Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая теория анизотропных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 8]

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

271

напряжения н слоях оболочки:

Ввиду громоздкости, выражения для N lm и здесь мы не приводим. Однако при необходимости, имея значения М 1т, М 2т и Нт, с помощью уравнений равновесия (1.13.6) формулы для Nlm и N 2т можно построить элементарным образом.

Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с граничными условиями задачи. Пусть частный интеграл разрешающего урав нения, отвечающий нагрузке, построен, все расчетные величины, соответствующие частному интегралу, найдены и могут быть пред ставлены с помощью тригонометрических рядов, так что, в част ности, имеем

т		т
и>° = 2	W°msin Х,а, М\ =	(8.25)
и>° = 2	W°msin Х,а, М\ =	2 Щ тsin Хма,
т		т
где Т%т, V°m, W°rn,	M\rn — известные	функции, зависящие лишь

от одной переменной р; очевидно, они могут быть вычислены по известным формулам Фурье.

Тогда	для приведенных расчетных величин, согласно (8.9)
и (8.25),	получим

тт

Mi =	2	м 1тsin \та+	2	М\тsin Хгаа,
	т		т		(8.26)
v =		Vmsin Хта +		К	(8.26)
v =	2	Vmsin Хта +	2	К	sin Хта,
	т		т
>" =	2	^ sin Хта +	2	И*	sin Хта.

272	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
	Отсюда, учитывая, что 1т=тп/а, замечаем, что граничные

условия (8 .1) удовлетворяются для каждого члена разложения в отдельности.

Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях на прямо линейных кромках оболочки. Для конкретности рассуждений

представим себе, например, что при P=				нормальное перемеще
ние	w имеет заданное	значение w (а, $1)=w*(a.).
Представим го*(а)		в виде тригонометрического ряда:
		w* = 2	W*msin	(8.27)
		т
где	W*m — известная функция		(В.

Очевидно, для удовлетворения граничного условия, наложен ного на ю (а, (3) при (3 = 13!, мы должны будем удовлетворить ра

венству
2 w m (Pi) sin xma +	2 w°m(Pi) sin Xma =	2 w l sin Xma, (8.28)
m	тп	m
что эквивалентно требованию
^	m(Pi) + ^ ( P i ) = ^	(8-29)

т. e. и на прямолинейных кромках оболочки граничные условия рассматриваемого вида выполняются для каждого члена разло жения в отдельности.

Имеются и иные типы граничных условий, которые не допу скают почленного удовлетворения. Однако они здесь не будут рас смотрены.

Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.2) и удовлетворение граничным условиям (как по прямолинейным, так и по криволинейным кромкам оболочки) могут быть осуществ лены для каждого номера т в отдель ности. Следовательно, для каждого номера т (для каждого члена раз

ложения)		будем	иметь	по восьми
граничных		условий (по		четыре на
каждом	прямолинейном			крае обо
лочки),	накладываемых			на краевые
значения функции фт , которая
должна	удовлетворять			обыкновен
ному	линейному		дифференциаль
ному уравнению			восьмого порядка
(8.5).
2.				К

лочка замкнутого профиля. Рассмот рим ортотропную многослойную цилиндрическую оболочку кру гового замкнутого профиля, у которой главные направления упругости совпадают с направлениями координатных линий.

i 8]	ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК										273
Систему координат выбираем так, чтобы A = B = R . Пусть											длина
оболочки I, а радиус кривизны R (рис. 50).
	Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае
однородной задачи записывается следующим образом:
	да«<$2 П		<?8Ф		<)8ф
	да«<$2 П	5 ЗсАф*		* да*д$б
	+ Р* ^8		2 Ri (Ql		д^Ф	,	.о	Л	* .
	+ Р* ^8		2 Ri (Ql		дя&		.о	Л	* .
			+	^	^	- ) +		Д2^		= 0-	(8.30)
			+	^	^	- ) +		Д2^		= 0-
	Искомую функцию будем представлять в виде
		СО
	ф =	2	(Ф* cos mp 4 -ф' sin Шр),								(8.31)
		m= 0
где т — целое число,		ф^( а) и ф"(а) — функции, зависящие лишь
от одной переменной		а.
	Подставляя значение		Ф (а,	(3)	из	(8.31)			в уравнение		(8.30),
придем к соотношениям вида
	т2=0 №т(Ф«) С°8 +			dm(Фт) «Ь» пЩ =						0 ,	(8.32)

которые могут быть выполнены, если потребовать, чтобы для каж дого 4*т и Ф1 имело место

i . № J = P , ^ f - ( Р ^ г + ^ , ) ^ г + ( Р ^ ‘ +

+ 2 Л Ч ^ 0 ,+ № )^ — (р,ш^ + и ы	д , ) ^ - +
+	Р ^ т= °- (8-33)

К интегрированию таких уравнений и приводится нахождение т-го члена разложения (8.31). Каждому слагаемому ряда (8.31) соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние ортотропной цилиндрической оболочки. Внутренние силы и мо менты, перемещения, углы поворота и напряжения в слоях обо лочки, отвечающие этому напряженному состоянию, могут быть вычислены с помощью формул (1.13.31) — (1.13.34), (1.13.36) и (1.13.40). Например, полагая

Ф = Фт C0S тР>

(8.34)

18 С. А. Амбарцумян

274 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 1I

получим

Tt = TimcosmP, M i — M im c o s

S = Smsin m|3, /Vj = Nlmcos mp, u = U mcos mp, w= Wmcos mp,

ai =	aL cos
=	xi«» sinmp,

H = Hmcos mp,
^2 =	^ 2mSin mp,
v = V msin mp,		(8.35)
?i =	cos mp,
	cos ™P>
<P=	<Pmcos mp,


г д е	к о э ф ф и ц и е н т ы		н е к о т о р ы х	и з	р а с ч е т н ы х	в е л и ч и
	в н у т р е н н и е	с и л ы :

	* Г	т	2 V Ф т
	Д 5	[ т	da3
i	{KvsPu —			^ 1 2 ^ - 1 2
+ \			Q	0
i	р	ч	; ^ 1 2 ^ - 1 ] —
R3\_ dat				2 o
1 / ^ 2 2 ^ 1 —1				^ 1 2 ^ 1 2
1 {			Q	0

- i f ] C] , 2	m 2^ Ф т		1
S o	R	< ia 4	1

i f eоe		i1f i , C	—«
c66	1		2	0
		i f 12^-22—
			Ц	»
i[Ci2f 11	1	<*6 Ф т	L	1
	i f	d a 6	Г	1

,	m	l	d°-¥m
i f 12 ^-12 ^			d°-¥m
1	i	f J	da2
т	б	ф	' 1
i f 2 2 ^ -12		ф	' 1
i f		T m J >

i f 660	,^	1 1	^ 2 2—	. m	2	<*4 < к »
				i f 1 2 ^ 1 2 )
C 66	1		Q Q	1 i f/ i i 4

к 12^22 — -^22^12 mi ^¥т] ,
dа 5	7? d a 2

о __	i Г „	^3Фт __^ 12^11 ~ ^ 11^12		т	I
~	ifti[/	da3	20	Л» Л»*da®	'

(8.36)

(8.37)

■ l■ ^ 2 2 ^ 1 1

—

^ 1 2 ^ 1 2

О ^KnC%26 6 I— - ^ 2 2 ^ 1 2 ^

^ 3Ф м

■^V

Й0

Ac66 f

)

da3

^42^22 — ^ 22^12

^Фт ~1.

(8.38)

i f

] ;

изгибающие и крутящий моменты:

M lm =

i P l l — D u ) G lm +

(D 12 —

0 ?a) G im +

7^11^22

— ~'*•if 12^12]g у7ilm

if 12^11

if 11^12

2m’

(8.39)

^ 2m=

Ф** ~

(Z)12 -

Л?8) Glm +

К22^11 — Т^]2^.]2 71

if]2^22— ^ 22^12 r

(8.40)

Q „

y 2m Г

Q Q

-1 lm '

^m = 2(Z)66- Z )0 e)G1

if.

(8.41)

'66

§ 8]

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

275

где введены следующие дополнительные обозначения:

—_.1Г(

da.6

^66

2 ~ Тm

1т—

da*

С22

d4L

] ,

2о

da2

Q —

1 j~C11 т 2 di¥m

( 1___

d iVm

2т —

dai

^Сб6

2 ^

) '“

dal

С22

2о

—

Lf\£iL

dab

^12т~

д 6| 20 т

перемещения и

угол поворота:

Ц Г ___

_ rj"ll

d4,K . __(J ____ 2 Cl2W

* ^

С22т 4Ф'1

— .

1- Г с и

- I H L O o

<*“4

\ С 66

Sio)

da2

Ц,

m T*«J*

и. ’

_ _ 1

i f u

C y K n - C

i2 ( K 12 +

2 K ee)

„ 2 d a f l , ,

Л»|_

2 0

da»

C66Q0

da3

С662о

-— —

иг

Я -Cl2

d3-Vm

D ^22

da3

Ц>

___ _

_ i _

^ 2 2щ5ф'_^ 1 1 ^ 2 2—^12

(^ 4 2+

27fee)m

R Bi

C 66y 0

da2

£]1 (^12 + 27?бб) — ^11 (^12 + Сбб)

T		С 6бЙ о							dai	1
		С 6бЙ о
	+ R	^ . m ^	M _	R	(	1	Cyi \
	+ R	^ . m ^	M _	R				) m d a 2 J »

					V c 66		%
		1	О C ] 2 \				d 4 ' m	I
, ^ 0	dab	\ C №	~	Q0 ) m		2 -	da3	1
							1	Ц )	g	WJ -	1--------1
							1 ^ 2 2

(8.42)

(8.43)

(8.44)

(8.45)

(8.46)

(8.47)

(8.48)

В рассматриваемом случае напряжения в слоях оболочки бу

дут определяться формулами (8.22)—(8.24),		но при этом	под опе
раторами Т(т и Gu надо	понимать их новые значения		(8.36)—
—(8.38) и (8.42)—(8.44).
Далее (вместо (8.34)),	полагая
	Ф = <J)^ sin ггеР,		(8.49)

18*

276 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

получим для внутренних сил и моментов, перемещений, углов по ворота и напряжений в слоях оболочки формулы, аналогичные предыдущим, причем Тг, Т2, М г, М 2, N x, о„, ор, и, w будут содер

жать множитель sin /тар, a S, Н, N2,	v будут содержать множи
тель cos/тар. Что же касается операторов (8.36)— (8.48), то в них

необходимо <\>'т заменить на ф", а тп на (—тп).

Таким образом, для любых тп, имея интегралы <3?'т и ф" уравне ния (8.33), можно построить напряженно-деформированное со стояние рассматриваемой оболочки, причем в соответствии с (8.34) и (8.49) напряженно-деформированное состояние расчленяется на симметричное и на обратно-симметричное относительно началь ной образующей р = 0 .

Рассматривая приведенные здесь формулы, нетрудно заметить, что условия периодичности по переменной р выполняются в каж дом члене разложений в отдельности. Здесь, кроме условий пе риодичности, необходимо выполнить и граничные условия на тор цах оболочки. Полагая, что частный интеграл неоднородной за дачи, отвечающий внешней нагрузке, известен, можно записать выражения для внутренних сил и моментов, напряжений в слоях и перемещений, отвечающих этому частному решению, с помощью тригонометрических рядов вида (8.31), в которых коэффициенты разложений будут известными функциями. Поэтому граничные ус ловия на торцах оболочки могут быть удовлетворены обычным образом.

Для конкретности рассуждений положим, например, что при а = aj (на одном из торцов оболочки) тангенциальное перемещение имеет заданное значение и (а 15 р )= и * ( В). Тогда для удовлетворе ния этому условию надо потребовать, чтобы

2 [ К К) cos mp + U"mК ) sin /тар] - f

т__

+2 [Ко К) cos /тар-f U"m0(аД sin /тар] =

= 2 [ К * («) cos тир- f t r ,(a ) sin /rap],

(8.50)

где предполагается, что

U °= 2 [К о (a) cos + Ко (*) sin /rap]

ffl=0

представляет тангенциальное перемещение, отвечающее частному решению неоднородного уравнения, а

“* = 2 ГК *С0!3 + К *sin

«=о

§ 8]

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

277

представляет разложенное в тригонометрический ряд, заданное на контуре а= аг значение функции и* ((3). Очевидно, коэффи циенты U'm и U"mf являются известными функциями.

Равенству (8.50) можно удовлетворить, полагая

(8.51)

Таким образом, условия, накладываемые на коэффициенты сим метричного напряженно-деформированного состояния (коэффи циенты, отмеченные одним штрихом), не переплетаются с услови ями, накладываемыми на коэффициенты обратно-симметричного напряженно-деформированного состояния (коэффициенты, от меченные двумя штрихами).

Имеются и иные типы граничных условий, которые не допус кают раздельного удовлетворения граничным условиям симметрич ного и обратно-симметричного напряженных состояний. Однако они здесь нас не будут интересовать.

Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.30) и наложение граничных условий может быть выполнено в отдельности для каждого номера т, и притом раздельно для сим метричного и обратно-симметричного напряженных состояний обо лочки. Тогда на каждую искомую функцию <\>'ти ^'тбудет наложено по восемь граничных условий, которые обеспечат определение восьми произвольных констант, входящих в каждую из этих

функций.
3.	Несколько	слов об	интегрировании уравнений	(8.5) и
(8.33).	Рассматривая	задачи	ортотропных цилиндрических	обо

лочек открытого и замкнутого профиля, замечаем, что первым и, пожалуй, основным этапом расчета указанных типов цилиндри ческих оболочек является интегрирование обыкновенного линей ного дифференциального уравнения восьмого порядка с постоян

ными коэффициентами, а именно в случае			оболочек	открытого
профиля — уравнения (8.5), в		случае же	оболочек	замкнутого
профиля — уравнения (8.33).
Как обычно в случае	оболочек открытого профиля, полагая
Ф. =	C J ”®	(Cm= const),		(8.52)
а в случае оболочек замкнутого профиля				(8.53)
= с У т*		(Сш= const)

из уравнений (8.5) и (8.33) получим следующие характеристичес кие уравнения восьмого порядка:

(8.54)

(8.55)

278	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

где для коэффициентов А. и Bi имеем в случае оболочек откры того профиля

4 — Р^ш		А	—Р ь ^ ш + ш г .
Л1	Рг ’	Л2		р •	■ ,
Л3А —- Р^'т + 2<?:Ат		А	—-JVt + 20,4+
	Р2	4 '		Р 2
в случае оболочек замкнутого профиля
	P ?m i + 2 № Q l	р		-f*	2 —\|—I t ’
	Pi	■o2-------------- p[			—
	РцпФ-(- 2R^Qtm^

(8.56)

(8.57)

Очевидно, вид функций <|>mкак в случае открытых, так и в слу чае замкнутых оболочек зависит от корней соответствующих ха рактеристических уравнений (8.54) и (8.55).

Из-за сложной структуры коэффициентов характеристических уравнений (8.54) и (8.55) их корни, вообще говоря, не могут быть определены в замкнутой форме. Лишь в некоторых частных слу чаях, когда между коэффициентами имеются определенные связи требуемого типа, корни характеристических уравнений могут быть получены точно в замкнутой форме. В иных частных случаях, используя определенные соотношения между коэффициентами, корни характеристических уравнений можно определить анали тически каким-либо приближенным методом. Однако в общем слу чае целесообразно корни характеристических уравнений опреде лять численно и весь последующий расчет вести в числах.

В реальных задачах анизотропных слоистых оболочек имеем


большое многообразие	коэффициентов A t и	Bt, в	силу		чего
то же имеет место и для	корней характеристических		уравнений
(8.54), (8.55). В связи с этим ясно, что для		дифференциальных
уравнений (8.5) и (8.33)	будем иметь решения различных			типов.
Это многообразие решений уравнений (8.5), (8.33) здесь				не	рас

сматривается. Однако в каждом частном случае решения уравнений (8.5) и (8.33) могут быть построены обычным образом. При этом весь ход расчета рассматриваемой анизотропной оболочки, по сути дела, совпадает с ходом расчета соответствующей изотропной оболочки.

§ 9. Осесимметричная деформация {фуговой замкнутой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии. Два примера расчета круговой цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии

Теория осесимметричной деформации замкнутой круговой ци линдрической оболочки, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки, изложена в п. 3 § 1 гл. I.

§ 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 279

Полагая А ~ Л , т. е. считая, что координата a=s является без размерной, и для краткости записи принимая X=Y== 0, перепи шем разрешающее уравнение (1.3.36) следующим образом:

d*w

d2w

Д З

C M

(9.1)

■2т- r ^ - s s r + ^ ^ Z - ^ C

где

0 ^1в(^11^2В— ^42^lft)

п =

12Д2

т -

(9.2)

1Ш1

А2

= (СцС22— С]2) С66-(- 2С12С16С2в

CnClg

а д .

(9.3)

Ш1 — а д б — С^,

— С

112.

Тогда,

согласно

(1.3.35) и

(1.3.38),

для

внутренних

сил и

моментов получим

Тг=

СпЬг +

С1662,

^'1б(С’п^26 — ^12^1в)

А2

rf.,2

Г h

Т 5=

—

д -

i ------------------ -- ---------------

ВЯЗ

С 12°1 +

С 2б02.

'16 6ДЗ

da2

“ 1

S „ =

(9.4)

C „ ^ j ^ - + C A + C « 4 , .

сг

Свя (^12^16~ ^ 11^2б)

hl ... _1_

•^а — “

бйз

(л

^11^-66 А 2 \

А 2

^ 2ц?

( 1

_ )------ L \ А

с 1б

W l

З Д 2 / 1 2 Д З d s 2 + ^ 1 6 1 г

6 6 ^

I 6 Д 2 / 2>

м,=

С ,В

( с 12^*16

^ 1 1 ^ - 2 б )

6 Д 2

А 2 . . .

__п

(л

А.2

| «

А* *

___A2 _We\_______

1 1 V

З Д 2

ci>^ /

1 2 Д 2

d S2

»/

C9fi (С1г^1в — С11С2б)

А2

...__

1 И ‘>

6 Д 2

(9.5)

А2

С„С1вС26\ А2

din; r,

h?_h

" 4 C« ~

—

5J----)\ 2 Ю Ч ^ + Ь*Ш °2

II __

Сяк (^12^16

^11^2б)

А2

... __

Н —

6 Д 2

d^w | /,

(л

А2

Сп Сж\

А2

А2 *

1 2 Д 2

S 2

°бб 2Д °2>

ЯГ

___

^ 1 6 (^12^-16 —

^ 1 1 ^ 2 б )

d w

___

/vi —

бдз

“ l

C h \ JАL2

- С

„ ( 1

A 2

йЗш

3 Д

o>!

1 2 Д 3

d « 3

(9.6)

я7 ._ ^66 (^12^16— ^11^2б)

du>

i V 2 “

Ш1

" б6 Д Зз " 5rfsГ

, ,

/ я

A 2 g n C w N

* 1

^ 1 6 \

З Д 2

< »i

/ 1 2 Д 3 d a 3

280	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

и, наконец, для тангенциальных перемещений u(s), v(s)

„ __£16^26 —£12^66 f

__ cfa

= с„ с „ - . с „ с ,

+ v

(9.7)

где Ь{ — постоянные

интегрирования.

Общий интеграл

разрешающего

уравнения (9.1) имеет

вид

е~а,{С1sin ps +

С2cos ps) -(- e***(C3sin Ps -f- Ci cos Ps) -f- w*,

(9.8)

где

_______

yfn—m

— 2---- ’

(9.9)

Здесь Cf — тоже постоянные интегрирования,

которые опре

деляются ив граничных

условий

на торцах

оболочки,

ча

стное

решение уравнения (9.1) с

грузовым

членом

-[fl4Z

R3(С12сj -(- C26c2)J.

Согласно (9 .8) имеем также

J = * - » [— {OLC1+

рС2) sin ps +

(PCJ — <*Q cos ps] +

—

nit

[(aC3 — p Q sin ps -f- (<xC4+ P Q cos

e~“‘ [{a?Ci +

2apC2-

p2Q

sin ps +

- f (<X2C 2 — 2apCj — p2Q

cos ps] +

e**|(a2C3 — 2apC4—

d*w*

— P2C3) sin Ps +

(a2^4 +

2a?C3 — P2Q

COS M + ITT >

Ц у = e " “* [(— a3C1— 3a2pC2 - f 3ap2C4 +

P3Q

sin Ps +

+ (— a3C2+ 3« 2PC1 +

3aP2C2 - P3Q

cos ps] +

-(-e** [(a3C3 — 3a2pC4— 3ap2C3+

P3C4) sin ps +

3 a2pC3 — 3aP2C4— P3Q

cos Ps] -j-

j и,

{^ « [( - a C , + P Q sin P s -(P C 1+ « Q

cos ps]+

+ e“*[(aC3 + P Q sin ps + («^4 — P Q cos

+ J ^ ds-

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.1 Mб4Общая и неорганическая химия..pdf
#
12.11.202315.66 Mб2Общая картография..pdf
#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf