и толщины h, -

движущейся	с продольной		ско	//
ростью С и угловой		скоростью 0)		I^
(рис. 72).					ос
Пусть оболочка изготовлена из
ортотропного материала, два глав				Э	г
ных направления уругости			кото	I
рого не совпадают			‘
		с координат			Рис. 72.
ными линиями a=const, (3=const,

а третье направление, как всегда,
в каждой	точке	оболочки	совпадает с		направлением соот

ветственной координатной линии у.

Будем определять осесимметричное напряженно-деформиро ванное состояние оболочки на основе безмоментной теории.

Уравнения осесимметричного движения рассматриваемой обо

лочки, согласно (II.2.11) и (1.4),				запишутся следующим обра
зом:
	д Т 1	,	д Ы	d2w
			^2	— ЯрА д(2 ,
	dS	,	d°-v	(3.61)
	dS	,	d°-v
	~ д Г = ^ Ш -
Очевидно, что	здесь система координат выбрана так, что А — 1,
В — 1 , /?1= оо,	Я г= Я .

392 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III

Соотношения упругости имеют вид (1.1.24)

7*1== С11&1-J- С,2е2 С1вт,		С.к= Bikh,
=	C JJSJ C JJSJ *1- C JJX,	(3.62)
S =	CjgSj -f- CggSj -)- Стет,

где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи

из (1.1.6) имеем			^
ди	w	dv	/ 0 . , 0 .
ei = 1 Г '	е* = 1 Г ’		(3-Ь3)

Коэффициенты Bik определяются по известным представлениям (3.57). Для коэффициентов B'ik, входящих в (3.57), в случае ортотропного материала имеем

В Ч — 1 _

1VlVa *

В П —

! _

Е * __

_____________ _

^ v 2 •

В п — Ч2В 11— Vl 5 22

в'К =

22’ } (3.64)

В«в— ^ 12>

о,

5 ;в= о .

)

В силу (3.62) и

(3.63) уравнения движения

(3.61) в перемеще

ниях представятся следующим образом:

д2и .

„

d2v

, 1 п

д-и

д2и

| R

d2v

, 1 д

дш ___

д2и

(3.65)

■ °ie

“ Г

" в бд а -

г" ГRв " 2 6 “ а Г

—

Р Л *? >

„

ди ,

dv .

„

г .

д 2ш

5 12 А Т +

5 26 а Г

~ в

= — Лр ■

д а

1 Л

df2

К уравнениям

(3.65)

присоединим

начальные и граничные

условия, которые

имеют

вид:

при 2 = 0

w = 0, ]

и = 0,

у = 0,

д и ___

ди

= 0;

(3.06)

у-.

___

17 = - С’

■5Г =

шД’

при а= 0

ди

i i l

0 -

’

(3.67)

при а = о о

ди

1 Г =

С’

1 Г =

0,Д-

Система уравнений (3.65) вблизи фронтов волн может быть решена лучевым методом. Согласно этому методу решение системы

| 3]

ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ

393

(3.65)

ищем в

виде

*1 =1

= 2 » . < « ) " - ^п !м а

- шRt,

(3.68)

Я = 1

\t—*(«)!+

= 2 * - ( в>

пТ

где (при а ^ О )

t <

при

x(aх

(3.69)

т (а) при

t >

*(«)»

)

причем t

( a ) = t

является

уравнением фронта

волны.

Подставляя (3.68) в систему уравнений (3.65)

приравнивая

коэффициенты при

[t— т ( а) ]-\

получим следующую алгебраиче

скую

систему

уравнений

относительно

искомых

функций

flt

ф2:

( В п - р У * ) Ь +

В 1в?1 =

В и Ь + ( В „ - Р П ? 1 = 0, ф1 = о, I

;

где

V=da/dt — скорость

распространения

фронта

волны.

Из условия разрешимости однородной системы (3.70) для двух

скоростей

распространения

фронтов

волн

получим следующие

выражения:

V I=

[в и + в т +

\/(ви - в „ ) * + щ

в],

П =

I X +

у/(Ви - в

юг +

ьв*1в],

(3.71)

и соответствующие им два фронта волн:

,‘1>(«) =

/ = А

в1

г'2) («) = * =

4 - +

с2

(3.72)

Теперь, на фронте волны полагая/( a)= const, что находится в со ответствии с данными задачи, согласно (3.70) имеем

Я ° = const,

« ° = 0 (* = 1 .2 ).

(3.73)

Рассматривая формулы (3.71), замечаем, что в общем случае анизотропии обе скорости распространения фронтов волн зависят как от упругих характеристик растяжения (сжатия) и сдвига, так и от упругих констант взаимного влияния. В частном случае

394

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

1ГЛ. III

ортотропной оболочки (В1в= В 2в=0) картина существенно изме няется и для скоростей V{ получим

VI-	в,	Вв	(3.74)
	VI--

т.е. скорости распространения фронтов волн зависят лишь от соответствующих упругих постоянных, характеризующих данный вид деформации.

Приравнивая коэффициенты при последующих степенях ве

личины [t— t ( a ) ] +, и учитывая (3.73), найдем

/(*') =

const,

*<<> =

В'*

f™,

’f V } - B m

(3.75)

( « = ! .

2).

const’

№ = щ к в т

w v r [ а д

° +^26^4°]

o =

i,2),

/(••> =

const,

- щ г г

(n = 4, 5,

6, . . .;

i = l ,

2).

Таким образом, поскольку имеем две волны, а для коэффи

циентов /<<>, <р(*>,

— представления

(3.73),

(3.75)— (3.77), то

взамен (3.68) введем

п = 1

i = 1

со

(3.78)

и=1 1=1

оо

( о ) Ц

U?=

л !

«=1 «=1

Удовлетворяя граничным условиям (3.67) и

учитывая (3.71),

(3.72), получим для

/<*>

следующие формулы:

м и

a<f i

s m

e1C + wR

a 2 — a l ’

a j — a 2 ’

/О) =

/(2) =

( 3 . 7 9 )

/(1) =	bl^ -l	+	Я2) = _	/(l)
ln	02	— Oj	’ ■'«	7» »

§ 3]	ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ		395
где	введены обозначения:
	а(	1 _ М _ _
	Р ^ -б е в ’	В pFJ- Д м •

Напомним, что здесь и в дальнейшем индексы » = 1 , 2 указы вают величины, относящиеся соответственно к первому и ко вто рому фронтам волн.

Имея значения /(•'>, с помощью формул (3.62), (3.63), (3 .68), (3.73)—(3.79) можно определить все расчетные величины вблизи фронтов волн. В частности, для напряжений на фронтах волн,

в силу формул acl= 7 ,1//i,			<jp—T2/h, t^=S/h, получим
^ ’ ^ ( Я и + я А в )				а%С + Ч)Л
				“i — а2
^	=	^ ( Вп + ^ В 1Ь)		а гС + шЛ
				Ч — Ч

^> = 1^ ( Д » + в А . )				а2С + шЛ
				«1 — а2		(3.80)
				OjC +	<аЛ
ар2) =		С® 12 “ Ь а 2 В 2в)		“2— Ч

т^ ) =		Т 7 (£ 1б + а1Ббв)		а%С + шЛ
				ч — ч
	=	(В1Ъ“Ь а2ВЧб)		ajC + шВ
				“2— ч
Рассматривая	(3.68),		(3.71)—(3.80),		замечаем, что в	общем

случае анизотропии при отсутствии вращения оболочки, т. е. при ш=0 , тангенциальное перемещение v и касательное напряже ние Тф отличны от нуля.

Таким образом, с помощью приведенных выше формул нетрудно определить напряженно-деформированное состояние у фронтов волн рассматриваемой анизотропной оболочки.

Однако определенный интерес представляет напряженно-де формированное состояние оболочки за фронтами распространения волн.

Для решения этой задачи воспользуемся методом операцион ного исчисления. Подвергая систему дифференциальных уравне ний (3.65) преобразованию Лапласа и учитывая (3.66), получим

В	dm	№2и +	dm	1 Г - ^ =	Рс
	11 da?-	№2и +	5 « - ^ +	1 Г - ^ =	Рс
В 16	dm .	dm	,	В2е div
В 16	da2	д 66 da2	■рp2V ■	В da	рВш,	(3.81)

в ч -37 + в « ж + т г в +

= °-

396 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III

Исключая

из системы (3.81) w,

будем

иметь

* n S - P Р * * + Ъ

= 9 С ,

(3.82)

Й1 2 - £

- +

& 2

- Й “

P 1 ^ =

- P flt

где введены

следующие

обозначения:

—

B\.,

° п

— Dn

^22 + P * 2P-

’

—

512®26

(3.83)

°12

—

•**22+ Р®2Р2

—

«1в

^22

—

■ °66

®22 + Р®2Р2 ’

Необходимые здесь корни характеристического уравнения

системы (3.82)

будут

К 2=

- Р V2P [*>П +

*>22 ±

M il -

*>22)2+

4^2] ‘ ‘Ч

(3.84)

Остальные два корня нас не интересуют, так как соответ ствующие им решения в бесконечности не отвечают требованиям поставленной механической задачи.

Преобразованные граничные условия (3. 67) запишутся в виде:

при	х = 0			6 =	0,		6 = 0;		(3.85)
при	х =	со		й — ------- С,			р=	(oR.	(3.86)
Решение		системы			(3.82),	удовлетворяющее			граничным усло
виям (3.85)		и	(3.86),		имеет	вид
				n= A1e** +			A1ek* — j r ,		(3.87)
				6 =				,	(3-88)
где				1 ^2СЦ- wR
		A		1 ^2СЦ- wR			-	1
		A		Р2			-	1
		Л1 ----		Р2	^2 — *1	*	Л 2—	р2 Xj — Х$	’
		1	- -	b12k\			\	121	(3.89)
		1	- -	b12k\			\	121
		Kl	— рр2 - * 2 2 * ? ’				Лв, —	рр2 -> 2 2 ! •
		Kl	— рр2 - * 2 2 * ? ’				2	рр2 -> 2 2 ! •
	из третьего уравнения системы (3.81) для W имеем
			W -		R				(3.90)
			W -						(3.90)

fi22Н" Р Л 2Р 2

Имея значения 6, 6, w , с помощью приведенных выше формул можно определить изображения напряжений oe, ар, По фор-

$ 3] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ 397

мулам обращения можно, хотя бы формально, определить ори

гинал искомой функции. Например, для			оа имеем
- . = i Т	M (i,“ +	^	+
о — i •>
	+ Фп + У>12) Х^ - ' С к^ ] eP‘dL (3'91>
Интеграл,	входящий в (3.91),	а также интегралы, входяпще

в другие формулы оригиналов искомых величин, невозможно вы числить в замкнутой форме, поэтому следует пользоваться чис ленными или какими-либо приближенными методами.

Не вдаваясь в подробности, рассмотрим в качестве примера оболочку, изготовленную из стеклопластика СВАМ-ИММ со сле дующими упругими характеристиками в главных направлениях упругости:

£ 1=34-104 кГ/см2, Еъ= 8 ,86-104 кГ/см2,

G12=2,95-104 кГ/см2, v1=0,3, v2=0,078.

Для различных значений угла <р, т. е. ориентации ортотропного материала в теле оболочки, определим значения безразмерных скоростей распространения фронтов волн и безразмерных напря

жений на		них.
	В таблице 8 приведены значения F,., вычисленные по форму
лам	(3.71)	и разделенные на		=	4,33 • 105		см/сек.
							Т а б л и ц а 8
	V	0°	30°	60»		90»	150°	180°
	У\ (?)	1,00	0,883	0,592	0,511		0,883	1,00
	V-i(9)	0,291	0,348	0,424	0,291		0,348	0,291
В таблице 9			приведены	значения		напряжений,		вычислен
ные по формулам (3.80) и				разделенные на оШ(0) =				- С ^ Я п ,
для	различных		значений	угла <?	и	отношений		скоростей

^ft>R

Как видно из таблиц 8 и 9, значения скоростей распростране ния фронтов волн и напряжений на них существенно зависят от ориентации главных направлений упругости материала оболочки в теле оболочки. При определенных условиях изменением угла <р

398		КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК						[ГЛ. III
							Т а б л и ц а 9
		х .	9	0°	30°	60°	90°	150°
		е \		0°	30°	60°	90°	150°
		е \
		1		1,00	1,060	0,691	0,511	0,413
^	М М 1' (0)	0		1,00	0,739	0,424	0,511	0,739
		—1		1,00	0,413	0,157	0,511	1,060
		1		0,078	0,349	0,738	0,078	0,136
°^1) ММ*1' (°)		0		0,078	0,242	0,453	0,078	0,242
		- 1		0,078	0,136	0,167	0,078	0,349
		1		0,00	-0 ,4 7 0	-0 ,4 3 6	0,00	0,182
*ЦГ М М 1' (0)		0		0,00	-0 ,3 2 6	—0,267	0,00	0,326
		—1		0,00	- 0 ,1 8 2	—0,099	0,00	0,470
		1		0,00	—0,072	-0 ,0 7 1	0,00	0,185
°i2' М М 1' (°)		0		0,00	0,057	0,120	0,00	0,057
		—1		0,00	0,185	0,311	0,00	-0 ,0 7 2
		1		0,00	—0,028	0,065	0,00	0,071
	М М 1' (0)	0		0,00	0,022	—0,110	0,00	0,022
		- 1		0,00	0,071	—0,284	0,00	—0,028
		1		—0,291	- 0 ,1 6 3	—0,112	-0 ,2 9 1	-0 ,4 2 0
■ 'Л1	М М 1' (°)	0		0,00	0,128	0,191	0,00	- 0 ,1 2 8
		- 1		0,291	0,420	0,494	0,291	0,163

(т. е. изменением ориентации материала) можно найти наиболее оптимальные условия работы оболочки, претерпевающей комби нированный удар.

§ 4. Некоторые вопросы устойчивости анизотропной слоистой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа

Рассматриваются задачи устойчивости анизотропных слоистых оболочек, обтекаемых с одной стороны сверхзвуковым потоком газа, направленным вдоль координатных линий а = const с невоз мущенной скоростью U. Предполагается, что давление газа р на обтекаемую поверхность пологой оболочки может быть вы числено при помощи приближенной формулы поршневой теории

		2х
		(4.1)
		Р =
где	Ра — давление	невозмущенного потока газа, v — нормаль
ная	составляющая	скорости обтекаемой поверхности оболочки,

ад, — скорость звука в невозмущенном газе, х — показатель политропы.

Нормальная нагрузка Z (а, |3, t), которой должна быть за менена нормальная компонента внешней поверхностной нагрузки

§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

399

оболочки Z, входящая в исходную систему разрешающих урав нений, складывается из силы инерции, силы демпфирования и аэродинамического давления и представляется следующим обт разом:

* ( « . Р.	+	< « >
где р — плотность материала,	s — коэффициент	затухания.
Последний член формулы	(4.2) представляет избыточное дав

ление газа, полученное путем разложения в ряд двучлена, вхо

дящего в формулу (4.1). При	этом принято также, что
dw	I	Гт dw	(4.3)
v = - jr +		u -да*r-	(4.3)
v = - jr +		u -да*r-

Наконец, укажем, что приближенное выражение избыточного давления, входящее в формулу (4.2), при малых возмущениях

потока,

т) <^; 1

(-q — v/U),

достаточно

высокой точностью может

быть использовано

при

М г

(М

—

число Маха).

Таким

образом,

при

больших

значениях

сверхзвукового

обтекания

пологих оболочек

исходные

уравнения устойчивости,

с достаточно

высокой

точностью,

можно

получить

из разре

шающих уравнений

статики

оболочки

путем

замены

грузово

го членаZ (а, (3) новым представле

нием

(а,

р,

по

формуле

(4.2).

Рассмотрим

некоторые

задачи.

Устойчивость

анизотропной

круговой цилиндрической

оболочки,

обтекаемой

сверхзвуковым

потоком

газа.

Рассмотрим

круговую цилин

дрическую

оболочку

бесконечной

длины,

обтекаемую

сверхзвуковым

потоком газа с

невозмущенной ско

ростью U, направленной вдоль об

разующих

оболочки,

т. е. по

коор

динатным линиям а (рис. 73).

Систему координат выбираем так,

что

А — 1, 5 = 1,

5 1 = о R2о ,— R.

Считаем, что оболочка изготовлена из ортотропного материала, два главных направления упругости которого в каждой точке оболочки составляют с координатными линиями а и р произволь ный угол <р. В силу этого упругие постоянные Bik будут представ ляться с помощью формул (3.57).

Пренебрегая тангенциальными составляющими сил инерции и силами инерции, происходящими от поворота и искажения нор-

400

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК

[ГЛ. Ill

Мального элемента оболочки, согласно (1.3.27), (1.3.26) и (4.2) Получим следующее исходное дифференциальное ypaBHemieJ Поставленной задачи:

+ 2 (^вв + 2Л12) 2Л1в ^ ® — 0, (4.4)

где для Dik, А.к имеем (3.46), (3.47).

Решение уравнения (4. 4) ищем в виде волн, распространяю щихся на поверхности оболочки:

(4.5)

где Ф 0 — некоторая комплексная постоянная, ш — частота коле баний оболочки, к=п/\ — волновое число, X — длина полуволны

В направлении	образующих	оболочки,	п — целое число волн
По окружности поперечного		сечения оболочки.
Подставляя	значение Ф (а ,	р, t) из	(4.5) в исходное уравне

ние (4.4), придем к следующему характеристическому уравнению:

со2 — tu>(2е -j- р.) — 2 2 ( к , п) -f- ikoU = О,	(4.6)
где	(4.7)
р. = хРоо/?^воо>	(4.7)

а для квадрата частоты собственных поперечных колебаний обо лочки Q2 имеем

(4.8)

при этом

(4.9)

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4540 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf