- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Задачи. 1. Определить наибольший крутящий момент, кото рый можно безопасно приложить к пароходному валу диамет ром d= 12 см, если допускаемое напряжение [х]=500 кг/см2.
Ответ: Л4К=339 кгсм.
2. Подобрать диаметр вала машины при [т] = 800 кг/см-, если он делает: 1) ^ = 6 0 об/мин при мощности Nt= 70 л. с. и 2) я2=
= 400 об/мин при Л';,=500 л. |
с. |
|
Ответ: |
1) ¢^= 7,86 см; 2) |
d..= 8,3 см. |
|
§ 9. Расчет на жесткость |
|
У г о л |
з а к р у ч и в а н и я . Эпюра крутящих моментов |
служит не только для определения опасного сечения: при ее по мощи легко вычислить угол поворота одного сечения отно сительно другого. Как нами было выведено в § 3 [формула (3)] относительный угол закручивания на единицу длины вала равен
^ _ Δφ_ _ |
Мк |
Δ* |
GJp |
Если вал скручивается одним моментом, то эпюра Λίκ посто янная по всей его длине / и абсолютный угол закручивания будет
(фиг. 6. 5,а) |
|
= |
(16) |
|
GJP |
Втех случаях, когда к валу приложено несколько моментов
иэпюра Л4к имеет различные значения в отдельных участках (фиг. 6. 19 и 6.20), угол закручивания определяется как сумма
углов закручивания каждого участка. Например, для вала, изо браженного на фиг. 6. 20, абсолютный угол закручивания между крайними шкивами равен
о — |
ѴЛ Μκί |
4000-604-7000-70 + 9000.50 |
|
> |
----= |
-----------------------------GJp |
|
‘ |
^ |
GJp |
Здесь жесткость всех участков одинаковая. Числитель этой суммы представляет собой площадь эпюры М*. Таким образом
абсолютный угол закручивания между двумя сечениями равен площади эпюры крутящих моментов, заключенной между этими сечениями, деленной на жесткость.
При действии на вал нескольких крутящих моментов в раз ные стороны эпюра имеет положительные и отрицательные ор динаты (фиг. 6. 19). Площадь ее должна быть определена с уче том знаков: положительные площади входят в сумму со знаком плюс (складываются), а отрицательные — со знаком минус (вы читаются).
Если вал имеет различный диаметр в отдельных участках, то предварительно нужно разделить все ординаты эпюры крутящих
171
моментов на соответствующие им жесткости, и тогда угол закру чивания вычисляется как площадь новой эпюры, полученной из эпюры Мк путем деления ее ординат на жесткость.
У с л о в и е ж е с т к о с т и . В некоторых конструкциях, ко торые по условиям работы должны быть достаточно жесткими и не должны иметь значительных деформаций, необходимо, что бы угол закручивания не превосходил определенной, допускае мой величины. Например, в некоторых случаях допускае-
1 мыи угол закручивания принимают равным— градуса на метр
длины вала.
Чтобы составить условие жесткости, нужно угол закручива ния, вычисленный по формуле (16), при длине I, равной 1 м = = 100 см, и измеряемый в радианах, сначала перевести в гра дусы и затем сравнить с допускаемым. Так как угол в 360°, измеряемый дугой, равной длине окружности, составляет 2тг ра-
диан, то 1 радиан равен — = — градусов. Чтобы угол в радианах
2π π
180
перевести в градусы, нужно число радиан умножить на — =
π
=57,3°. Следовательно, условие жесткости получает вид
АѴ 180 -<[<?] = — градуса на метр.
GJP π
Отсюда находим необходимый момент инерции
j |
> |
М К1 |
180 |
р |
32 ^ |
G [у] |
π |
и по нему вычисляем диаметр вала, удовлетворяющий усло вию жесткости,
32-180ЛѴ
|
|
n*G [φ] |
|
Окончательная |
формула получается |
после подстановки |
|
Iе |
/= 100 |
см. Извлекая корень |
четвертой степени |
[φ]:=__- и |
|||
из числовых |
величин, получаем |
|
|
|
|
22 |
|
Для полого вала соответствующая формула при [φ] =
градуса на метр будет
D > 22
УG ( l - a i )
172
Может оказаться, что вал, подобранный по условию жест кости, не удовлетворяет условию прочности (или наоборот); тог да его диаметр следует увеличить, и он будет иметь излишний запас жесткости (или соответственно прочности). С этим прихо дится мириться, если необходимо удовлетворить обоим требова ниям одновременно.
Пример 1. Определить угол поворота шкива 4 относительно шкива 1 трансмиссионного вала, изображенного на фиг. 6. 19, если вал изготовлен из стали с модулем упругости G= = 800 000 кг/см2 и имеет диаметр </=4 см.
Полярный момент инерции равен
, _πά* |
3 ,14--44 |
21,2 см*. |
|
|
Р~ І2 |
32 |
|
|
|
Площадь эпюры крутящих |
моментов между сечениями |
|||
1 и 4 по фиг. 6.19, б. |
|
|
|
|
2,ΛίκΔл:= 4000·60 — 5000-70 — 2000·50 = —210000 кгсм \ |
||||
1 |
|
|
|
|
Искомый угол закручивания |
вала |
(в радианах) |
||
4 |
|
210 000 1 |
|
|
1 |
|
0,0124. |
||
°JP |
|
800 000-21,2 |
||
|
|
В градусах φ°= — 0,0124 — = —0,71° или 42'36". Знак минус
Л
указывает, что шкив 4 повернется относительно шкива 1 в отрицательную сторону, т. е. по часовой стрелке (фиг. 6. 18).
Пример 2. Рассчитаем на прочность и на жесткость сталь ной трансмиссионный вал, изображенный на фиг. 6.20. Пусть
[τ] = 450 кг/см* и [φ] = — градуса на метр.
Опасный участок заключен между шкивами 4 и 2 (фиг. 6.20). Подбор сечения нужно производить в этом участке. По усло
вию прочности имеем |
|
|
|
||
</>1,72 |
Λίκ, |
|
см. |
||
V - М |
|
||||
|
|
|
|||
По условию жесткости, |
полагая для стали |
G —800 000 кг)смг, |
|||
находим |
|
|
|
|
|
</>22 |
щах |
22 |
9000 |
7,17 см. |
|
G |
800 000 |
||||
|
|
|
173
Диаметр вала нужно принять не менее 7,17 см, чтобы он был достаточно жестким. В этом случае максимальные напряжения участка 4 — 2 будут
Мк |
9000 |
122 |
KzjcM?. |
Ѵр ~ 0,2(7,17)3
Вдругих участках они будут еще меньше.
С т а т и ч е с к и н е о п р е д е л и м ы е з а д а ч и . Определе ние угла закручивания необходимо не только в расчете на же сткость, но также и в решении статически неопределимых задач при кручении, потому что, помимо уравнений равновесия, для статически неопределимой системы приходится дополнительно составлять еще и уравнения деформаций.
Рассмотрим вал (фиг. 6. 24,а), у которого оба конца А и В
Фиг. 6.24. Статически неопре |
Фиг. 6.25. |
Статически |
определи |
делимый вал. |
|
мый вал. |
|
а — оба конца вала заделаны; |
а — конец |
А освобожден от за |
|
б — равновесие вала. |
крепления; |
б — эпюра |
крутящих |
|
|
моментов. |
|
закреплены и не могут поворачиваться. От нагрузки вала момен том Ма возникают реактивные моменты МА и Мв на опорах. Единственное уравнение равновесия, которое получается для данной системы (фиг. 6. 24,6), представляет собой сумму момен тов относительно оси вала
М а — М с -р М в = 0 .
Два неизвестных опорных момента нельзя определить из это го одного уравнения и нужно составить второе уравнение, кото рое должно быть уравнением деформации. Чтобы уяснить физи ческий смысл второго уравнения, освободимся от одной из опор, например, от опоры А и заменим ее действие на вал опорным моментом М А (фиг. 6. 25,а). Полученная система, является ста тически определимым валом, нагруженным двумя Моментами, из которых один (МА) пока неизвестен. Напишем для этого вала выражение угла поворота ψ освобожденного сечения А:
174
от неизвестного момента Ма , скручивающего весь вал на длине I,
МАІ
9л =
GJP '
от заданного момента Мс, скручивающего только участок b вала и при этом в обратном направлении,
Мсъ
Чс = |
GJ„ |
|
Участок а при действии момента Мс поворачивается весь на один и тот же угол φ с,а вместе с ним поворачивается и сечение А Таким образом полный угол поворота сечения А относительно"
сечения В равен |
, |
млі |
мсь |
|
φ= ?Λ+φο = —-- — -ргт· |
||
|
|
GJp |
G JP |
Но в заданной |
системе |
(фиг. 6.24,я) сечение А не может |
поворачиваться так же, как и сечение В. Применяя это условие деформации заданной системы к статически определимой системе (фиг. 6. 25), получаем уравнение для определения М а, а именно, угол поворота освобожденного конца А от действия опорного момента МА и заданной нагрузки Мс должен равняться ну
лю, т. е. |
мс1 |
мА1 |
|
GJp |
= 0. |
GJp |
Это и есть дополнительное уравнение деформации. Отсюда
м сь
М А
I
Теперь значение Ма можно подставить в уравнение равно весия
мг ь
•---- *— MQ -|- Μв =з0
и найти момент на второй опоре
То же значение М в получается и независимо от МА, если освободиться от опоры В и составить аналогично изложенному выше уравнение деформации освобожденного конца В.
Чтобы построить эпюру крутящих моментов для заданной си стемы и рассчитать вал на прочность или на жесткость, доста точно найти хотя бы один из опорных моментов. Эпюра Л4К, по строенная для вала с освобожденным концом А при найденном значении М а (фиг. 6. 25,6), является эпюрой крутящих моментов для заданной системы (фиг. 6. 24,а).
17S
Пример 3. Определим наибольшие касательные напряжения
статически |
неопределимого вала |
с переменным сечением |
(фиг. 6. 26,а) |
от нагрузки двумя |
моментами Λί^δΟΟΟ кгсм и |
Мо=8000 кгсм. Диаметр одного участка вала dt=3 см, другого 62=3,6 с м . Модуль G постоянный для всего вала.
Прежде всего нужно определить момент на одной из опор и построить эпюру крутящих моментов. Освобождаемся от опоры
а)
Фиг. 6.26. Пример статически не определимой задачи.
а— заданная |
система; б— конец |
А не должен |
закручиваться от |
приложенной нагрузки; в — эпюра крутящих моментов для заданной системы.
Л и ее действие на вал заменяем неизвестным опорным момен том М а (фиг. 6.26,6). В полученной системе от нагрузки момен тами Ма, Λί, и М2 составляем для освобожденного конца А вы ражение угла поворота и приравниваем его нулю, чтобы удовле творить условию деформации заданной системы;
М А (■
Полярные моменты инерции сечений
^ = 0,1^ = 0 ,1 -3 ^8 ,1 см*· У2 = 0,16^= 0,1-3,64 = 16,8 см*.
Подставляя их и заданные значения длин и моментов в уравнение деформации, после сокращения на G получаем
откуда ./Ид=1950 кгсм. Знак плюс, полученный для МА, ука зывает, что направление опорного момента соответствует при нятому ранее (фиг. 6.26,6). Если бы МА получился отрица тельным, его направление следовало бы изменить на обратное.
Эпюру крутящих моментов (фиг. 6. 26,в) строим, передви гаясь по валу от конца Л, и в результате получаем момент на другой опоре /Ид=4950 кгсм.
176
Чтобы найти наибольшие напряжения, проверим |
участки Ь |
|||
и с. Моменты сопротивления сечений участков |
|
|
||
^ = 0,2^ = 0,2-33 = 5,4 см»; |
W2= 0,2^ = 0,2-3,63 = 9,33 см». |
|||
Соответственно касательные |
напряжения |
в этих |
участках |
|
(фиг. 6. 26, а й в ) равны |
|
|
|
|
3050 |
тс |
— |
= 530 кгісм». |
|
= 565 кг/см2; |
||||
Т л |
|
9,33 |
|
' |
Хотя наибольший крутящий момент возникает на участке с, наибольшие касательные напряжения в данном случае получи лись на участке b с меньшим диаметром сечения.
Задачи. 1. Определить наибольшие касательные напряжения вала диаметром d= 12 см, если он изготовлен из материала с мо дулем упругости G=800 000 кгісм2 и удовлетворяет условию
жесткости при [φ]= |
градуса на метр. Ответ: τ = 208 кг/см2. |
2. Рассчитать на жесткость стальной вал, скручиваемый мо |
|
ментом Λί=120 кгм, |
если допускаемый угол закручивания |
[φ] = 0,3° на метр длины и G= 800 000 кг/смг. Ответ: d= 7,35 см. 3. Определить мощность машины, делающей «=200 об/мин, если ее вал длиной /=1,8 м и диаметром d= 10 см изготовлен из
стали и закручивается на угол 9 = 1°. Ответ: N=212 л. |
с. |
||
4. Мотор мощностью N=800 л. |
с. делает «=1800 |
об/мин. |
|
Подобрать стальной полый вал мотора при а =0,8 |
и [φ]=0,25° |
||
на метр. Ответ: /) = 11,2 см и d= 9 см. |
вал насажено |
последова |
|
5. На стальной трансмиссионный |
тельно шесть шкивов через каждые 2 м. Моменты, передавае мые шкивами, соответственно равны:
Мг— — Z0 кгм; |
/И2 = 50 кгм; |
Λί3 = 90 кгм; |
М4= —50 кгм; |
Л45= —100 кгм; |
Λί6 = 40 кгм. |
Построить эпюру крутящих моментов, подобрать прочные размеры сплошного вала при [τ]=400 кг/см2 и определить угол закручивания между крайними шкивами. Ответ: ¢/=5,2 см; φ=2°24'.
6. Определить напряжения и угол закручивания дуралюминовой трубы управления рулями самолета, если сечение трубы DXd=50X44 мм; длина 1=0,6м; момент, передаваемый ручкой управления, Л4 = 8 кгм; G=280 000 кг/см2. Ответ: τ = 163 кг/см2; 9=48'.
12 Основы строительной механики |
177 |