412 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ill
|
|
“ ? ■ =h[ г а 5 » |
X i P “ |
+ г а |
|
l* 1 |
|
(ч.4о) |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
“ l = ^ [ n ^55X2^2l + 12 A # l A l + |
Д2Д ^ ] ’ |
|
|
R ik = |
Qj^ { [ A IX? + |
Ф 12*f* 2A e) (41 [l2"®44“Ь 120 |
|
-®e«X<)] |
|
|
|
— ^ Q (-® 12 + |
-® 6в) [ A f f i P * + |
( D 12 + |
2 А в ) |
^ l } , |
A * = |
^ |
{lA d 4 + |
(A . + |
2A e) X? ][S *55 + |
Ш |
(5 nX' + |
^ 66^1)] — |
|
|
|
- Й |
( A * + |
A e ) |
+ ( A . + |
2A e ) |
1x?} , |
<?» = |
[ 5 |
A s + Ш) ( A l X? + |
Аб9*)] [ T2 5 « + |
ПО (5 22f4 + 5 66}'?)] — |
|
|
|
|
|
|
- n O T ^ + A O ^ M . |
|
|
* « = % ч + ( 4 - |
2 % ) x^ f +T P «4 - |
|
|
Здесь (Dj и u)2 — частоты первой и второй формы малых собствен ных колебаний оболочки, V — приведенный параметр скорости.
Соответствующая (4.42) линейная система имеет вид
|
£!£I _L у — |
-l~x — ~kVx ■ |
■0 , |
|
HTTi |
% dr |
|^ж1 |
~ KVXt- |
|
|
dx 2 |
|
|
|
(4.49) |
|
d-x2 |
|
|
|
|
: | ? + т ,* . + |
т * ^ . = |
0- |
|
'3x2' |
Решение этой системы может быть представлено в виде
x i = I/ie>T> х г = У‘>еЪ- |
(4.50) |
Подставляя (4.50) в (4.49) и приравнивая определитель полу ченной при этом алгебраической системы нулю, получим
(X* - f ZX + 1 ) (X* + ZX + f ) + -g-A2F2 = 0. |
(4.51) |
Из характеристического уравнения (4.51) замечаем, что при малых V все характеристические показатели X лежат в левой полу плоскости комплексного переменного и соответствующие им ре шения устойчивы по отношению к малым возмущениям. С увели чением V возможны случаи выхода X из левой полуплоскости. Минимальное значение V—V*, при котором два из характеристи ческих показателей становятся чисто мнимыми, а остальные по-прежнему лежат в левой полуплоскости, является критиче ским, т. е. представляет критическую скорость потока газа
$ 4] |
ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА |
413 |
для |
выбранной формы |
потери устойчивости оболочки и |
имеет |
следующий |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
V* |
3 к2— 1 y i - j - |
2 № ± 1 ) у2 |
(4.52) |
|
|
|
4 |
к |
(Y2_ |
1)2 /• ■ |
|
Формула |
(4.52) |
имеет обычный |
вид |
формулы критической |
скорости панельного флаттера, однако по содержанию она не сколько отличается от обычной, ибо учитывает влияние попереч ных сдвигов на критическую скорость.
В § 1 настоящей главы мы установили, что учет поперечных сдвигов в анизотропных оболочках может привести к существен ному снижению величины частот свободных колебаний оболочки. Если это так, то, согласно представлениям (4.43)—(4.48), мы можем утверждать, что при учете поперечных сдвигов критическая скорость панельного флаттера, определенная по формуле (4.52), становится меньше критической скорости, найденной без учета поперечных сдвигов. При этом, чем больше отношения h/a, В(к/Вы, В(к/ВЪ5, тем больше разница между этими скоростями.
Для определения амплитуды установившихся колебаний флат тера вновь обратимся к системе нелинейных уравнений (4.42). В предположении малости аэродинамической нелинейности си
стема |
уравнений (4.42) примет вид |
|
|
|
|
|
^ |
+ |
*1 — 4 |
Wx.2- f qx, (b lxf - f Tl2*f) - f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
г (8иж? + 3J2a:l) = |
0 , |
|
(4.53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ? + |
X$ |
+ |
T**a + |
4 kVxi + № |
(Tai*? + -T2S*!) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ r\ixix , = 0 . |
|
|
Решение |
системы (4.51) ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
хг = |
Аг cos От -f- В, |
ж2= Л 2 cos 0т, |
|
|
|
(4.54) |
где А г, А2, В и 0 — постоянные, |
подлежащие определению. |
Если затухание системы достаточно мало, то, как показывают |
более точные исследования, |
можно считать, что А2——A v. |
Согласно |
(4.54), |
решив |
систему уравнений |
(4.53) |
методом |
Бубнова—Галеркина, для |
определения Аг получим |
уравнение: |
c A \ + [ \ - ^ |
- k ( V - |
Г)?(З Тп + |
Г12) М ? - 4 М Е - |
П |
= |
0, |
(4.55) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = |
|
у- « 2То (3Ти + Т12). |
То = |
Tai + Г22 — Тп ~ |
Tia. |
(4.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3о = Т «То + у г2 (812 + 8п) (28п — 82х)*
414 |
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III |
|
Наконец, из (4.55) найдем: |
Аь = i |
[ т ■к <F - |
и |
|
(Зтп+ |
Ti*) 9 - |
8о] + |
|
± l H |
[ T fe(F - |
n |
(3Tu + |
T i* )9 - 8o J + T cA:(F - |
n f * . (4-57) |
Как |
показывает |
анализ, учет |
поперечных сдвигов приводит |
к увеличению амплитуды |
колебания флаттера. |
Характер флат- |
терных колебаний зависит также от знака 80: |
|
а) Если 80^ 0 , |
то, |
как |
видно |
из (4.57), установившиеся дви |
жения возможны |
при |
F ^ |
F*. В этом случае амплитуда устано |
вившихся колебаний флаттера, равная нулю на границе области флаттера, постепенно увеличивается при дальнейшем увеличении
параметра |
F. |
|
|
б) |
Если |
80< 0, |
то установление |
флаттерных колебаний при |
F < |
F* возможно, когда 2/3 к (F — F*) (3^п -f- ^12) Ч— 80> 0, а при |
V* амплитуда |
установившихся |
флаттерных колебаний посте |
пенно увеличивается при дальнейшем увеличении параметра F. Здесь можно наблюдать следующую картину. Начальное безмоментное состояние оболочки останется устойчивым, пока V </ F*. При V = F* амплитуда флаттерных колебаний скачком возрастает до конечного значения. С дальнейшим увеличением скорости ампли туда возрастает. При снижении скорости режим колебаний сохра
|
|
|
|
|
|
няется |
вплоть до V = VE, где V% определяется |
из уравнения |
[ 4 |
к( Vh - V ) (3Tll + Г,*) Ч ~ |
3„]2+ у * ( V i - |
V*) 6?- |
0. |
При |
V =V*B произойдет «срыв» амплитуды и вновь |
восстано |
вится первоначальная форма оболочки. |
|
|
Таким |
образом, если V% </ V |
F*, то невозмущенная форма |
оболочки, |
устойчивая по отношению к малым возмущениям, может |
оказаться |
неустойчивой по отношению к конечным, хотя |
и доста |
точно малым возмущениям.
§ 5. Некоторые задачи динамики анизотропных пологих оболочек, находящихся в переменном температурном поле
Рассматривается ортотропная пологая гибкая оболочка поло жительной гауссовой кривизны и постоянной толщины h, нахо дящаяся в переменном температурном поле.
Предполагается, что оболочка отнесена к знакомой триортогональной системе координат а, (3, f так, что срединная поверх ность ее совпадает с координатной поверхностью ^=0. Считается,
5] ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 415
что координатные линии совпадают с главными направлениями упругости, теплопроводности и линейного температурного расши
рения ортотропного материала |
оболочки. |
t) |
|
Пусть температура оболочки |
Т = Т (а, р, у, |
задана и удов |
летворяет как уравнениям .теплопроводности, |
так и начальному |
и граничным условиям. |
|
|
|
Учитываются изменения физико-механических |
свойств мате |
риала оболочки в зависимости от температуры. Однако считается, что материал оболочки остается упругим.
Поставленная задача решается в классической постановке на уровне теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 5 и гл. И, § 13).
Принимая основные предположения теории гибких пологих оболочек, термоупругости анизотропных тел, а также 4 = 1 , В —1,
X = 0 , Y = 0 , получим |
следующие исходные уравнения и |
соотно |
шения задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения движения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТ,2 |
. dS |
__ * д'-у |
|
|
|
|
— |
+ -^р'==РА^ г > |
? + ^ Г = Р Л дИ |
|
|
|
(5.1) |
д а ? |
^ |
da d{3 |
* |
dp |
-ь,т1-к ,т ,+ ± (т 1* г) + |
|
|
дЧ1, |
д ? Н |
дШо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-z + p > * S ; |
|
|
|
соотношения упругости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^1 = |
^ 11е1 + |
C12e2+ |
|
^ 11Х1+ |
^12*2+ ClT, |
|
|
|
|
|
Т 2 |
~ ~ |
С 2 2 е 2 Н~ ^ 1 2 е 1 “Ь |
^ 2 2 Х2 |
^ 1 2 Х1 ~Ь ^2Т» |
|
|
|
|
|
S = |
CggO) -J- /fggT, |
Н = Z)6gT |
tfg6a>, |
■ |
|
(5.2) |
|
|
Мг= |
|
-f- Z)12x2-f- ^Tns, -f- |
"b ^"ir* |
|
|
|
|
|
M 2 = |
Ц>2Х2 |
|
^ 1 2 x l “b |
|
^22® 2 Ч~ ^ 12® 1 “ 1“ ^ 2 Г , j |
|
|
|
где |
для |
жесткостей C{J = CtJ(а, р, |
г), |
К{J. ~ К fJ (а., |
р, |
*), |
Z)^ = |
~ D (j { а, |
р, г) |
и |
температурных |
усилий |
С(Т— CiT(a, |
р, |
£), |
К ц = . |
— К |
р, £) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А/2 |
|
S - |
|
А/2 |
|
= |
|
А/2 |
|
|
|
с , , = В‘A |
|
|
* у |
|
|
S |
|
|
|
|
—А/2 |
|
|
|
-А/2 |
|
|
|
-А/2 |
|
|
(5.3) |
|
|
А/2 |
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С.т = |
( QAb |
к <т= |
\ Q^dr, |
|
|
|
|
|
416 |
|
|
|
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК |
|
[ГЛ. III |
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
__а22______ gl |
|
|
В |
— -2lL — _ |
■ViV2 |
|
|
|
|
|
11 ~ |
ао |
|
1 — VXV, • |
|
22~ |
«0 |
“ |
1 |
|
|
|
|
|
В |
— В ------ |
|
v2gl |
_ |
|
^ 2 |
|
|
S oe= |
— = G |
12» |
(5.4) |
°12— |
Д21 |
— |
а0 |
1 — viv2 |
1 — VjV2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(^»1Я1~f" ^<2*2) |
«0 = |
а11а |
|
|
|
|
|
|
|
геометрические соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<?Ц |
, |
1 |
|
1 |
/ dw |
\ 2 |
|
Xi --- |
d -w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
J |
' |
|
da* |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/ dw |
\ 2 |
|
*2 --- |
d 'w |
|
|
(5.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
” 2 |
V |
" ^ ] |
• |
d p |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
du |
<?ю |
dip |
|
|
т = |
— 2 |
d l w |
|
|
|
|
|
|
|
da |
|
|
|
<?а |
|
д|3 |
’ |
|
da d{1 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение неразрывности: . |
|
|
|
|
/ |
<?2га V! |
|
|
|
|
|
<?2e2 |
|
|
|
<?2e, |
■к, |
дги> |
, |
|
|
|
. |
Л |
|
|
|
|
|
да ф |
|
|
|
|
|
Я1 |
# 2 |
|
d |
е*|3 ) |
+ |
<?a2 |
d p |
• \ - I |
<)a2 |
|
" Г <?fj2 |
л |
2 |
^ a 2 |
" |
^ |
|
|
\ d a d $ J |
' |
<?а« |
Исходя из приведенных уравнений и соотношений, получим для определения искомых перемещений и, v, wсистему нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
|
LjU -f- L3v |
L3w-|- #1 (ш, |
w) ■ |
дС\т . |
, |
д2и |
|
|
Г Г '+ /гР'э7Г’ |
|
|
|
|
|
|
da |
|
dtz |
|
|
L xv -f- L^i -(- Lzw |
{wy w) |
dC,2т |
i |
d^v |
|
|
<» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L4H -(- £ 4I?-f- (^5 ~h L 5) |
(w> u) + |
|
|
|
(5.7) |
|
-f/?2(u>, y )-f-fi3(H?, ш)-(-^з(н?, ш) = |
da2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ |
+ ( ^ |
+ ^ 2r) - Z + p A ^ g - , , |
|
где для линейных |
L(, |
L t и нелинейных R {, R( |
операторов имеем |
L ‘ — |
( c i‘ ■ з г )+ i f ( с « ж ) ’ |
L ‘ = i ( c ^ i ) + w ( с ** |
’ |
+ 2ж ( лг« ^ ) + ^ <* 'С ” + ‘ *С '
L ‘ — i b { K " т ^ ) + ш { К п i r ) +
+ 2 W |
ж ) - < в д ' + а д *> |
5 J |
|
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ |
|
|
|
417 |
J L2 |
Dn |
^ - D 12~ |
+ (k1Kn + |
k2K22)\ -- |
|
|
|
|
|
|
даj [ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2-d^dp (D" |
i h f ) + |
|
( ClT |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ * ■ [ * . . * * ' "Ь |
|
— («■/-'„ +*а^1г)]< |
* . |
ь |
1 |
|
- [ т* . ш. { 4 * |
|
|
+ |
|
|
|
( |
1 |
Л |
|
|
+ |
2 i |
( с |
« , [ » . ( |
> 1 = 4 [ с „ - £ . а(да |
г |
|
|
dw д( |
)1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
' с'вв_5р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C10^ L ? 1 1 +С, |
|
dw д ( |
) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
dp |
66 da ' <?р J> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ^ 1г |
<?р |
да |
|
|
Д ,(ш , ю ) = |
у - я - [ ( с 11 |
dw |
-djt |
|
m |
|
] + |
|
|
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
y {(* .C .. + |
V |
u) ^ |
) ‘ +2a>E -[(*iC 1. + |
V |
U) ^ |
} |
+ |
|
|
|
|
1 / д2 ГV |
/<Ь\а1 |
О, |
д2 |
f * r dwdw\l |
|
|
|
|
|
+ |
т \~dtf l * 12 \ГЖ/ J+ |
1 |
|
чЛ|66 |
~w) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
dw |
d2w |
|
, |
д |
( п |
dw |
dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ |
[ "66 dp |
da dp |
|
-f- |
-ж\у |
/)а ж |
) ] |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
т |
dp |
"6® |
|
|
|
|
|
|
, |
|
d L |
dw fdw\2 |
<yrs |
dw d2w ~| |
, d /«• |
|
|
dw |
d~w\\ |
|
|
‘ |
da l V l2 da Vdp; |
|
|
12 da |
dp2 J % р |
\Л «« |
|
da |
dadp/J ’ |
и, наконец, входящие в (5.7) операторы L( и |
получаются соот |
ветственно из операторов L. и R{ заменой в них |
коэффициентов |
А ^ В, |
координат |
|
р и индексов |
1 ^ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Основные уравнения задачи могут быть сформулированы в тер |
минах |
смешанного |
метода |
с |
|
помощью |
функции |
напряжений |
<р (a, р, i) |
и |
функции перемещений |
w ( а, |
р, |
t). |
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая тангенциальными силами инерции и обычным |
образом вводя функцию напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тх |
|
гр ___ |
d ?ip |
|
|
с |
|
d 2T> |
|
|
|
|
|
(5.8) |
|
|
|
|
|
9 |
2 “ |
" |
d a 2 |
’ |
|
|
|
da dp ’ |
|
|
|
|
из соотношений упругости, с учетом (5.2), получим для состав ляющих тангенциальной деформации и моментов следующие вы ражения:
Ei — Аи (jjp — CIT) + Ап (^ р — С**) + |
dn ^ + |
dT-w |
|
dl2 dp2 * |
|
е2 = А22( j p — С27) + Ам (^ Г — С^ ) + |
d22^pT + |
d2 l4 ^ » |
(5.9) |
А |
д2? |
d2w |
|
|
|
66 da dp |
■2d, |
|
|
|
|
66 да d'd |
|
|
|
418 |
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. III |
M l =-rf f ^ 9 1 |
-f- d21^ |
) + |
- an V dp* 1 |
|
+ Ф?! |
D ) Э2ш |
+ (0?2“ Д12) |
^ l l l d a * |
|
|
M ,=- a22^dd* |
1 CSTJ-f- d12^, ^ + C lT ) + |
(5.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d -’ ш |
|
|
|
|
|
+ (^ 2 - ^ 2 2 )- 9 " + Ф ?2-- Д 12) "d a * " * |
|
|
|
я =II |
9*^ 0^3 |
+ 2(Dle- D |
1 |
> |
|
|
|
|
« «© «© |
.QQ |
|
|
667 d a dp |
|
|
где |
введены |
следующие обозначения: |
|
|
А |
___ |
^22 |
А ___ |
^12 |
А _ |
а0 |
*60- '66 |
|
Й11“ |
а„ ’ |
12 ~ |
|
а0 |
|
|
^11 = |
(^22^11 |
^ 12^ 12) So1, |
^22= |
(^ 11^22 — ^ 12^ 12) So1, |
|
^12 = |
(^22^12 — ^ 12^ 22) So1» |
d2i = |
(Сц^12 |
^ 12^ 11) So1, |
(5.11) |
^66 — ^бб/^ее» |
|
|
|
S0 = |
CnC22— C2„, |
|
|
|
|
^11 = |
^11^11Ч~^12^21» |
|
Щ1 — ^12^12 ~l~^22^22» |
|
Z)J2 = |
Knd12 -j- K12d22= |
K12dn -f- K22d2l, |
|
|
no — К A u %<\— ^ e ^ e 1
Подставляя значения сил, моментов и деформаций соответст венно из (5.8), (5.10) и (5.9) в третье уравнение движения (5.1) и в уравнение неразрывности деформаций (5.6), получим для опре деления искомых функций <р и w следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
(Z/e -f- L 6) f -j~ (L7 -j-L 7)w -f- Rt (w, cp)— -т-f (ClTdn -f- |
|
dd2 |
-}- Cvrd21— |
d2 (C1Td12-f- C2T^22 — K2T) — |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
z |
+ p A £ |
T . |
(5.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Lg -f- Lg) <p -f- (Lg-f- Z9) w |
R |
t (w, |
и;) — |
|
|
|
|
|
-- (^ir-^12 ~Ь С2И 22) + |
|
ДД2 (Cir^n -f- C2'M2l), |
|
|
|
|
da* V-H-12 I |
а» |
22/ I r);. |
|
|
|
|
|
где для дифференциальных операторов имеем |
|
|
|
г _ |
d* |
d* , |
j |
d* |
1 \ |
|
д2 |
f j |
32 |
\ |
|
|
— |
V |
21 d^*" + |
°11 |
dp*' |
" V " " * |
da dp |
V 66 |
da dp J * |
|
|
= |
"da*" [ ( ° i i ~ |
^ |
+ (°? 2 — |
Dtf) |
] + |
|
|
|
|
§ 5] |
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ |
419 |
|
J— ( л |
° |
| л " M i 1 |
° 2 |
( л |
|
\ |
|
|
£—)а2- |
+ Л 12^2 ) + |
2 |
дад? |
\,Лб64я40/’ |
|
|
г _ д2 ( J |
д"- I J д- |
1\ |
д2 [ Л |
42 \ |
|
|
^9— 4а2 у -1~д&+ |
“* * ' ~ |
КУ ~ 17df \аЫ17^Г/’ |
|
|
|
О |
d*W 4* ( |
) |
<?2ш42 ( |
) |
|
|
|
z |
4а 4р |
4я 4р "г |
4р2 |
4а2 |
|
а операторы L(, как и раньше, определяются из операторов Lt путем замены в них А ^ В, а ^ р и индексов 1 ^ 2 .
Таким образом, решение рассматриваемоЗ здесь задачи сводится к интегрированию систем дифференциальных уравнениЗ (5.7) или (5.12) при известных граничных условиях.
1. О поперечных колебаниях прямоугольной в плане пологой оболочки. Рассмотрим в линейной постановке свободные колеба ния прямоугольной в плане (аX Ь) весьма пологой оболочки, шарнирно опертой по всему контуру (а = 0 , а=а, р=0, Р=6). Пусть оболочка находится в таком переменном во времени тем пературном поле, что Т = Т (t).
Тогда легко получить исходные дифференциальные уравнения
свободных колебаний |
оболочки, |
полагая |
в (5.12) |
|
к ч = *ч" |
: Я » : |
дА Ч |
дА Ч |
да |
__дйц__ Q |
(5.13) |
|
Ч |
да |
|
4р |
|
Конечно, термин «свободное колебание» здесь носит несколько условный характер, ибо изменение механических характеристик
материала |
оболочки |
во времени |
(В^ = B {J. (t), |
(t), |
Dtj= D tJ (t), |
так как |
Bij = B ij ( Т), |
а Т = Т (t)) вносит некоторые |
элементы «вынуждения». |
|
|
Д ля рассматриваемого случая свободных колебаний из |
(5.12) |
получим следующую исходную систему дифференциальных урав нениЗ:
А , - Й + 2 ф а + 2Дее) + ^ ~Щд +
|
|
|
_1_ и Jh. л. h |
Лр~ W ’ |
|
|
|
|
‘ Л2 |
4я2 + |
Л1 4Й2р2 — |
(5.14) |
|
|
|
|
-1_А |
J0.. |
|
|
.4!, - & + |
(2Л11+ Л |
, ) * Й |
|
|
|
|
|
|
4я2 4р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4?ш |
4 2ш |
0. |
|
|
|
|
|
|
*2 4я2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К системе (5.14) |
присоединим граничные и начальные условия, |
которые имеют вид: |
а |
|
|
|
|
|
|
при и — 0, |
а = |
|
|
|
|
|
|
|
и>= 0, |
Г ^ О , |
17 = |
0, Мг = 0; |
|
(5.15) |
420 |
|
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. III |
при |
(3 = |
0, |
р= |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w= |
|
0, |
Тг = |
0, |
и = 0, |
М 2 = |
0; |
(5.16) |
при |
t = |
tQ= |
0, |
л= |
а/2, |
р= |
6/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.17) |
Принимая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
00 |
|
|
|
mna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“> = |
2 |
2 |
|
|
asin |
|
|
|
|
|
|
|
wt—1 n=l |
|
|
|
|
|
|
(5.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. mna |
. лтсВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
p |
= |
2 |
|
2 |
sin----- Sin |
b |
’ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
m = l n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворим граничным условиям (5.15) и (5.16). |
|
Далее, подставляя значения w и <р из (5.18) |
в систему уравне |
ний (5.14), |
получим |
для |
определения |
искомых функций |
fmn (t) |
и Fmn(t) соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fmn(t) = |
- f nn (t) (4 - ) 2 fte W |
+ |
k2b W )[A 22bW + |
|
|
|
|
|
|
- f (A№- f |
2Al2) a2b2m2n2- f AnaW p, |
(5.19) |
а также следующее дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:
|
|
|
% |
|
Ш + 8 2Ф - (0 / «.(0 = |
0, |
|
|
(5.20) |
где приняты обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SJ2__ 5ц (fo) ?2 |
|
|
|
|
|
(5.21) |
|
|
|
|
|
|
12рga * |
|
|
|
|
|
|
|
5ц (*) |
|
|
|
|
о 5б6 (ОУ |
ат пу |
, |
|
|
|
5ц (го) H ( v - ) T |
“ * |
+ 2 ( ” |
вц(0+ |
А |
|
6 / |
+ |
|
|
|
|
522 (*) |
|
|
12<1 - |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
w |
5ц (<) ( х ) ‘]} + |
V1V2) ( V |
) 2(M 2« 2 + |
|
! [ |
§ ^ |
< |
t o > *(О+ @2 |
vf -^ dbmrif( |
- f -( a |
« ) 4"l |
(5.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(^ — ускорение |
силы |
тяжести). |
|
|
|
|
|
|
|
Укажем, |
что |
при получении уравнения (5.20) |
было учтено, |
что коэффициенты Пуассона не зависят от температуры, а пара метры В.к (t) имеют вид:
|
(0 — 1 - vlVt ’ |
#22 (t) ■ |
g2(0 |
) |
|
1 - ViV2 ’ |
J |
|
|
V2£ I jt) |
vi£2 (I) |
|
(5.23) |
|
#12 (t) |
B „ ( * ) = G l2(i). j |
|
1— VjV2 |
1— VjV2 |
|
|
|
|
