3. Свободные колебания в электрическом колебательном контуре

К олебательный контур – цепь, состоящая из последовательно включенных конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L (рис. 12.3.1). В колебательном контуре происходят периодические изменения заряда q, разности потенциалов U на обкладках конденсатора и электрического тока I в цепи. Если эти изменения вызваны тем, что обкладки конденсатора заряжаются однократно, то в контуре возникают свободные электромагнитные колебания, которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если электрическое сопротивление контура R=0.

Заряд q при гармонических колебаниях изменяется с течением времени t по закону

. (12.3.1)

Сила тока I при гармонических колебаниях изменяется с течением времени t по закону

, (12.3.2)

Максимальное значение, которое может принимать сила тока, определяется уравнением

. (12.3.3)

Напряжение U при гармонических колебаниях изменяется с течением времени t по закону

. (12.3.4)

Максимальное значение, которое может принимать напряжение, определяется уравнением

. (12.3.5)

Энергия электрического поля конденсатора W_Э при гармонических колебаниях изменяется с течением времени t по закону

(12.3.6)

Максимальное значение:

. (12.3.7)

Энергия магнитного поля катушки W_М при гармонических колебаниях изменяется с течением времени t по закону

. (12.3.8)

Максимальное значение:

. (12.3.9)

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре с R=0 не изменяется с течением времени:

. (12.3.10)

По закону Ома для контура, содержащего катушку, конденсатор и резистор сопротивлением R, имеем

или .

Здесь U_C – напряжение на конденсатора, R – сопротивление контура, ε_C – ЭДС самоиндукции в катушке. Учитывая, что I = dq/dt, получаем дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний:

. (12.3.11)

Поскольку в данной главе мы рассматриваем свободные колебания (R=0), то (12.3.11) принимает вид

. (12.3.12)

Из уравнений (12.3.12) и (12.1.15) следует, что заряд q, сила тока I и напряжение U изменяются с

циклической частотой: (12.3.13)

и периодом: . (12.3.14)

Формула (12.3.14) называется формулой Томпсона.

13. Свободные гармонические затухающие колебания