Ответ: отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, 2=т—0,3 см, у = —0,092 см. Наибольшее растягивающее напря­ жение (в точке Ь) оь=1900 кгісм2. Наибольшее сжимающее напряжение (в точке d) sd= —1566 кг/см2.

§ 4. Изгиб с кручением

Выше, на фиг. 13. 1,а, в и г, были показаны примеры изгиба совместно с кручением. Рассмотрим напряжения в некотором поперечном сечении вала ворота — фиг. 13. 1,а на участке CD.

Фиг. 13.9. Кручение и изгиб круглого вала.

а — изгибающий момент в сечении abc трубчатой оси ворота равен Рх,

речной силой; е — напряженное состояние в точке Ь— сжатие и сдвиг.

Будем считать, что вал полый. Пусть плоскость рассматривае­ мого сечения находится на расстоянии х от линии действия си­ лы Р, как показано на фиг. 13. 9,а. Тогда изгибающий момент Mz силы Р относительно оси z рассматриваемого сечения равен Рх. Момент относительно оси у равен нулю, так как сила Р парал­ лельна оси у. Крутящий момент в рассматриваемом сечении найдем, проведя нормаль к сечению — ось х\ плечо силы Р от­ носительно оси X равно длине рукоятки а (положение рукоятки предполагается горизонтальным), искомый крутящий момент

Мк=Мх=Ра.

О п а с н ы е точки . Итак, в исследуемом сечении вала мы имеем изгибающий момент MJr=Mz=Px и крутящий момент Λίκ=Ρα. Рассмотрим отдельно влияние каждого из этих факто­ ров. Изгибающий момент MJr вызывает в верхней части сечения при данном направлении нагрузки напряжения растяжения, в

4 4 2

нижней части — напряжения сжатия. Ось z явится нейтральной осью сечения. Наибольшее напряжение (в точках а и Ь) опре­

Крутящий момент Мк вызывает в поперечном сечении каса­ тельные напряжения, направленные при данной нагрузке так, как показано на фиг. 13.9,6. Эти напряжения одинаковы по окружности. Наибольшие касательные напряжения (у поверх­

ности вала) определяются по формуле (см· гл· VI).

Сопоставляя обе указанные системы напряжений (изгиба и кручения), видим, что наиболее напряженными точками в сече­ нии являются точки а и Ь. Элемент вала, находящийся вблизи точки а (изображен крупно на фиг. 13.9,в), нагружен как нормальными, так и касательными напряжениями. Элемент же вблизи точки с (см. фиг. 13. 9,а и 6) нагружен только касатель­ ными напряжениями (фиг. 13. 9,г), так как в точке а, находя­ щейся на нейтральной оси, нормальные напряжения в попереч­ ном сечении вала равны нулю.

У ч е т к а с а т е л ь н ы х н а п р я ж е н и й и з г и б а . В на­ ших рассуждениях мы не учитываем касательных напряжений, вызываемых поперечной силой (определяемых по формуле

OS

х = — , гл. IX), так как они обычно малы. Если же они значи-

Jb

тельны, что может иметь место при коротких тонкостенных ва­

правлены сверху вниз (фиг. 13.9,6). Как видим, в точке d каса­ тельные напряжения от крутящего момента (фиг. 13. 9,6) и от поперечной силы одинаково направлены и, следовательно, сло­ жатся. В точке с, наоборот, напряжения от поперечной силы действуют против напряжений кручения и, следовательно, умень­ шают их. Более напряженной явится точка d.

Р а с ч е т н о е н а п р я ж е н и е . Продолжим наши рассуж­ дения, предполагая, что касательные напряжения, вызываемые поперечной силой, малы и не учитываются. В качестве опасных точек у нас были установлены точки а или Ь. Следовательно, прочность вала в данном сечении обусловливается прочностью материала в этих точках. Напряженное состояние в точке b изображено на фиг. 13. 9,е. Оно отличается от состояния в точ­ ке а (фиг. 13. 9,в) только тем, что напряжения σ здесь не растя­ гивающие, а сжимающие, так как точка Ь при данной нагрузке находится в сжатой зоне. Если материал вала одинаково сопро­ тивляется растяжению и сжатию (как, например, сталь и дуралюмин), то состояния в точках а я b равноопасны. В против­ ном случае решающей является какая-либо одна из названных

443

точек. Например, если бы вал был чугунным, то прочность его определялась бы прочностью в точке а, так как чугун сопро­ тивляется растяжению хуже, чем сжатию.

Сразу отметим принципиальное различие между напряжен­ ными состояниями в данном случае и во всех ранее рассмотрен­ ных случаях сложного сопротивления. При определении Напря­ жений в случаях косого изгиба и внецентренного сжа4ия или растяжения приходилось иметь дело только с нормальными напряжениями, действующими в одном направлении, параллель­ ном оси бруса, т. е. с простым (линейным) напряженным состоя­ нием в каждой точке бруса. В данном случае имеются также касательные напряжения, т. е. имеем одно из сложных напря­ женных состояний, и, следовательно, поверку прочности придется производить на основании той или иной теории прочности."

Напряженное состояние в нашем случае есть плоское напря­ женное состояние, так как все напряжения σ и х, действующие на малый элемент, лежат в одной плоскости (рассматриваемый элемент вала мал, и его приближенно можно считать плоским). В обеих опасных точках (в точке а й в точке Ь) имеем частный случай плоского напряженного состояния, когда одно из нор­ мальных напряжений равно нулю. Главные нормальные напря­ жения о, и σз в этом случае определяются по формулам [см. гл. IV, формулы (10)]

Применяя эти выражения, можем найти расчетные напряже­ ния, пользуясь теориями прочности. Например, по третьей теории прочности расчетное напряжение (которое нужно сравнивать с допускаемым) выражается так (см. гл. IV, § 4):

ду моментом сопротивления изгибу W и моментом сопротив­ ления кручению Wp в случае круглого сечения (см. гл. IX):

444

где обозначено

Напряжение орасч, найденное по формуле (15), следует срав­ нивать с допускаемым. Условие прочности имеет вид зріСЧ^ -<[σ], где [σ]—допускаемое напряжение на растяжение или сжатие.

Момент сопротивления W, входящий в выражение (15), определяется по формулам (гл. IX):

1) для вала сплошного сечения

уменьшения прочности). При -у-=10 ошибка составляет 5,6%.

При пользовании формулами (15) и (16) нужно помнить, что изгибающий момент 714иЗГ и крутящий момент Мх, входящие в эти формулы, относятся к одному и тому же сечению вала.

Пример 1. Примем числовые значения для рассмотренного выше примера. Пусть длина рукоятки а=30 см. Расстояние до опасного сечения D (фиг. 13. 1,а) (где изгибающий момент до­ стигает наибольшего значения) х=2Ъ см. Сила Р = 40 кг. Диа­ метр вала (внешний) D = 4 см. Толщина стенки вала t = 2 мм. Определить расчетное напряжение по третьей теории прочности.

Вычисляем изгибающий и крутящий моменты: /ИиЗГ = 40-25 = = 1000 кгсм, Л4К= 40-30 = 1200 кгсм. Отсюда расчетный мо­

мент по формуле (16) 714,,3^= )^1000^ + 12002= 1560 кгсм. Мо­ мент сопротивления W определим по формуле (19) /отноше­

445

Здесь 3,8 см —средний диаметр вала. Напряжение по формуле (15):

Пример 2. Выше был дан пример проверки прочности.' Здесь покажем пример расчета диаметра вала по заданному допускае­ мому напряжению. Пусть требуется определить диаметр мотылевой шейки коленчатого вала (фиг. 13. 1,в). Размеры: а= 25 см, Ь —20 см, с=30 см. Сила Р, передаваемая на шейку перпендикулярно к плоскости щек, как показано на фигуре, равна 2 т. До­ пускаемое напряжение [σ]=1000 кг/см2.

Расчетным сечением шейки является среднее сечение С, где приложена сила Р, так как здесь имеет место наиболь­ ший изгибающий момент

Л^изг— 1110-20 = 22200 кгсм.

Крутящий момент в том же селении

MK= RBc= 1110-30 = 33 300 кгсм.

Расчетный момент по третьей теории прочности [формула (16)]

Мрасч =1^22 200*+ 33 ЗОО2 = 40 000 кгсм.

Искомый диаметр определим*из условия, что расчетное напряжение орасч равно допускаемому [о]. Подставляя в фор­ мулу (15) значение орасч = [о] = 1000 кг/см2 и ѵИрасч = 40 000 кгсм,

получим 1000 = 4° ^ . Отсюда необходимый момент сопротив­

W

ления сечения шейки W - - 40 000 - 40 см3, т. е. [см. форму­

1000

лу (17)] 0,Ы3 = 40, откуда диаметр шейки d —7,37 см.

Задачи. 1. Пользуясь третьей теорией прочности, опреде­ лить диаметр d вала, свободно лежащего в двух подшипниках (фиг. 13. 10,а), передающего момент Λί=10 кгм на шкив с го­ ризонтальной ременной передачей. Шкив имеет вес G —5 кг и расположен по середине между подшипниками. Расстояние между подшипниками 2а=40 см. Радиус шкива г=15 см. При­ нять, что натяжение Р2 ведущего ремня втрое больше натяже­ ния Р, ведомого. Допускаемое напряжение материала [о]= =900 кг/см2. Указание. Силы Рх и Р2 вызывают изгиб и круче-

446

уравновешивает приложенный крутящий момент М. Следова­ тельно, М= (Р2 — Рг)г и Р2— Рх—-у. Отсюда можно определить

Рг и Р2, учитывая условие Р2=ЗЛ· Полную изгибающую силу найдем геометрически, как У Р 2,+ G2. Ответ: d= 2,65 см.

2. Проверить прочность горизонтальной трубы АВ рулевогоуправления самолета (фиг. 13. 10,6), если поводок ножной пе дали передает усилие Р=60 кг. Наружный и внутренний диа­ метры трубы 30 и 24 мм. Применить третью теорию прочности. Допускаемое напряжение [σ]=1000 кг/см2. Ответ: σ^ 4 = --■=880 кг/см2.

3. Рассчитать по сечению mm диаметр d валика коленчатого коромысла авиамотора (фиг. 13. 10,в). Расчет вести по третьей теории прочности, принимая [σ]=700 кг/см2. Считать, что в под­

мы пользовались третьей теорией прочности, которая имеет наг

447

большее распространение из теорий, указанных в гл. IV. Если бы мы воспользовались первой теорией прочности, то, рассуждая прежним путем, получили бы [см. формулу (15)]:

Мрасч = 4 - ( М изг + / M L + M t ) ·

/

Первая теория применяется при хрупких материалах (чугун). По второй теории прочности мы получили бы

Мтч = 0,35МИЗГ+ 0,65 / М 1 зг+ М 1.

наиболее часто имеют круглое сечение, как и предполагалось выше. Однако часто в практике имеет место также кручение с изгибом стержней некруглого профиля. В таких случаях нужно пользоваться непосредственно формулой (13) (если расчет ве­ дется по третьей теории прочности). Рассмотрим примеры.

Пример 3. Определить напряжения в обшивке крыла моно­ блок вблизи корня (опасное сечение) под действием подъемной силы, равнодействующая которой Р —3 т (фиг. 13. 11) проходит, как показано на фигуре, в расстоянии 6=1,2 м от корневого сечения и в расстоянии а=0,3 м от вертикали, проведенной через

Фиг. 13.11. Подъемная сила Р крыла самолета вызывает изгиб и кручение крыла. Изгибающий момент у корня равен РЬ. Крутящий момент — Ра (К — центр изгиба сечения крыла).

центр изгиба сечения К· Момент сопротивления сечения относи­ тельно нейтральной оси 1 ІѴг=500 см3. Площадь, ограниченная контуром сечения, равна 3000 см2. Толщина обшивки 1,5 мм.

Имеем крутящий момент Мщ,= Ра=3000 · 30=90 000 кгсм м изгибающий момент MJr= P · 6= 3000 · 120=360 000 кгсм.

Отыщем опасную точку в сечении. Она и в данном случае определяется напряжениями изгиба, так как напряжения кру­ чения одинаковы во всех точках сечения. Напряжение изгиба будет наибольшим в точке, наиболее удаленной от оси z, яв­ ляющейся в данном случае нейтральной осью (если бы имелась также нагрузка, изгибающая крыло в горизонтальной плоскости, то опасную точку следовало бы отыскать по правилам расчета

1 С достаточной точностью можно принять за нейтральную ось горизон­ таль, проходящую через ц. т. сечения.

448

разом суммарное касательное напряжение в точке п от из­ гиба и кручения вместе равно 55 + 610 = 665 кг\см2. По фор­ муле (13) найдем расчетное напряжение в точке п :

о"асч = У О2 + 4 ■6652 = 1330 кг/см?.

Обратимся к точкам а и т. Эти точки равноудалены от оси z, следовательно, нормальные напряжения изгиба в этих точках одинаковы

Mz аа= ат= —- W,

Касательные напряжения изгиба здесь равны нулю. Напря­

место в точке п. Оно превышает допускаемое напряжение на

1330 - 1000_юо = 33%. Заключаем,

ше, чем в какой-либо из названных выше точек. В сомнительных случаях следует проверить несколько точек.

Задача 2. Определить наибольшее расчетное напряжение, пользуясь третьей теорией прочности, для тонкостенной консоли замкнутого прямоугольного сечения (фиг. 13. 13), нагруженной, как показано на фигуре. Ответ: 730 кг/см2.

450