книги / Общая теория анизотропных оболочек

В последующем, вне зависимости от принятых гипотез, расчет­ ные формулы (10.12) будем считать неизменными, т. е. будем считать, что для всех рассматриваемых приближенных теорий формулы расчетных величин имеют вид (10.12). Такая непоследо­ вательность в данном случае может быть оправдана тем, что в об­ щем случае реально существующих оболочек нет «нулевых» внут­ ренних сил, моментов и деформаций, а есть силы, моменты и де­ формации, которые пренебрежимо малы по сравнению с другими силами, моментами и деформациями.

Таким образом, приведенные выше гипотезы об отсутствии той или иной геометрической или статической величины, в основном, должны быть учтены и использованы лишь при построении разре­ шающего уравнения.

Учитывая сказанное выше, для каждого рассматриваемого приближенного случая следует построить лишь основное разре­ шающее уравнение, которое, кстати сказать, будучи приближен­ ным с точки зрения изотропной оболочки (все однотипные жест­ кости одного порядка), является точным или более точным уравнением для определенного класса ортотропной оболочки, где однотипные жесткости могут иметь различные порядки.

Рассмотрим некоторые варианты приближенных разрешающих уравнений. Сначала посмотрим, какое разрушающее уравнение соответствует каждой из приведенных Bbiftie гипотез.

в силу чего для первого приближенного случая получим следующее разрешающее уравнение:

надо принимать Cn/Q0— 0.

Таким образом, здесь, исходя из единых позиций теории ани­ зотропных оболочек, рассмотрено одиннадцать вариантов приб­ лиженных теорий изотропных оболочек и получено восемь типов разрешающих уравнений, которыми приближенно может быть описано напряженное состояние цилиндрической оболочки.

Эти уравнения важны с точки зрения приближений и должны быть подробно исследованы для установления пределов их приме­ нимости.

2. Несколько слов о пределах применимости полученных разре­ шающих уравнений. Вопросы оп­ ределения пределов применимости полученных выше приближенных разрешающих уравнений весьма

интересны и требуют специальных исследований. Для некото­ рых из них такие исследования имеются, и пределы примени­ мости этих уравнений установлены в достаточно общем виде. Здесь мы укажем некоторые пределы применимости полученных разрешающих уравнений в случае пологих (b/R 0,5) цилиндри­ ческих оболочек при достаточно плавно изменяющейся поверхност­ ной нагрузке (рис. 53).

Предлагаемые здесь пределы применимости установлены на основании численного анализа решений рассмотренных прибли­ женных уравнений. При этом используются также положения, установленные на основании общих аналитических соображений. Однако, несмотря на это, установленные здесь пределы примени­ мости носят несколько условный характер, так как практически невозможно охватить все многообразие факторов, которые влияют на них. В частности, трудно охватить все возможные варианты гра­ ничных условий, внешней нагрузки, относительной толщины обо­ лочки и др., которые влияют друг на друга и в процессе взаимного влияния существенно могут изменить напряженное состояние обо­ лочки.

Рассмотренные здесь приближенные разрешающие уравнения получены с помощью дополнительных предположений, которые

и (б), которые как совместно так и в отдельности применимы для построения приближенных теорий длинных оболочек (уравнения (10.14), (10.15), (10.20)) с отношением сторон а/Ъ ^ 2,0. Во вто­ рую группу входят гипотезы (д) и (е), которые как совместно, так и в отдельности применимы для построения приближенных тео­ рий коротких оболочек (уравнения (10.18), (10.19), (10.21)) с от­ ношением сторон а/b ^ 0,5. В третью группу входят гипотезы

(в) и (г), которые как совместно, так и в отдельности, применимы для построения приближенных теорий как существенно длинных

из которых является наиболее простым разрешающим уравнением

для расчета существенно коротких оболочек с отношением сторон

а/Ъ < 0,2.

Не надо забывать, что в случае весьма длинных и весьма ко­ ротких оболочек классическая теория может оказаться неприемле­ мой вообще. Очевидно, в этих случаях непригодными становятся все приведенные выше уравнения (10.11)—(10.24).

С уменьшением пологости оболочки пределы применимости указанных гипотез существенно расширяются, и уже при b/R > > 2 эти гипотезы с достаточно высокой точностью становятся прием­ лемыми при большом диапазоне изменения отношения а/Ъ. На­ пример, гипотеза (а) уже может быть использована для построения уравнения «длинных» оболочек с отнон/ением сторон а/Ъ ^ 0,5,

Расширение пределов применимости рассмотренных выше ги­ потез с уменьшением пологости оболочки объясняется тем, что на общее напряженное состояние оболочки существенным обра­ зом начинают влиять члены разрешающих уравнений, отражаю­

Таким же образом можно поступать при рассмотрении прибли­ женных уравнений теории анизотропных слоистых оболочек; однако при этом серьезное внимание следует обратить не только на геометрию оболочки, в частности на отношение сторон а/Ъ, но и на отношения упругих характеристик материала оболочки.

что коэффициенты разрешающих уравнений P t примерно одного порядка, мы, руководствуясь чисто геометрическими соображе­ ниями, можем некоторые из них полагать равными нулю. В слу­ чае анизотропных оболочек с аналогичными геометрическими ха­ рактеристиками это можно делать с еще большим успехом.

Например, если в длинных изотропных оболочках (случай X) можно принять Р 1= Р 3= 5 4= Р 5= 0 , то в длинных анизотропных оболочках это тем более можно сделать, если Р 2 больше указан­ ных выше коэффициентов Р г Такие примеры элементарны. В тех же случаях, когда из геометрических соображений можно некоторые из коэффициентов P f положить равными нулю, хотя они значительно больше, чем оставленные, этот вопрос должен быть рассмотрен особо.

Очевидно, в случае анизотропных оболочек пределы примени­ мости рассмотренных здесь гипотез могут как расширяться, так и сужаться. Вопрос этот вполне разрешимый, но требует громозд­ ких исследований.

§ 11. Интегрирование разрешающих уравнений теории весьма пологих оболочек

Методы интегрирования разрешающих уравнений весьма по­ логих оболочек в принципе не отличаются от соответствующих методов, данных для интегрирования соответствующих уравнений

Учитывая, что в случае слоистой симметрично собранной обо­ лочки, когда координатная поверхность у= 0 совпадает со средин­ ной поверхностью оболочки, жесткости взаимного влияния К {к равны нулю, из (1.14.41), согласно (1.14.29) и (11.1), получим следующее разрешающее уравнение рассматриваемой задачи:

тп

где, очевидно,

Рассматривая полученные здесь формулы как функции влия­ ния, легко получить расчетные формулы рассматриваемой здесь оболочки для других случаев загружения оболочки нормально приложенной нагрузкой. Например, в случае равномерно распре­ деленной нагрузки с интенсивностью q, подставляя вместо Q

выражение q dx dy и интегрируя по всей загруженной поверхности оболочки, получим следующие расчетные формулы:

тп

(т = 1 , 3, 5,. . .; га=1, 3, 5,. . .).

Решим пример. Рассмотрим свободно опертую по всему контуру слоистую оболочку двоякой кривизны, перекрывающую прямо­ угольный план (aXb). Пусть оболочка составлена из изотропных слоев, коэффициенты Пуассона которых принимаются равными нулю (v*=0). Тогда в силу (5), (13), (1.10.9) из (1.10.16) и (1.10.17) получим для жесткостей симметрично собранной изотропной обо­ лочки

С = С и = Сп = С „+ 2 С т =