книги / Общая теория анизотропных оболочек

С помощью (2.78)—(2.79) осуществляя преобразования (2.80)

ииз полученной при этом системыисключая коэффициент ф, най­ дем искомую нелинейную связь между прогибом центра оболочки

инагрузкой:

венным образом зависит не только от кривизн координатной по­ верхности 7 = 0 (что имеет место в однородных и симметрично

собранных слоистых оболочках, когда координатная поверхность 7 = 0 является срединной поверхностью оболочки), но и от коэф­ фициентов dik и тем самым от жесткостей взаимного влияния К {к,

которыми характеризуется несимметричное строение слоев по тол­ щине оболочки.

Несимметричность строения оболочки по толщине при задан­ ных значениях кривизн кх и к2 может привести к увеличению или уменьшению коэффициента s, что в свою очередь приведет к уве­

личению или уменьшению склонности оболочки к хлопку. Интересно заметить также, что при некоторых значениях жест­

костей K ik даже пластинка (fc^O, к2= 0) может терять устойчи­

вость хлопком. Отметим также возможность потери устойчиво­ сти хлопком оболочек отрицательной гауссовой кривизны.

Таким образом, при заданных значениях кривизн многослой­ ная оболочка в зависимости от характера слоистости может пре­ терпевать деформации различных типов. В случае анизотропных слоистых оболочек исследование характера деформирования сле­ дует вести, рассматривая совместно как геометрические, так и ме­ ханические параметры оболочки, т. е. исходя из поведения коэф­ фициента s уравнения (2.81).

В случае, когда s достаточно мало (очевидно, для этого нет необходимости, чтобы оболочка была весьма пологой), или s < 0 ,

с увеличением стрелы прогиба / параметр нагрузки монотонно возрастает (рис. 65, а). С увеличением s кривая q—/ приобретает

предельную точку и оболочка может деформироваться хлопком (рис. 65, 6). Дальнейшее увеличение параметра приводит к диаг­

рамме, в которой ветвь неустойчивых состояний лежит вблизи

Рис. 65.

начальной ветви (рис. 65, в). Эта диаграмма, как известно, отно­

сится к оболочкам большой кривизны, однакотакую картину можно наблюдать и в случае слоистой весьма пологой оболочки.

В силу сказанного выше мы вновь приходим к заключению, что в случае анизотропных слоистых оболочек чисто геометриче­ ский подход для определения качественной картины поведения оболочки может привести к не­

доразумениям.

Описанные здесь специфиче­ ские особенности поведения многослойных оболочек подт­ верждаются и частными приме­ рами, которые здесь не приво­ дятся. Укажем лишь, что, как правило, при решении частных задач используются известные методы, применяемые в теории изотропных оболочек.

3.

чивания длинной слоистой ортотропной цилиндрической панели, шарнирно закрепленной по длинным сторонам (р = 0, р= Ь ) и загруженной нормально прило­ женной к координатной поверхности у = 0 , равномерно распределен­ ной нагрузкой с интенсивностью q (рис. 66).

Предполагается, что закрепление краев является нецентраль­ ным по отношению к толщине и изгиб панели происходит по ци­ линдрической поверхности.

376 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III

что соответствует несимметричному выпучиванию панели относи­ тельно сечения р = 6/2-

Из приведенных формул (2.88) и (2.89) нетрудно получить

формулу для определения прогиба центрального сечения панели

р=6/2:

В окончательных представлениях (2.89)—(2.90) пока еще оста­ ется неопределенным внутреннее усилие Т.

Значение Т определим из условия несмещаемости опор оболоч­ ки. Полное взаимное сближение опор 8 должно быть равно нулю,

т. е.

*

Из формул (2.52)—(2.58) для dv/dfi в случае цилиндрического

изгиба получим

будем иметь

г ^ = М ё + р ( т - ? Ж ‘ ^ - т - ¥ ^ т ) +

Для дальнейших рассуждений целесообразно ввести безраз­ мерные параметры

¥° ™ - с 2а

характеризующие соответственно нагрузку, кривизну, прогиб, усилие и эксцентриситет закрепления.

Учитывая (2.94), из (2.90) и (2.93) получим уравнения, ко­ торые устанавливают связь между расчетными величинами

£= « ( г г у О + з У 2 ( s b - ' Ь Ф ' - w <2-9l?>

В случае же, когда нагрузка приложена со стороны вогнутости панели и сила Т%является растягивающей, взамен (2.95) и (2.96)

получим

[д* -f- 4ср2(4р2е А)]2{2ср3— 3 [5 (<р — th. <р) — р th2р]} —

— 16<р2 [д* -f- 4р2(4-f2e-f- &)] ((k -f- 4р2е— 12е) р3—

— 3 [(& 4р2е) (р — th р) — 4р2еth р]} —

закономерности д*— £ в зависимости от величины эксцентриситета закрепления е и от знака нагрузки q.

Задаваясь значением р , из (2.95) или (2.97) (в зависимости от знака силы Т г) определим соответствующие значения q*. Далее по найденным значениям q* из (2.96) или (2.98) находим соответ­

ствующее значение относительного прогиба.

На рис. 67 приведены кривые зависимости «нагрузка — про­ гиб» в случае, когда тангенциальная сила Тг сжимающая, т. е.

когда равномерное давление приложено со стороны выпуклости оболочки. Графики построены для двух значений эксцентриситета закрепления е. Значение е=0 отвечает центральному шарнирному

Сравнивая полученные кривые, замечаем, что наличие экс­ центричного закрепления кромок оболочки может значительно изменить картину деформирования панели. При перемещении опор

к центру кривизны оболочки деформативность оболочки увеличи­ вается. Далее замечаем, что вначале с ростом нагрузки панель из­ гибается по симметричной форме, а затем, когда параметр <р, ко­ торый характеризует внешнюю нагрузку, достигает значения п, происходит несимметрич-

панели прогибы являются монотонно возрастающими функциями давления (рис. 68). Что же касается вопроса влияния эксцентри­

ситета закрепления, то и в этом случае перемещение опор к центру кривизны приводит к увеличению прогибов оболочки.

§ 3. Некоторые задачи анизотропных оболочек, подверженных действию динамически приложенных нагрузок

Здесь будут рассмотрены некоторые задачи анизотропных обо­ лочек, находящихся под действием нагрузок, настолько быстро меняющихся во времени, что при решении задач необходимо учи­ тывать ускорения элементов тела оболочки.

Из этой серии задач будут рассмотрены досконально изу­ ченные задачи динамической устойчивости, а также задачи удара.

тронной пологой оболочки. Рассмотрим нелинейную задачу дина­ мической устойчивости слоистой ортотропной пологой оболочки, собранной из нечетного числа однородных ортотропных слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки (см. гл. I, § 10).

Пусть оболочка в срединной поверхности загружена периоди­ чески изменяющимися с малыми амплитудами тангенциальными силами. При определенных соотношениях между частотой прило­ женной нагрузки & и частотой собственных колебаний со начальная форма оболочки становится динамически неустойчивой, т. е. воз­ никают поперечные параметри­ ческие колебания оболочки, амплитуда которых возрастает до недопустимых значений.

Вибрационная нагрузка, под действием которой возможна по­ теря динамической устойчиво­ сти, входит как параметр в урав­ нение возмущенного равновесия. В связи с этим такая нагрузка называется параметрической.

Таким образом, теория динамической устойчивости оболочек изучает колебания, которые возникают в оболочке под влиянием выбрационной параметрической нагрузки, действующей в сре­ динной поверхности оболочки.

При получении исходных уравнений не учитываются танген­ циальные силы инерции, силы инерции вращения и деформации поперечных сдвигов. Приближенно считается, что начальное на­

дифференциальных уравнений динамической устойчивости поло­