2. Свободные механические колебания Пружинный маятник

– это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий горизонтальные или вертикальные гармонические колебания под действием силы упругости пружины (рис. 12.2.1).

Уравнение движения маятника:

Дифференциальное уравнение: . (12.2.1)

Сравнивая уравнения (12.2.1) и (12.1.15) делаем вывод, что пружинный маятник совершает колебания по закону с

циклической частотой: (12.2.2)

и периодом: . (12.2.3)

Потенциальная энергия пружинного маятника согласно (12.1.12) и (12.2.2):

. (12.2.4)

Математический маятник

– идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l и колеблющейся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис. 12.2.2)).

Уравнение движения маятника: , .

Дифференциальное уравнение . (12.2.5)

Из уравнений (12.2.5) и (12.1.15) следует, что математический маятник совершает колебания по закону с

циклической частотой: (12.2.6)

и периодом: . (12.2.7)

Физический маятник

– это твердое тело произвольной формы, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела.

На рис. 12.2.3 представлено неоднородное тело с центром масс в точке C. Через точку O, находящуюся на расстоянии d от центра масс, проходит ось вращения перпендикулярно плоскости рисунка. Пусть твердое тело отклонили от положения равновесия на угол α.

Уравнение движения маятника:

, , .

Дифференциальное уравнение: . (12.2.8)

Из уравнений (12.2.8) и (12.1.15) следует, что математический маятник совершает колебания по закону с

циклической частотой: (12.2.9)

и периодом: . (12.2.10)

Здесь J – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку O (не проходящей через центр масс), m – масса тела, d – расстояние от центра масс (точка C) до оси вращения (точка O).

Найти момент инерции J тела относительно оси вращения, не проходящей через центр масс, можно по теореме Штейнера:

, (12.2.11)

где J_c – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр тяжести.

Приведенная длина физического маятника L – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника:

(12.2.12)