книги / Общая теория анизотропных оболочек

легко сообразить, что скорость затухания краевого эффекта и ве­ личина зоны его распространения определяются показателем а и частично параметром Ь. Аналогично классической теории (§§ 5,7), полагая аа= к (при этом в реальных оболочках решения на­ столько затухают, что краевыми воздействиями можно пренебречь),

Наконец, полагая G13=oo, G '=oo, т. е. становясь на позиции классической теории, получим для величины зоны распростране­ ния краевого эффекта известные формулы:

для ортотропной оболочки

Сравнивая формулы (12.13)—(12.16), замечаем что учет поперечных сдвигов приводит к увеличению скорости затухания краевого эффекта и к уменьшению зоны его распространения. Это явление, как и следовало ожидать, существенным образом за­ висит от величины отношения типа Efi/G{3. Чем больше E JG i8, тем меньше величина зоны распространения краевого эффекта.

Явление это в классической теории [см. формулы (12.15) и (12.16)] не обнаруживается, так как классическая теория безразлична

котношениям типа E u/G{3.

2.Свободно опертая по всему контуру весьма пологая транс­ версально изотропная оболочка. Пусть весьма пологая, транс­ версально изотропная, прямоугольная в плане оболочка (рис. 56)

свободно оперта по всему контуру

в центре оболочки (а=о/2, р=6/2). Предполагается, что в каждой точке оболочки плоскость изо­

тропии параллельна срединной поверхности оболочки. Тогда для

Поставленную задачу решим с помощью уточненной теории, которая учитывает явления поперечных сдвигов.

В этом случае, согласно (1.7.42), (1.7.50), (12.17)—(12.19), система разрешающих уравнений (1.7.56) перепишется следующим

Принимая (12.25), удовлетворим тем самым условиям свобод­ ного опирания, а из уравнений (12.20) обычным способом полу­ чим искомые коэффициенты решения:

1 — •

легко записать формулы для определения расчетных величин задачи:

Рассматривая формулы (12.25)—(12.32), замечаем, что, в от­ личие от классической теории, здесь расчетные формулы сущест­ венным образом зависят от параметра t*, который в данном случае представляет явления, связанные с учетом поперечных сдвигов.

Для большей наглядности представим значение нормального перемещения (а тем самым и коэффициента А, который входит во все формулы расчетных величин) несколько иначе, а именно:

a w0— нормальное перемещение, найденное по классической тео­ рии и равное

Отсюда, видно, что, изменяя параметр t*, т. е. отношение Е/G', существенным образом можно изменить напряженно-де­ формированное состояние оболочки.

Рассматривая полученные здесь результаты, замечаем, что классическая теория анизотропных оболочек, построенная на ос­ новании гипотезы недеформируемых нормалей, в определенных случаях существенной анизотропии материала оболочки не может быть использована и нуждается в корректировке. Дело в том, что классическая теория совершенно безразлична к отношениям типа Eu/Gl3 и при некоторых значениях этих величин может привести к существенным погрешностям.

Рассматривая формулы (12.25)—(12.34), замечаем также, что с увеличением подъемистости оболочки (т. е. с увеличением пара­ метров a/c1=a/i?1, bk2=b/R2) ошибка, допускаемая при принятии гипотезы недеформируемых нормалей, уменьшается. В случае

пластинки (&1=&2= 0 ) эта ошибка принимает свое максимальное значение. Дело здесь в том, что при увеличении подъемистости оболочки влияние изгибающих параметров на напряженное состоя­ ние оболочки уменьшается, что означает и уменьшение влияния перерезывающих сил и N 2, а тем самым и касательных напряже­ ний xaY и т^, которыми обусловливается влияние поперечного сдвига.

3. Задача, в которой исследуется вопрос влияния поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения на напряженнодеформированное состояние ортотропной оболочки. Рассмот­

^ [ Ш Ш Ш В Е Е Е ш в ^ рим задачу о равновесии осе­ симметрично нагруженной ортотропной круговой цилиндри­

аческой оболочки, свободно опер­ той по торцам (рис. 57).

распределенной по всей поверх­ ности нормально приложенной нагрузкой, которая по поверхности оболочки изменяется по закону

где I — длина оболочки, q — интенсивность нагрузки в централь­ ном сечении оболочки.

В силу (1.9.4) будем иметь для грузовых членов

Для рассматриваемой задачи граничные условия принимают вид:

Ввиду полной симметрии все искомые величины являются функциями лишь координаты а. Тогда очевидно также, что

где все величины, отмеченные индексом «О», относятся к классиче­ ской теории.

Разрешающая система уравнений (1.9.55) для рассматривае­ мой задачи, согласно (1.9.39), (1.9.49), (1.9.50), (1.9.56) и при­ нятым здесь предположениям, перепишется следующим об­ разом:

где наряду с известными постоянными упругости для ортотропной оболочки имеют место (см. (1.9.42))

определим коэффициенты С9, а тем самым и искомое решение задачи по классической теории

« 121 РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 319

Пусть оболочка изготовлена из трансверсально изотропного мате­ риала так, что плоскость изотропии в каждой точке оболочки па­ раллельна срединной поверхности. Тогда, очевидно,

Результаты подсчета значений отношений w/w0и E/F0при раз­

N.EiC’

N.Е;С

320 н а п р я ж е н н о е с о с то я н и е и д е ф о р м а ц и и о б о л о ч е к 1ГЛ. II

Т а б л и ц а 5

u>!wb, h:l — 0,2

N.E/G'

N.E/G'

Из этих таблиц видно, что при достаточно сильной анизотро­ пии неучет явлений, связанных с поперечными деформациями и, в частности, с поперечным обжатием или расширением, может привести к неприемлемым погрешностям. Следует отметить также, что в некоторых случаях поправки от учета ет могут быть сущест­ веннее поправок от учета поперечных сдвигов. Однако отметим, что в реальных оболочках из слоистых пластиков поправка от учета поперечных сдвигов должна быть введена в первую очередь, так как сдвиговая деформативность этих материалов значительна, т. е. отношения типа E/G' существенно отличаются от нуля.

§13. Температурные напряжения

ванизотропных оболочках

Вопросы определения температурных напряжений в оболочках издавна привлекали внимание исследователей. В современной литературе имеется множество работ, посвященных этой теме. Для полноты изложения здесь мы приводим некоторые сведения, необходимые при исследовании температурных напряжений в ани­ зотропных оболочках.