5. Динамика вращательного движения.

1. Момент инерции

Вращательным называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Важность изучения этого вида движения определяется тем, что такое движение совершают многие детали технических устройств – колеса, маховики. Эти детали мало деформируются, что позволяет использовать для описания их движения модель абсолютно твердого тела. При изучении вращения твердых тел используется понятие момента инерции.

Моментом инерции тела J относительно неподвижной оси вращения О называется физическая величина, равная сумме произведений масс m_i n материальных точек тела на квадраты расстояний r_i от этих точек до рассматриваемой оси (рис. 5.1.1):

. (5.1.1)

М омент инерции – мера инертности твердых тел при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения тела. Но если масса данного тела в задачах ньютоновской механики считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения. Единица измерения момента инерции – [кг⋅м²].

В случае сплошного твердого тела, т.е. непрерывного распределения масс, тело разбивается на бесконечно малые части. Суммирование в этом случае заменяется интегрированием по всему объему тела:

, (5.1.2)

где dm – масса бесконечно малого объема тела. Момент инерции – величина аддитивная, то есть момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси. Расчет момента инерции в общем случае является сложным, однако он значительно упрощается для однородных тел, ось вращения которых проходит через их центр инерции. В табл. 5.1.1 приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Таблица 5.1.1

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Однородный сплошной цилиндр
Однородный полый цилиндр
Однородный шар
Стержень длиной l

Если ось вращения не проходит через центр инерции тела, для определения момента инерции используется теорема Штейнера:

(5.1.3)

Здесь J – момент инерции тела относительно произвольной оси, J_C – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр инерции тела, d – расстояние между параллельными осями.