книги из ГПНТБ / Биргер И.А. Резьбовые соединения

кальная

составляющая перемещения

точки Мх

(середины

боковой поверхности

профиля) относительно точки М\, обо­

значенная через б3 (рис. 115).

»///>

Перемещения

àx

и Д2 определяются

по формулам

(213).

fei

////;

%// ^ •.

ш

и ш

б;

0

7

Рис.

114.

Схема

соединения

Рис.

115.

К

выводу величины <53

со

спиральной

вставкой

и

Х%

безразмерный коэффициент, зависящий от геометриче­

ских параметров резьбы и вставки.

Величину

Х%* можно вычислить по формуле

Я?* =

Я * £ 2 - ,

(320)

где d2 и D 2 — средние диаметры резьбы болта и гайки.

Номер ватка.

Значение

коэффициента

Х%, полученное на основа­

нии решения

задачи о кручении кольца

ромбического

Рис. 116. Нагрузки на

сечения, можно

представить в виде

отдельные витки в про­

X*--

(321)

центах от общего уси­

8/.

лия:

5,

1 — соединение со встав­

коэффициент;-

Sx

—ма­

где ke = ~ — безразмерный

кой; 2 — соединение без

лая диагональ ромба; de

— средний диаметр

вставки

вставки

(см. рис. 112,6);

/ я ѵ ' — м о м е н т

инерции

сечения

про­

волоки вставки относительно оси, проходящей через

большую диагональ ромба.

преобразований получим

уравнение

< ? " ( г ) - / п | < 7 (2) = 0,

(322)

которое отличается от уравнения (230) лишь

значением коэффициента Ѳ4 :

ba =

nuS--

/Г'

ExFi1

+ 1

(323)

.1.

KJL

Их

1

А-_

1 — ходовой винт;

2 — гайка; 3 — перепускной

канал; 4 —

шарики

Конструкция отдельных

элементов шариковинтового

механизма определя­

резьбы винта

и гайки (в нормальном сечении винтовой канавки), применяемые

в настоящее

время в таких механизмах.

Величины б,- (i = I , 2) могут

быть представлены

в

виде

2_

&г-

Еі

*

Лш [Et/

J

cos

(324)

где Pi — усилие на единицу длины линии

контакта боковой поверхности

витков;

Xf и Vi — безразмерные коэффициенты;

аш

— диаметр

шарика; ,5і,-ш — шаг (рас-

Рис. 118. Основные профили винта

и гайки (в нормальном сечении винто­

вых

канавок):

В, Г — точки контакта

шарика; а — угол контакта

р , я О , к sin ак cos

= qS,

(325)

Рис. 119. Основные гео­

Рис. 120.

Распределение нагрузки

метрические

параметры

по длине свинчивания в соедине­

резьбы

нии

типа болт—гайка

где S — шаг резьбы;

— диаметр цилиндрической

поверхности, на

которой

расположена

линия контакта, ак — угол между

направлением действия

контакт­

ного усилия

и плоскостью, перпендикулярной

к оси

резьбы.

Учитывая, что

0; = Q(z)Fl

1

2

ß \ \

q{z2)dz2dz1

= yq +

yKq3-С,

(326)

где

(327)

і= 1

У

п sin

ак ^

DiKEi

'

(328)

(329)

,3

і=1

Постоянная С = yq (0) +

у«<г

(°) в

уравнении

(326) может быть

определена

из условия

н

\ q(z)dz

= Q,

(330)

о

где Q — осевое усилие, действующее

на

соединение, тогда

H

2_

H

z ,

z

^

q3

(z) dz — ß \

§

§ ? (г г) ^ г г <*гі а г \ -

(331)

где

Viq)

=

K(q)

+

qcp,

(332)

2_

+

Y(<?) =

? +

Ç < ? 3 ;

(333)

ß

zг zг,,

H

г

Zi

q (z2 ) dz2

dzx

— 1

^

^

^ <j(z2)

dz2 dzx (iz

o o

+

n

H

q

2 o(z)dz\

(334)

- S

(335)

<7cp —

г

г,

2_

ß jj ^ q{z2)dzidzl--^-

EvF s= yq+yKq3

•

-С.

(336)

Используя условие (330) для определения С, получим

уравнение

(337)

в

котором

H

(338)

Яо = Яср- VE2F2

— г

Величины Ч/(<7)

и

К(а)

определяются

по

равенствам

(333) и

(334).

Отметим,

что при

E2F2 -*• оо

распределение

нагрузки

в

соеди­

нениях

типа болт — гайка

или типа

стяжка

не отличаются одно от другого.

Если

ß = 0, то

уравнение (332)

имеет

очевидное

элементарное

решение:

Я=Яср =

0_

Рис.

121.

Распределение на­

т. е., если

болт и гайка

не

испытывают

де­

грузки

по

длине свинчивания

формаций

растяжения

или

сжатия.то

на­

в соединении типа

стяжки

грузка

по

виткам

распределяется

равно­

мерно. В общем случае уравнение (332) мо­

жет быть решено методом последовательных приближений

по

схеме

Ѵ(Яиі)

= К(Я/) + ЯсР,

(339)

Я at = ЯсРг

0_

H '

тогда для второго приближения получаем

2

V{q,„)~K

(qc„) + ^ = |

( г 2 - у Я , ) ^ +

у Я]р + Яср-

(340)

Обозначая через / а

правую часть

равенства (340), получаем

?<2> +

у <7 < 3 2 ) =/ Ѵ

Это уравнение легко сводится к

кубическому, но в

практических расчетах

откуда

а л-Улаз

_(

q = q . - 1 F

—

= q*- ^ 2 ^

(341)

Значение qt можно принять

в

виде

4«

жением. Подобным образом

решается уравнение (337), где qcp заменяется

q0.

Приближенное решение. Если величина q не очень мала, приближенно

можно

считать

j =

a + bq,

(342)

ч

где а и Ь — постоянные коэффициенты.

Уравнение (332),

учитывая

равенство

(342),

приведем

к виду

г

Zi

H

z

г,

у+укь

jj

I qi^dztdzt-jj

^

jj

^

+ qCp.

(343)

q(z2)dz.idzldz

щая прямая была

касательной

при q =

qcp,

то

"

з >

qcp'

Дифференцируя

уравнение

(343) дважды

по г,

находим

где

g-m*? (*) = 0,

(344)

ß

ß

trfl = У + УКЬ

y +

2

3 V

qcp

Из уравнения (344) с учетом известных краевых

условий для соединения

типа

болт—гайка получаем закон распределения нагрузки в обычной резьбе

параметр m в котором зависит от контактной деформации.

Для расчета необходимо знать

упруго-геометрические параметры: ß, у

и у к .

Представим общую

податливость витка винта

и гайки в виде суммы

Ô ^ ô ^ + Ô f + Ô ^ + Ô ^

( / - 1 , 2).

где

— ( / = 1, 2, 3) — податливость витка в результате деформаций изгиба,

о," =

Uj ctg ак

cosх ¥1

=

р1

cos ак

ctg aKd1 cos Ч1

id j +

D-e

•Fi

2SE,

•D'i

податливость

витков гайки

ôy1 =

«2 ctg ак

cos V2

=

p2

cos aK

ctg aKd2

cos Y,,

/ d | +

D |

-ц2

2 S £ ,

L>| — </f

В этих равенствах: ult u2

— радиальное смещение основания витка винта (гай­

ки); (і1 р р-2 — коэффициенты

Пуассона

материала

винта

и гайки.

В соответствии с равенством (324)

о<з'*=цЦ- cos

(345)

что

позволяет

определить значение Я,?.

Сближение в результате контактной деформации (в осевом

направлении)

может быть представлено как

в<"> =

*«sin а х

cos V ]

/

( І ^ і + ^

^

) 2

£ P,/» ,

(346)

где

£ р , - = — -

_1_

4/?,

— d a

сумма

главных

кривизн

(приближенно рас-

КІ

Ridm

гш

= PiSiul — усилие

сматривается

контакт шарика и цилиндрического желоба); Рш

на шарик; Еш

— модуль упругости материала шарика; /Cjö— безразмерный коэф­

фициент, зависящий от

параметра,

dtt

(347)

~*Rt-d„-

Сопоставляя формулы (324) и (346), находим

Vi =

КІЬ sin а

+

| 1

( 1 - ( Ѵ ) 2

Ri

Максимальное

контактное

напряжение

SP«

( i = l , 2),

(348)

dm—7 мм; R = 3,64 мм; DlK = 95,05 мм;

Ü 2 K = 104,95 мм; ак

= 45° (нормаль

станкостроения //23—7); D e =

70 мм; D 2 =

130 мм; H = 72 мм; Q = 7200 кгс.

Материал винта, гайки и шариков ШХ6 (£ =

2,1 • 104 кгс/мм?; \і =

0,3). Твердость

контактирующих поверхностей

HRC6Q.

13.

Значения

коэффициентов К h,

Kir,

t

Ч

\

« 8

к .

0,7385

0,5478

0,3070

0,8165

0,5094

0,2873

0,9042

0,4411

0,2537

0,7470

0,5442

0,3051

0,8273

0,5029

0,2841

0,9149

0,4291

0,2477

0,7538

0,5413

0,3036

0,8355

0,4976

0,2814

0,9225

0,4199

0,2434

0,7627

0,5374

0,3016

0,8439

0,4919

0,2786

0,9344

0,4039

0,2356

0,7696

0,5341

0,2999

0,8259

0,4859

0,2756

0,9425

0,3912

0,2295

0,7767

0,5308

0,2981

0,8617

0,4793

0,2722

0,9510

0,3762

0,2224

0,7862

0,5260

0,2958

0,8679

0,4745

0,2699

0,9602

0,3578

0,2137

0,7936

0,5222

0,2938

0,8774

0,4667

0,2660

0,9697

0,3339

0,2024

0,8012

0,5181

0,2918

0,8871

0,4582

0,2618

0,9804

0,2997

0,1863

0,8088

0,5139

0,2897

0,8972

0,4483

0,2571

0,9924

0,2345

0,1555

cos ак

=

а\,кес/см

=

9,29 см;

</, =

d,

+ 2

=

10,71 см.

Площади

поперечных

сечений

1,2

2,і/

3,6

4,8

6,0 1,см

/^ = 29,32

см2;

F2 = 42,67 см". Пара­

метр

| і = | 2

= 0,9259.

По табл.

13 на­

Рис.

122.

Зависимость

нагрузки q

ходим

К 1 б = Л : 2 о = 0,4153;

К ю

=

= Кга

— 0,2412. Далее вычисляем ß

=

от

длины 2

резьбового со­

= 0,027-10-"

1/кгс;

Х* = 9,37; Х*=

единения

типа:

=

17,68;

ѵ = 0,687-10^в

см*/кгс;

Vj =

/ — соединение

болт—гайка; 2

— стяжка

•= v2 =0,55; YK =8,62 • 10 всмь/з

2/з_

Для

соединения

типа

болт—гайка

получим

уравнение

_2

</+ 12,56*73

=

=

0,04

2 2,

Я Z 2і

"I

н

2

(г) dz + 1000.

\ \' <7 (22) dz2

—0,14 \

\' \" q(z2) dz2 dzx

dz

+ 1,74 f q3

bо

о б о

J

o

+

Для

соединения

типа стяжки

q+

2

H 2 2,

12,56«?3 =0,04

^ \

Я (2г) dz2

dzt — 0,14 |

^ j

с? (г2 ) dz2

rf2x «г

я

1

+

1,74

С q3

(z)

rf2+116,96

( 3 , 6 - г ) +

1000.

о

На рис. 122 дано решение последних уравнений

(распределение

нагрузки

по

длине

соединения).

Отметим, что в результате контактных деформаций

распределение

нагрузки

по

виткам

в шариковинтовых

соединениях

значительно

более

равномерное,

чем в обычных

резьбах.

Максимальное усилие, действующее

на

шарик,

Р ш т а х =

<? Wmax n

D u

. s

i n

c o s ЦТ,'

( 3 4 9 )

Для соединения типа болт—гайка Рш т

а х

=

55,1 кгс и о т а х =

208,7

кгс/мм2;

для соединения типа стяжка Рш

т а х

= 45,0 кгс и о т а х = 195,6

кгс/мм2.

Следует отметить, что для

шарнковинтовых

механизмов,

предназначенных

для

длительной эксплуатации,

величину

допускаемых контактных напряжений

при

твердости контактирующих

поверхностей элементов HRC 60 рекомендуется

выбирать в пределах [а],. = 250

300 кгс/мм2.

При кратковременной

работе

передачи можно принимать [а]к = 400

кгс/мм2.

Для более низкой твердости (HRC <

60) контактирующих поверхностей вели­

чину

допускаемых контактных

напряжений

понижают

HRC

62

58

54

49

45

40

35

29

кш

1,0

0,89

0,79

0,69

0,6

0,5

0,415

0,38

момент, когда во внешних

слоях материал витка

(рис. 123) окажется

в пластиче­

ском состоянии. Рассмотрим резьбовое соединение

типа

болт—гайка.

Условие совместности

деформаций

Р,

кгс/смг

остается таким же (212),

как и при работе

материала

в

упругой

области.

Но

перемещения

в теле болта и

гайки

Область

(350)

пластических

деформаций

Рис. 123. Область пла­

е с ь £*(г)

£*,(г)—секущие модули упругости мате-

стических деформаций

з д

и

витка

риала

болта и гайки; Е* и £ ï зависят, в соответствии

с

методом

переменных

параметров

упругости, от на­

пряженного состояния и поэтому изменяются по г.

Прогибы

витков резьбы

Ô, (г)-

,P(z)S

*,?(2);

6,(2) =

P(z)5

(351)

El

(г) *.? (г).

где р(г) — давление на рабочей поверхности витка в сечении г;

(г), Я* (г) — коэф­

яния; £?„, £ *

8 — с е к у щ и е

модули материалов болта и гайки, соответствующие

напряженному

состоянию

в основании витков.

усилием на единицу длины соединения q

p(z) =

q(z)-j-,

где / — площадь

проекции

боковой поверхности

витка на плоскость,

перпенди­

кулярную

оси г,

получим

ôi(z) =

<?(z)

f

- -

'

-

Е*„(гу

(352)

52 Я* (г)

ô2 (г) =

q (г)

Так как осевое

усилие в

сечении

г

Q(z) = ]q(z)

dz,

(353)

то принимая во внимание

равенства 1

о"2

(г)

= Q(g)

(354)

F, (г) '

из условий

(212), (350)—(353)

получим

£ î l W i ( * i )

£

SHXUz)

.

^ ( z ) 1

- S » r ^ ( 0 )

X? (0) "I

где ?! и г.2

— переменные

интегрирования

Приняв

для

краткости

ß(z) =

*

(356)

W ~

f

£ £ «(*)J'

(357)

Y

запишем уравнение (355) в таком виде

q(z)-

q (z2 ) dz2

dzx + q (0) yJO)

(358)

Из условия

H

j

</(z)dz = Q,

где Q — усилие,

действующее

в соединении,

находим

Н

г

г,

«7(0) =

(359)

7(0)

V(z)

1 Д л я

общности поперечные

сечения

болта

и гайки предполагаются

переменными

по высоте сечения.