1. Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных гармонических колебаний связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.

Колеблющаяся физическая величина s изменяется с течением времени по закону

(13.1.1)

Амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени по закону

. (13.1.2)

В уравнениях (13.1.1) и (13.1.2)

s – значение изменяющейся физической величины в момент времени t;

А₀ – начальная амплитуда колебания (амплитуда колебаний в момент времени t=0, которая определяется начальным запасом полной энергии колеблющегося тела);

е  основание натуральных логарифмов;

δ  коэффициент затухания;

 – начальная фаза;

 – циклическая частота колебания;

– полная фаза колебания.

Г рафики, подчиняющиеся аналитическим зависимостям (13.1.1) и (13.1.2), приведены на рис. 13.1.1.

Сплошная линия (синусоида) –

зависимость значения

колеблющейся величины

от времени.

Пунктирные линии (экспоненты) –

зависимость амплитуды

затухающих колебаний

от времени.

Рис. 13.1.1

Скорость υ при затухающих колебаниях изменяется с течением времени t по закону ;

(13.1.3)

Ускорение a при затухающих колебаниях изменяется с течением времени t по закону

. (13.1.4)

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются значения физических величин, характеризующих такие колебания (например, смещения, скорости и ускорения). Поэтому к затухающим колебаниям неприменимы понятия периода и частоты, введенные для периодических колебаний. Применительно к затухающим колебаниям можно говорить об условных периоде и частоте.

Условный период T – это промежуток времени между двумя последовательными состояниями колеблющейся системы, в которых физические величины, характеризующие колебания, принимают аналогичные значения, изменяясь в одном и том же направлении, убывая или возрастая.

, (13.1.5)

где ω₀ — собственная частота свободных незатухающих колебаний.

Условная циклическая частота 𝜔 – величина, показывающая, сколько раз за 𝜋 секунд колеблющееся тело проходит положение равновесия:

. (13.1.6)

Время релаксации τ – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

. (13.1.7)

Коэффициент затухания δ – величина, характеризующая быстроту убывания амплитуды. Показывает, за какое время t амплитуда уменьшается от значения A₀ до значения A_N:

. (13.1.8)

Логарифмический декремент затухания Θ – величина, характеризующая быстроту убывания амплитуды. Показывает, за какое число колебаний N амплитуда уменьшается от значения A₀ до значения A_N:

. (13.1.9)

Добротность колебательной системы Q - величина, пропорциональная отношению энергии колебательной системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за время, равное периоду Т:

. (13.1.10)

Приведенные выше физические величины связаны между собой следующими выражениями:

; ;

; ; . (13.1.11)

Задача 13.1. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза (A = A₀/2). Определите добротность Q системы.

Решение. Для определения добротности воспользуемся одним из соотношений (13.1.11):

.

Входящий в эту формулу логарифмический декремент Θ определим как

.

Подставим вторую формулу в первую и произведем вычисления:

.

.

Ответ: добротность системы Q=227.