3. Равномерное прямолинейное движение

Движение материальной точки называется равномерным, если точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна ( =const). Полное ускорение равно нулю: а_τ = 0, т.к. не изменяется модуль скорости, а_n = 0, т.к. при прямолинейном движении не изменяется направление вектора скорости. Уравнение (закон) движения (1.1.1) в проекции на ось OX имеет вид

. (1.3.1)

Здесь x₀ – координата тела в начальный момент времени, x – координата тела в момент времени t, υ_x – проекция вектора скорости тела на ось OX.

Г рафиком такой зависимости в координатах x(t) является прямая линия (рис. 1.3.1, а), тангенс угла наклона которой равен проекции скорости υ_x. В координатах υ(t) график движения представляет собой прямую линию, параллельную оси времени (рис. 1.3.1, b). Площадь S под этой прямой равна пройденному пути за некоторый промежуток времени. Рис. 1.3.1, c отражает отсутствие ускорения.

a b c

Рис. 1.3.1

4. Равнопеременное прямолинейное движение

Движение материальной точки называется равнопеременным, если скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно. При равнопеременном прямолинейном движении векторы скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой. Уравнение движения в проекции на ось OX имеет вид

. (1.4.1)

Здесь x₀ – координата тела в начальный момент времени, x – координата тела в момент времени t, υ_0x – проекция вектора начальной скорости тела на ось OX, a_x – проекция вектора ускорения тела на ось OX. В данном случае a=a_τ, т.к. скорость при прямолинейном движении изменяется только по модулю и не изменяется по направлению. Для прямолинейного движения разность между конечной (x) и начальной (x₀) координатами тела равна пройденному пути S. Графиком зависимости x(t) и S(t) является парабола (рис. 1.4.1 a, b и 1.4.2 a, b).

Проекция скорости тела υ_x зависит от времени по закону:

. (1.4.1)

Аналогично записываются уравнения движения и уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси. График зависимости υ_x(t) представляет собой прямую линию (рис. 1.4.1 c и 1.4.2 c), тангенс угла наклона которой равен проекции ускорения a_x. По коэффициентам в уравнении прямой и параболы можно судить о расположении графика функции относительно координатных осей. На рис. 1.4.1 и 1.4.2 приведены графики для равноускоренного и равнозамедленного движений, соответственно.

З адача 1.1. В начальный момент времени самосвал имеет скорость υ₀ = 1 м/с. Пройдя равноускоренно некоторое расстояние, он приобрел скорость υ₂ = 7 м/с. Какова была скорость υ₁ самосвала на половине этого расстояния?

Решение. Пусть в начальный момент времени самосвал находится в точке с координатой x₀ и имеет скорость υ₀. Через время t₁ координата тела x₁, скорость  υ₁, через время t₂ – координата x₂, скорость  υ₂ (рис. 1). Запишем для двух участков пути проекции на ось OX уравнений (1.4.1) и (1.4.2):

. .

В зависимостях x(t) учтем, что при прямолинейном движении разность между конечной и начальной координатами равна пройденному пути S. Из зависимостей υ(t) выразим время. Получим

. .

Время t₁ и t₂ подставим в соответствующие уравнения для S₁ и S₂:

. .

Проделаем необходимые преобразования

.

и получим

. .

По условию задачи , следовательно

.

Выразим из этого выражения скорость υ₁:

.

Подставив числовые данные, рассчитаем скорость:

.

Ответ: скорость самосвала в середине пути υ₁ = 5 м/с.