книги / Общая теория анизотропных оболочек

71.Г о л ь д е н в е й з е р А . Л ., Погранслой и его взаимодействие с внут­ ренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки. ПММ,

т.33, в. 6, 1969.

Вработах [в1-?1] читатель найдет также полную библиографию но за­ тронутому вопросу.

Следует отметить также некоторые работы, посвященные вопросу по­ строения уточненных теорий для анизотропных оболочек.

72.П о н я т о в с к и й В. В., К теории изгиба анизотропных пластинок. ПММ, т. 28, в. 6, 1964.

73.А г а л о в я н Л . А ., Об уточнении классической теории изгиба анизо­

тропных пластинок. Известия А Н АрмССР (ФМ науки), т. 15, № 5, 1965.

74.А г а л о в я н Л . А., Применение метода асимптотического интегриро­ вания к построению приближенной теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 30, в. 2, 1966.

75.А г а л о в я н Л . А ., Об уравнениях изгиба анизотропных пластин. Труды 7-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во «Наука», 1970.

В этих работах теории анизотропных оболочек и пластин построены на основании положений, которые отличаются от принятых в настоящей книге.

§§ 10— 14 посвящены теории анизотропных слоистых оболочек. Теория анизотропных слоистых оболочек систематически изложена в монографии [4]. Насколько нам известно, основные положения теории анизотропных слои­ стых оболочек впервые освещены в работе [ 7]. В последующем эта теория была использована для рассмотрения задач, связанных с различными типами обо­ лочек. Эти результаты были освещены в [4], а также в [8. 20, м , ffl. 26] и др.

Сведения о теории слоистых оболочек в уточненной постановке можно найти в работах [“ -**], а также

76. R e i s s n e r Е., Contributions to the Problem of structural Analysis, of Sandwich-type Plates and Shells. Theory and Practice of Sandwich Construction in Aircarft. A. Symposium. Preprint № 165, 1948.

77.К о p о л e в В. И., Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. Изд-во «Машиностроение», 1965.

78.Расчет элементов авиационных конструкции (Трехслойные панели и

армированных материалов. Доклады научн.-технич. конференции МЭИ, 1967,

иво многих других.

§§15, 16. Теория слоистых оболочек со слоями переменной толщины осве­ щена, например, в диссертации:

80.Г р и г о р е н к о Я. М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения переменной жесткости при несимметричных нагрузках. 1970,

ив монографии:

81.Г р и г о р е н к о Я . М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки

вращения переменной яюсткости. Изд-во «Наукова думка», 1973, откуда и заимствованы результаты, изложенные в рассматриваемых пара­ графах.

Г л а в а II

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ИДЕФОРМАЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ОБОЛОЧЕК

Здесь будут рассмотрены как общие, так и частные вопросы определения напряженного состояния и деформаций анизотроп­ ных слоистых оболочек.

§ 1. Безмоментное напряженное состояние однородных оболочек

Рассматривается вопрос построения безмоментной теории ани­ зотропных однородных оболочек путем приведения трехмерной задачи теории упругости анизотропного тела к двухмерной задаче теории оболочек.

Теория строится для наиболее общего случая, когда в каждой точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки у = 0.

Безмоментными считаются такие оболочки, в которых напря­ жения от моментов или равны нулю, или пренебрежимо малы по сравнению с соответствующими напряжениями от тангенциаль­ ных сил.

В основе предлагаемой здесь теории лежит предположение, что основные с точки зрения классической теории напряжения <зл, °0» т«р распределены по толщине оболочки равномерно, т. е.

Принимая (1. 1), с точностью l+ A ^ y ^ l удовлетворим первым четырем соотношениям (I. 1.15) *), а из формул для моментов с та­ кой же точностью получим

В последующем с такой же точностью там, где это очевидно, мы будем пренебрегать величинами порядка к{у по сравнению с еди­

ницей. При этом требуется определенная осторожность при от­ брасывании членов с множителями, содержащими а(к. Дело в том,

что в общем случае коэффициенты упругости могут образовать такие величины, которыми в сочетании с ktу нельзя пренебречь

по сравнению с единицей.

*) При ссылке на формулу предыдущих глав в начале номера формулы ставится римская цифра — номер главы.

Пусть, как и раньше, оболочка загружена поверхностной на­ грузкой так, что

1. Определение напряжений. Уравнения равновесия диффе­ ренциального элемента оболочки (16), с принятой здесь точностью, можно представить таким образом:

вые два уравнения равновесия (1. 4) и производя интегрирование

где ( р и ф являются функциями интегрирования и определяются

из условий на поверхностях (1. 3).

Удовлетворяя условиям (1. 3), для ( риф получим следующие значения:

а также следующие уравнения:

<Я7,1),.- - Г гВ,. + (4$),, + &1,, = -'1 В < Х * + Х->. >

( 4 Г Л , - Г Л , + (В В ).. + В В . . = - 4 Я ( Г * + П - 1 1 ' *

Подставляя значения (р и ф из (1. 6) в (1. 5) и учитывая (1. 7)т

( 1. 8)

где х является функцией интегрирования и определяется из ус­

ловий (1.3).

Удовлетворяя условиям (1.3), получим, согласно (1.10), для нормального напряжения о

Таким образом, мы получили формулы (1.8) и (1.11), которые совместно с формулами (1.1) позволят определить все шесть со­ ставляющих тензора напряжений.

Что же касается внутренних сил, то они могут быть определены

15 С. А. Амбарцумян

уравненийне может быть получена из системы уравнений равнове­ сия классической теории (1.1.21) путем отбрасывания членов моментного происхождения. Здесь в третьем уравнении равновесия (1.15) фигурирует грузовой член h,Z[/2, который происходит от учета поперечных касательных напряжений тат и

Выше было указано, что граничные условия общей моментной теории анизотропных оболочек ничем не отличаются от соответ­ ствующих граничных условий однородной изотропной оболочки. Естественно, что то же самое можно сказать и для случая безмоментной оболочки. В связи с этим, не вдаваясь в подробности об­ щих вопросов граничных условий безмоментной теории оболочек, приведем некоторые примеры граничных условий в классической постановке. Ради краткости записи граничные условия приводим

т« = ^ ( з г ) , т+ х “ т..-

228 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II

Pi — a13'Y~\-a23~^'i~a2S~'i'a33Pl— Т* + а33^*1>

получим для еще не рассмотренных компонент тензора деформаций следующие выражения:

а также известные представления

«1=4». * + ТвА>Р + к

(1.31)

е2 = т V - Р + АВ В • “М ~ Ь k*W'

<0= т ( т ) , э + т ( т ) 1.-

Приравнивая коэффициенты при у в нулевой степени, согласно (1.31) получим

Уравнения (1.36) составляют полную систему дифференциаль­ ных уравнений, с помощью которых могут быть определены ис­ комые перемещения. Эти уравнения, в отличие от соответствую­ щих уравнений классической безмоментной теории анизотропных оболочек, содержат члены (с множителями а13, а23, а36), которые появились здесь в результате учета явлений, связанных с попереч­ ными деформациями оболочки. Очевидно, не всегда влияние этих членов на перемещение оболочки ощутимо, однако они должны быть оставлены для рассмотрения, ибо не исключены случаи, в ко­ торых учет явлений, связанных с поперечными деформативными ха­ рактеристиками оболочки, может стать необходимым.

Далее, приравнивая соответствующие коэффициенты при всех остальных у, получим следующие четыре группы соотношений:

первая группа:

вторая группа:

(1.38)